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안녕하세요! 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미적분 2에서 배우는 함수의 몫의 미분법, 분수 미분법에 대해 알려드리겠습니다. 미적분 2 몫의 미분법 (분수 미분법) 공식 몫의 미분법은 분수 꼴로 되어있는 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 다항함수 등에서 두루 쓰이는 공식입니다. 개인적으로 분수가 아닌 꼴로 바꿀 수 있으면 바꿔서 안 쓰려고 노력은 하고는 있습니다만 안 쓰고는 안되는 공식이지요... 공식을 배울 때 2가지로 나눠서 배우긴 하지만 솔직히 분자가 1인 경우는 아래의 (2) 번 공식에 적용시키면 당연히 위의 식처럼 되므로 따로 외울 필요는 없다고 생각은 하는데... 유도할 때 위의 식을 알면 좀 더 편하게 유도할 수는 있습니다. 공식을 외워서 사용하시는 분들은 위의 (1) 번 공식은 안 외워도 생각합니다. 미적분 2 몫의 미분법 (분수 미분법) 공식 유도 시중 교재들의 유도법은 보통 델타 x를 이용하여 적어 둔 게 많은데... 저는 이게 좀 웃기더라고요. 문제는 전부 h로 내면서 공식 유도는 전부 델타를 사용하는 이유가 따로 있는지는 모르겠지만.. 저는 h를 이용해서 나타내봤습니다. 첫 줄부터 천천히 보면 이해가 되시리라 생각합니다. 만약 이게 이해가 안 되는 분들은 그냥 공식을 외워서 사용하세요.. 제가 수업하는 학생들의 경우 공식에서 분자를 먼저 미분하는지 분모를 먼저 미분하는지를 헷갈려 하는 학생들이 많이 ...

이웃님들 안녕하세요? 수학에게 질수는없다 입니다. 지수함수와 로그함수도 함수이고 미분을 배우는데 미분계수가 빠질 수는 없겠지요? 수 2에서 미분계수를 확실하게 해두신 분들은 미적분에서 배운 지수함수와 로그함수의 도함수 공식에 맞춰 f(x)만 f '(x)로 만들 줄 알면 끝나는 부분이라 할 수 있습니다. 미적분을 선택하고 미분계수를 모르는 용감하신 분은 없으실 것 같지만... 링크는 올려 두겠습니다. ^^ 미분계수의 정의를 이용한 도함수 문제 풀이 잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 이번 포스팅에서는 도... blog.naver.com 지수함수와 로그함수의 도함수는 알고 오셨을 테니 긴말할 것 없이 바로 문제 풀이로 넘어가겠습니다. 문제는 개념원리 미적분에서 인용했습니다. 예제 1. 이 문제는 그냥 지수함수 미분할 줄 아는지 물어보는 문제네요. 주어진 f(x)를 미분한 뒤 x에 -1만 대입해 주면 됩니다. 쉬운 문제지만 혹시 모르는 부분이 있다면 바로 e2x+3을 미분하는 것을 모르실 것 같네요. 원래 ex는 미분해도 ex인데 그 원리가 ex`=ex lne인데 lne가 1이기 때문에 그냥 미분해도 같은 것처럼 보이는 것입니다. 그렇다면 e2x+3=e2x×e3이니 곱의 미분법으로 보면( e2)x ' e3+ e2x×e3`=e2x×lne²×e³+0=2e2x+3가 되는 것입니다. 이거 이렇게 자세히...

이웃님들 안녕하세요. 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 지수함수의 미분에대해 알려드리려고 합니다. 지수함수 미분 공식 (도함수) ex은 미분을 해도 ex이구나 하고 공식 외우면 문제가 많이 막힐 겁니다. 그냥 (2) 번 공식을 외우세요... 지수 공식 미분하면 일단 그대로 한번 적고 ln 밑을 적어줍니다. 근데 밑이 e 일 때는 ln e가 1이니까 (1) 번식이 성립하는 것입니다. 도함수의 정의를 이용해 증명을 해보겠습니다. y=ex에서의 정의는 마지막에 lna가 아닌 lne이므로 1이 되어 ex이 된다고 생각하시면 됩니다. 즉 (2) 번 공식만 외운다면 (1) 번 공식은 저절로 외워지는 것입니다. 초등학교 수학에서는 공식만 하나 딱 외우면 문제가 술술 풀렸는데... 미적분은 이 공식을 외워도 기본서에 기본 문제를 풀어보려 하면 막히는 학생들이 꽤 있을 겁니다. 개념원리 미적분에 가장 기본적인 문제를 아주 자세히 과정을 적으면서 풀어 보겠습니다. 예제 1. (1) ex+2=e2×ex인데 여기에서 e2은 숫자입니다. 파란색 네모를 예를 들어 설명드리자면 5x2을 미분하면 10x가 되는 건 다들 아시리라 생각합니다. 여기에서도 숫자인 5는 그냥 놔두고 x2을 미분하면 2x가 되는데 거기에 5를 곱해서 10x가 되는 것처럼 e2×ex도 숫자는 놔두고 ex을 미분해서 숫자하고 곱해주면 답이 됩니다. 결과적으로 ex+2가 되는 것...

잇님들 안녕하세요. 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 부정적분과 미분과의 관계에 대해 알아보려고 합니다. 부정적분과 미분과의 관계 초등학교 때부터 괄호 안을 먼저 풀어야 한다는 것을 배워서 알고 있습니다. (1) 번의 경우 괄호 안의 적분을 먼저 하게 되면 없던 적분상수를 만들어 줘야 합니다. 그 후 다시 미분을 하게 되면 다시 상수가 없어지므로 f(x)가 되는 것입니다. 괄호 안의 미분을 먼저 해 준 다음 적분을 하게 되면 당연히 적분 상수가 생기게 됩니다. 이 부분은 곰곰이 생각해 보면 너무나 당연한 말 들입니다. 이 유형에 대한 문제를 풀어보면 더 자세히 이해하실 수 있으리라 생각합니다. 문제 풀어보러 가실까요? 문제 1. 부정적분과 미분과의 관계 좌변의 중 괄호 안을 먼저 계산한다고 생각해 보면 적분을 해서 적분상수가 생길 텐데요... 그걸 다시 미분을 하게 되면 그 적분상수가 없어집니다. 즉 좌변은 적분하고 다시 미분하게 되면 소괄호 안에 있는 것만 남게 된다는 말입니다. 즉 a=1, c=2, b=3, d=-7인 것을 그냥 눈으로 보기만 해도 알 수 있습니다. 정답은 -1 ③번입니다. 문제 2. 부정적분과 미분과의 관계 중 괄호 안의 적분을 한 뒤 미분을 하게 되면 적분상수가 생겼다가 다시 사라지게 됩니다. 즉 좌변은 xf(x)가 되고 우변은 x⁴+x³+x²+x이므로 xf(x)...

잇님들 안녕하세요. 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미분계수를 이용한 극댓값의 계산에 대해 알아보려 합니다. 제가 생각할 때에는 수학 2 중간고사를 치름에 있어 가장 중심이 되는 단원이 미분계수 부분이라고 생각하는데 미분계수는 유형이 아주 다양하고 응용이 여러 과목 여러 단원에서 이뤄지기 때문에 공부할 양이 조금 많더라도 확실히 해두셔야 합니다. 문제는 개념원리 RPM 288~291번 문제입니다. 예제 1 미분계수를 이용한 극한값의 계산 함수식이 주어졌을 때 미분 계수에 따라 위의 식처럼 h →0에 가까워질 때 분모가 h가 나오면 분자는 f(1+h)-f(1) 꼴을 만들어야 한다는 생각이 들어야 합니다. 그런데 분자에 f(1)이 없으니까 아래 풀이의 빨간색 글씨처럼 +f(1)-f(1)을 넣어 줍니다. 분자를 f(1+h)-f(1) - {f(1-h)-f(1)}로 볼 때 아래의 풀이에 있는 것처럼 분모의 h와 분자의 h의 계수를 같게 해주기 위해 분모와 분자에 같은 수를 곱해 줍니다. 그렇게 하면 아래의 극한값이 가리키는 값은 2f'(1)입니다. 정답은 ① -2입니다. 예제 2. 미분계수를 이용한 극한값의 계산 함수식이 주어졌을 때 분자를 보니 A²-B²=(A+B)(A-B)가 떠오 르네요. 분모가 x-1이므로 분자를 f(x)-f(1)을 만들어야 하는데 바로 만들어집니다. 그러면 f '(1)+...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 2025 수능특강 미분계수와 도함수의 기본 연습 1-7문제를 풀어 보았습니다. 기초 연습보다는 확실히 어렵다는 것을 느낄 수 있었습니다. 글로서 설명을 하는 데 한계가 확실히 느껴져서 포스팅을 함에 고민이 되었으나... 올려봤습니다. 설명이 부족할 수 있습니다. 손글씨 풀이를 아주 자세히 해 두었기 때문에 손글씨 풀이를 보고 이해를 해보시면 될 듯합니다. 분모가 h인데 분자에 f(2-h)이므로 분모에도 -1을 곱해줘야 합니다. 그래서 ㄱ의 식이 됩니다. 두 번째 식에서는 분모가 x-2이므로 우리가 원하는 분자는 f(x)-f(2)의 꼴이 필요한데 (3-x)가 아주 거슬리게 붙어 있습니다. 괄호를 하여 f(x)-f(2) 꼴을 만들어 주고 전개해 봤을 때 새롭게 생긴 -(3-x) f(2)를 없애기 위하여 (3-x) f(2)를 더해 줍니다. 그렇게 하면 f '(2)-f(2)가 -1인 것을 알 수 있습니다. ㄱ 식과 연립을 하면 f(2)=3, f' (2)=2라는 것을 알 수 있습니다. 정답은 6입니다. f(x) 위의 점 ( t, f(t))에서의 접선의 기울기란 말을 보고 f' (t)= g(t)인 것을 알 수 있습니다. 중 괄호 안에 있는 식을 보고는 x에서의 접선의 기울기가 2가 될 때의 x 값이 -3과 4라고 해석을 하면 됩니다. f(x)가 3차 함수이면 f ...

미분계수와 도함수 잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 2025 수능특강 수2 미분계수 부분의 기초연습 1-8번 문제를 다뤄 보았습니다. 기초연습이니만큼 어려운 문제는 없었으나 중요하지 않은 문제도 없었던 것 같습니다. 한 문제 한 문제가 다 꼭 알아야 하는 문제처럼 느껴졌으므로 문제를 보시고 이해가 안 되는 부분이 있으면 반드시 이해를 하고 넘어가셔야 할 듯합니다. 문제 1. 미분계수와 도함수 문제 1 분모에 0을 대입했을 때 0이 되는데 극한값이 존재하므로 분자에 0을 대입하면 분자도 0이 된다는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 f(2)=-1입니다. 분자의 +1 대신 -f(2)를 대입해 보면 f '(2) 꼴이 된 것을 알 수 있습니다. f '(2)=3입니다. ∴ f(2)+ f '(2)=-1+3=2 정답은 ②번 2입니다. 문제 2. 미분계수와 도함수 문제 2 평균변화율은 쉽게 말해서 기울기라고 생각하면 될 것 같습니다. 분모가 x 증가율 분자가 y 증가율로 두었을 때의 기울기와 f '(1)의 값이 같다고 문제에서 이야기를 하고 있습니다. 우선 f '(x)=3x²+2ax이므로 f '(1)=3+2a입니다. 기울기는 아래의 손글씨 풀이의 과정을 거쳐 13+4a라는 것을 알 수 있습니다. 3+2a=13+4a를 a에 대하여 정리해 보면 a=-5가 됩니다. 정답은 ①번 -5입니다....

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능 조건에 대하여 알아보았습니다. 제가 고등학생 시절 수학 공부를 할 때 문제에서 아무렇지도 않게 지나가듯이 미분가능할 때라는 말 한마디 적어 놓으면 그 말 한마디에 연습장 한 페이지를 다 쓰는 것에 어이가 없던 기억이 납니다. 그만큼 그 말이 자주 나왔거든요... 미분이 가능하다는 말이 나오면 연속이고 좌 미분계수와 우 미분계수가 같다는 점을 떠올리고 문제를 풀어 주면 됩니다. 이 말이 안 떠오르면 문제를 풀 수 없습니다. 이것만 기억하시면 됩니다. 문제에서 어떻게 적용되는지 보여 드리겠습니다. 예제 1 미분가능할 때, 미분가능 조건 미분이 가능하다고 하는 것은 일단 연속이어야 하고 좌 미분계수와 우 미분계수가 같아야 합니다. 연속이 되려면 함숫값과 극한값이 같아야 하는데 극한값이 존재하기 위한 조건에는 좌 극한과 우극한이 같아야 하는 조건이 있지요. 단 다항함수는 항상 연속이고 미분 가능하기 때문에 예제 1번 같은 경우는 2에서 함숫값만 같으면 연속에는 다른 이유가 없습니다. 2에서의 함숫값을 구하기 위해서는 x에 2를 대입해 주면 되는데 아래의 식에 2를 대입하면 4이니까 위의 식에 2를 대입하면 4가 된다는 것이지요. 위의식에 2를 대입하여 계산한 것이 손글씨 풀이 가장 위의 줄입니다. 즉 b=4-4a라는 것을 알 수 있습...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 미분계수를 이용한 도함수 풀이 이번 포스팅에서는 도함수 그러니까 f'(x)의 정의를 바탕으로 f(x)의 미정계수를 구하는 문제와 치환을 이용한 극한값을 구하는 문제를 풀어보았습니다. 미분계수에 대한 공부와 함수의 극한에 대한 공부가 되어 있지 않다면 아마 이해하기 힘든 부분이 많을 것으로 생각됩니다. 미분계수가 뭔지 모르시는 분들은 링크를 따라 한번 가보시는 걸 추천드립니다. ^^ 미분계수를 이용한 미정계수의 결정 예제 1 미분계수를 이용한 미정계수의 결정 미분 계수를 보고 그게 무엇을 말하는지 파악했는지를 물어보는 문제인 것 같습니다. 를 보고 이게 f'(2)인지는 아는지를 물어보는 문제라는 말이지요. 뒤에 있는 식을 보면 분모와 분자가 바뀌어있다는 생각이 들지요? 그러면 어떻게 해야 할까요? 분수는 분모와 분자에 같은 수를 나눠도 크기가 변하지 않기 때문에 분모와 분자를 똑같이 x3-1로 나눠 주면 됩니다. 그렇게 한 다음 붉은색 부분이 f'(1)이 되고 x에 1을 대입해 준 다음 또 분모와 분자에 3을 곱하게 되면 f'(1)이 -2라는 것을 알 수 있습니다. f'(x)=3x2+2ax+b에 f'(2)=5라는 식과 f'(1)=-2라는 식을 대입해 주면 연립하여 a, b의 값을 구할 수 있습니다. 미분계수를 이용한 미정계수의 결정 풀이 예제 2 미분계수를...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학실력 향상에 도움이 되고싶은 질수는없다 입니다. 제가 생각할때 수학2에서 가장 중요한 부분이 뭐냐고 물어본다면 미분계수가 처음 나오는 이부분인 것 같습니다. 뭐 여기서부터 적분까지는 다 비슷비슷한 내용이고 수학2에서 응용이 안되는 부분이 없는 곳이 아마 이 미분계수부분 인것 같습니다. 그런만큼 더욱더 많은 유형을 풀어보고 대비를 하여야 겠지요? 이 포스팅을보고 미분 계수를 다 알수있다고는 절대로 생각하지 않습니다. 이 포스팅도 보시고~ 여러가지 유형을 두루두루 풀어보셔야 합니다. 꼭~! 자 그럼 평균변화율과 미분계수에 대해 같이 한번 알아 보러 가시지요~ 고고고 1. 평균변화율의 의미 그래프에서 x의 증가량이 델타 x로 표기되고 y 증가량이 델타 y로 표기되어 있는데 결과적으로 x 증가량분에 y 증가량이라고 생각하시면 됩니다. 한마디로 일차함수의 기울기이지요. 2. 미분계수 f'(a)라는 것은 에프 프라임 a라고 읽으시면 됩니다. a에서의 순간적인 접선의 기울기라 생각하시면 될 것 같습니다. x의 증가량이 계속 줄어들어 결과적으로 x의 값이 a에 한없이 가까워졌을 때의 접선의 기울기라는 뜻이라 생각하면 될 것 같은데 처음에는 이해가 안 되더라도 고개 끄덕이면서 넘어가셔도 될 것 같습니다. 예제 1 평균변화율이란 것은 1차 함수의 기울기와 같다고 보면 됩니다. 평균변화율을 구하기 위해 x에 1과 3을 대입...

잇님들 안녕하세요 여러분의 수학 성적 향상에 도움이 되고 싶은 질수는 없다 입니다. 지난 포스팅에 정적분을 주제로 적었었는데.. 아무래도 부정적분도 적지 않고 정적분을 적은 게 조금 신경이 쓰여 부정적분을 주제로 포스팅해 보려 합니다. 적분은 미분의 역 연산이라고 하지만 미분처럼 복잡하게 공부하지는 않습니다. 미분을 이겨내고 온 여러분들이라면 적분은 조금 더 쉽게 느껴지지 않을까 생각합니다. 자 힘내서 부정적분을 정복하러 출발해 보실까요? 고2 수학2 부정적분의 뜻과 부정적분과 미분과의 관계에 대해 알아보자. 부정적분의 뜻 (1) 함수 F(x)의 도함수가 f(x)일 때, 즉 F`(x)=f(x)일때 F(x)를 f(x)의 부정적분 또는 원시함수라고 합니다. (2) 함수 f(x)의 부정적분 중 하나를 F(x)라 하면 f(x)의 임의의 부정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 고2 수학 수학2 부정적분의 뜻 여기서 C를 적분상수, x를 적분 변수, 함수 f(x)를 피적분 함수라 합니다. (3) 함수 f(x)의 부정적분을 구하는 것을 f(x)를 적분한다고 하고, 그 계산법을 적분법이라 합니다. 그럼 부정적분의 뜻을 문제로 한번 알아보도록 합시다. 수학2 부정적분의 뜻 예제 1 앞에 인테그랄이 있으니까 괄호 안을 적분하면 오른쪽 항과 같아진다는 뜻입니다. 그래서 그냥 적분을 해서 미정계수법으로 계수를 비교합니다. 수학2 부정적분의 뜻 예제 ...