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안녕하세요! 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미적분 2에서 배우는 함수의 몫의 미분법, 분수 미분법에 대해 알려드리겠습니다. 미적분 2 몫의 미분법 (분수 미분법) 공식 몫의 미분법은 분수 꼴로 되어있는 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 다항함수 등에서 두루 쓰이는 공식입니다. 개인적으로 분수가 아닌 꼴로 바꿀 수 있으면 바꿔서 안 쓰려고 노력은 하고는 있습니다만 안 쓰고는 안되는 공식이지요... 공식을 배울 때 2가지로 나눠서 배우긴 하지만 솔직히 분자가 1인 경우는 아래의 (2) 번 공식에 적용시키면 당연히 위의 식처럼 되므로 따로 외울 필요는 없다고 생각은 하는데... 유도할 때 위의 식을 알면 좀 더 편하게 유도할 수는 있습니다. 공식을 외워서 사용하시는 분들은 위의 (1) 번 공식은 안 외워도 생각합니다. 미적분 2 몫의 미분법 (분수 미분법) 공식 유도 시중 교재들의 유도법은 보통 델타 x를 이용하여 적어 둔 게 많은데... 저는 이게 좀 웃기더라고요. 문제는 전부 h로 내면서 공식 유도는 전부 델타를 사용하는 이유가 따로 있는지는 모르겠지만.. 저는 h를 이용해서 나타내봤습니다. 첫 줄부터 천천히 보면 이해가 되시리라 생각합니다. 만약 이게 이해가 안 되는 분들은 그냥 공식을 외워서 사용하세요.. 제가 수업하는 학생들의 경우 공식에서 분자를 먼저 미분하는지 분모를 먼저 미분하는지를 헷갈려 하는 학생들이 많이 ...

안녕하세요! 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미적분 1에서 나오는 정적분 넓이 공식에 대해 알려드리고자 합니다. 특히 미적분 1을 처음 공부하는 학생들도 이해하기 쉽도록 정리를 할 예정이니, 정적분을 통해 넓이를 구하는 방법을 알고 싶으신 분은 끝까지 읽어보셨으면 합니다. 곡선과 x축 사이의 넓이 질수는없다 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 아래와 같이 인티그럴을 통해 나타낼 수 있습니다. 실제 문제를 풀 때에는 그래프가 x축보다 아래에 있으면 y=0이란 식에서 빼니까 앞에 -를 붙여서 계산해 주고 그래프가 x축 위에 있을 때에는 f(x) 그래프에서 0을 빼는 형식이니 그대로 계산을 해주면 됩니다. 정적분과 넓이 공식 1 질수는없다 정적분과 넓이 공식 예제 1 위의 2차 식을 그래프로 나타내면 위의 그림처럼 나오는데 위의 그림에서 보다시피 x축이 이차식보다 위에 있으니까 y=0에서 이차식을 빼는 형식이니 0-f(x) 꼴이라 앞에 -를 붙여서 -1부터 3까지 적분한다고 생각하시면 됩니다. 이 문제는 정적분 넓이 공식으로도 풀 수 있습니다. (1) 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식 포물선 y=ax2+bx+c와 x축이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점의 x좌표를 α, β(α<β)라 하면 포물선과 x축으로 둘...

이웃님들 안녕하세요. 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 [미적분] 함수의 몫의 미분법에 대해 알려드리도록 하겠습니다. 함수의 몫의 미분법은 분수 꼴의 함수를 미분할 때 쓰이는 미분법입니다. (1) 번과 (2) 번으로 나눠져 있지만 분자를 1로 해서 (2) 번에 대입하면 (1) 번의 결과가 나오기 때문에 꼭 구별할 필요는 없다고 개인적으로 생각합니다. 당연히 (1) 번도 외워두면 더 좋겠지요? 공식이 복잡해 보여도 해보면 별거 없습니다. 공식만 보면서 외우는 것보다는 문제를 공식에 적용시켜보며 외워가는 게 훨씬 더 빠르게 외워집니다. 함수의 몫의 미분법 예제 1. 다음 함수를 미분하시오. 분자가 1인 분수 식인데 미분을 하게 되면 분모를 제곱하고 원래는 분자 미분×분모-분자×분모 미분을 분자에 적어야 하는데 1을 미분하면 0이 되기 때문에 -뒷부분만 분자에 적는다고 생각하면 되겠습니다. 그냥 공식에 대입을 한 것인데 자세히 적어 뒀기 때문에 공식과 비교하면서 보면 이해가 충분히 될 것입니다. 삼각함수란 것을 제외하면 (2) 번과 다를 게 없습니다. cosx를 미분하면 -sinx가 된다는 것과 sinx를 미분하면 cosx가 된다는 점 정도입니다. 함수 y=xⁿ(n은 정수)의 도함수 예제 2. 위의 예제 2의 (2),(3)의 경우는 몫의 미분법으로 풀어도 되지만 xn꼴로 바꾸어 수학 2에서 당연하게 사용하던 미분법처럼 n×xn...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미적분 삼각함수의 극한에 대해 알려드리려고 합니다. 삼각함수의 극한 수학 2에서 배웠듯이 연속인 함수에서 극한값은 함숫값과 같습니다. 사인과 코사인 그래프 사인 그래프와 코사인 그래프는 연속인 주기함수 입니다. 그래서 극한값을 물어보면 함숫값을 적어주면 됩니다. 탄젠트 그래프 점근선 부분을 제외하고 함숫값을 적어 주면 됨 탄젠트 그래프는 점근선이 있는 것 다들 알고 계시지요... 연속 함수가 아니기 때문에 점근선이 있는 부분을 제외한 값은 함숫값을 적어 주면 됩니다. 삼각함수의 극한 공식 이걸 공식화해서 적으면 이렇게 적을 수는 있겠지만 누가 봐도 쉬운 이런 문제가 시험에 나올까요? 안 나옵니다. 삼각함수가 0/0꼴인 때는 어떻게 극한값을 구할까? 수학 2에서는 0분의 0꼴의 분수식의 극한값을 구할 때 0이 되게 하는 인수를 약분한 뒤 x 값을 대입하여 극한값을 구할 수 있었는데 삼각함수의 경우 0분의 0꼴인 때는 공통인 인수를 만들어 약분이 불가능한데 어떻게 풀어야 할까요? 이게 바로 미적분 삼각함수의 극한의 포인트입니다. 0이 되게 하는 공통인수를 약분하는 것 대신 바로 이렇게 만들어서 극한값을 구할 수 있습니다. 분자 자리의 x가 2x 또는 어떤 식이 오더라도 분모에 같은 것을 넣어주면 1이 됩니다. 미분계수 형식과 비슷하다고 생각하시면 됩니다. 제가 문제를 풀...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미적분 삼각함수의 덧셈정리를 배운 뒤 극한을 배우기 전에 배우게 되는 삼각함수의 합성 공식과 합성을 이용한 최대 최솟값 구하는 것을 알아보겠습니다. 삼각함수의 합성 공식 두 삼각함수의 합 a sin θ+b cos θ (a ≠0, b ≠0)를 하나의 삼각함수로 변형하는 것을 삼각함수의 합성이라고 합니다. 공식으로 적어 둔 걸 보면 이게 뭔 말인가 싶은데... 이건 공식 말고 문제를 풀어보면서 접근하면 외우기보다는 이해가 된다고 생각합니다. 삼각함수의 합성 방법 우선 문제에서 주어진 식을 간단히 정리해서 asin θ+bcos θ꼴을 만들어서 사인의 계수와 코사인의 계수를 이용해 (a, b)라는 좌표를 만들어 동경을 긋는다고 생각을 합니다. 공식에서 말하는 √a²+b² 부분이 바로 그 동경의 길이입니다. 동경의 길이를 앞에 적어놓고 삼각함수의 덧셈 공식을 이용해서 정리해 주면 됩니다. 위의 순서대로 문제를 풀면서 설명드리겠습니다. 같이 풀면서 따라와 보세요~ 기본 예제를 풀어볼까요? 문제 1. 우선 sin(θ-60°)를 삼각함수의 덧셈정리로 풀어 주고 정리를 하면 빨간색 네모 박스처럼 나옵니다. 정리된 부분을 문제의 sin(θ-60°) 대신 대입해 주고 전개를 하면 a sin θ+b cos θ꼴이 되는데 여기서 a가 녹색으로 표시한 ㄱ이고 b가 보라색으로 표시한 ㄴ입니다....

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 미적분을 제가 처음부터 차근차근 포스팅을 올리고 있는데 드디어... 삼각함수의 덧셈정리 차례가 되었습니다. 삼각함수의 덧셈정리 공식 근의 공식을 처음 외우라고 할 때 이렇게 긴 게 다 공식이라고?라는 생각을 했었고.. 산 할아버지 노래에 맞춰 외웠던 기억이 있습니다. 유치하지만 그렇게 외우니 쉽게 외워졌는데... 이번 공식도 유치하든 어떻든 본인의 방식으로 외워야 합니다. 개념원리 인강 선생님 중에 이지훈 선생님이라고 계시는데 그분 강의에서 배운 방법으로 외운 것이 가장 쉬운 것 같아 그렇게 외우고 있습니다. (1) 신발 신코 풀코스 sin +(풀)= sin cos +(풀) cos sin (2) 코풀코코 막싱싱 co+ =coscos-(막)sin sin (3)일-(마)탄탄 탄+풀탄 (이건 그냥 분모부터 외운 것) 저는 이렇게 외우니까 그래도 잘 외워졌던 것 같습니다. 인터넷에 보면 온 갖 외우는 방법이 있는데 본인에게 맞는 대로 외우세요 제가 해보니 이게 그나마 가장 잘 외워졌던 것 같습니다. 마이너스의 경우 부호를 다 바꿔주면 됩니다. 삼각함수 덧셈정리 증명 증명방법도 온갖 방법이 다 있는데 시중 교재에서 복잡하게 적어놓은 증명 읽기도 싫으시죠? 그림 하나로 다 설명할 수 있습니다. 증명이란 것은 제가 식을 적어도 대충 보는 사람이 태반일 것 같은데... 진짜 증명이 궁금하신 분은 이...

이웃님들 안녕하세요 수학에게 질수는없다 입니다. 수학 1에도 삼각함수 사이의 관계가 나오고 거기에서 싸제곱 + 코제곱은 =1이라는 공식을 다들 외우고 계실 겁니다. 이식을 변형시켜서 두 가지 식이 추가로 나오게 되는데 1+tan ²θ=sec ²θ 1+cot ²θ=csc ²θ 입니다. 이 식이 왜 나왔는지는 보여드리겠습니다. 이 관계식은 싸제곱+코제곱=1의 양변을 코제곱과 싸제곱으로 나눠서 나온 식이므로 여러 말할 것 없이 외우셔야 합니다. 그냥 외우기만 해서는 실전에서 바로바로 안 보이므로 생각날 때마다 적어보고... 문제도 풀어보고 하면서 외우시길.... 이 그림을 보면 맞은편에는 각각 역수를 적어 두고 1번, 2번, 3 번 화살표를 따라 더하게 되면 값이 성립하는 것을 알 수 있습니다. 개인적으로는 싸제곱 + 코제곱 =1의 양변을 각각 나눠보는 게 더 편하다고는 생각합니다만 ... 이런 방법도 있습니다. 이 공식은 뭐 이해를 하고 할 것도 없으므로 문제를 풀면서 적용만 시킬 수 있으면 됩니다. 바로 문제 풀이로 가 보겠습니다. 연습문제 문제 1. 거창하게 적혀있다고 해 본들 분수입니다. 초등학교 5학년 때 배운 것처럼 분수를 더하려면 통분을 해야겠지요? 최소공배수인 두 수의 곱으로 통분한다고 생각해 보면 분모가 sec ²θ-tan ²θ가 되는데 여기에서 sec ²θ=1+tan ²θ이므로 분모가 1이 됩니다. 보라색으로 네모를 해 ...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미적분 삼각함수의 시작인 csc θ, sec θ, cot θ에 대해 알려 드리겠습니다. 물론 아는 사람은 쉽다고 하겠지만 누구든지 처음은 있는 것 아니겠어요? 저도 처음에 이거 외울 때 외우는 것 자체는 크게 어려운 것이 아니었지만 매번 문제를 풀 때마다 헷갈리는 건 어쩔 수가 없었습니다. 외우고 계속 쓰다 보면 익숙해지는 것이겠지요.... 삼각함수 csc θ, sec θ, cot θ 처음 보면 어떻게 읽어야 하는 지도 잘 모르는 것이 csc, sec, cot입니다. csc는 코시컨트, sec는 시컨트, cot는 코탄젠트라고 읽습니다. 각각 sin, cos, tan의 역수인데 저는 처음에 어떻게 외울까 고민하다가 원래 c로 시작하는 코사인만 역수가 c로 시작하지 않는다고 생각하니 쉽게 외워진 것 같습니다. 중심이 원점이고 반지름이 r인 원위의 점 (x, y)에 동경을 그었을 때 사인입니다. 개인적으로는 1사분면에 동경을 그어서 보는 걸 좋아하는데 시중 문제집에서는 다들 2사분면에 그어져 있어 제가 그냥 그렸습니다.... 반지름이 1인 원이라고 생각하면 r=1이 되므로 코사인θ값이 x가 됩니다. 코엑스라고 전 외워두니 쉽게 안 잊히더군요. 사인θ값은 그러면 y가 됩니다. r일 때는 분모에 r을 넣으면 된다 뭐 이 정도로 외워두시면 되기 않을까요? 오늘 하는 것은 사인과...

이웃님들 안녕하세요. 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 지수함수의 미분에대해 알려드리려고 합니다. 지수함수 미분 공식 (도함수) ex은 미분을 해도 ex이구나 하고 공식 외우면 문제가 많이 막힐 겁니다. 그냥 (2) 번 공식을 외우세요... 지수 공식 미분하면 일단 그대로 한번 적고 ln 밑을 적어줍니다. 근데 밑이 e 일 때는 ln e가 1이니까 (1) 번식이 성립하는 것입니다. 도함수의 정의를 이용해 증명을 해보겠습니다. y=ex에서의 정의는 마지막에 lna가 아닌 lne이므로 1이 되어 ex이 된다고 생각하시면 됩니다. 즉 (2) 번 공식만 외운다면 (1) 번 공식은 저절로 외워지는 것입니다. 초등학교 수학에서는 공식만 하나 딱 외우면 문제가 술술 풀렸는데... 미적분은 이 공식을 외워도 기본서에 기본 문제를 풀어보려 하면 막히는 학생들이 꽤 있을 겁니다. 개념원리 미적분에 가장 기본적인 문제를 아주 자세히 과정을 적으면서 풀어 보겠습니다. 예제 1. (1) ex+2=e2×ex인데 여기에서 e2은 숫자입니다. 파란색 네모를 예를 들어 설명드리자면 5x2을 미분하면 10x가 되는 건 다들 아시리라 생각합니다. 여기에서도 숫자인 5는 그냥 놔두고 x2을 미분하면 2x가 되는데 거기에 5를 곱해서 10x가 되는 것처럼 e2×ex도 숫자는 놔두고 ex을 미분해서 숫자하고 곱해주면 답이 됩니다. 결과적으로 ex+2가 되는 것...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅은 미적분 지수함수와 로그함수의 극한 부분의 문제 풀이를 해보려고 합니다. 며칠 전 포스팅한 무리수 e와 자연로그, 밑을 e로 하는 지수함수와 로그함수의 극한, 밑이 e가 아닌 지수함수와 로그함수의 극한을 이용한 문제 풀이입니다. 지수함수와 로그함수의 극한에서 미정계수의 결정 지수함수와 로그 함수도 말 그대로 함수이기 때문에 함수의 극한의 규칙을 따릅니다. 분수 꼴의 극한에서 극한값이 존재할 때 아래의 규칙을 이용해 미정계수를 결정할 수 있습니다. 분모가 0이면 분자도 0인 것을 이용합니다. 극한값이 ≠0일 때 분자가 0이면 분모가 0임을 이용합니다. 예제 1. 예제는 개념원리 미적분에서 인용했습니다. (1) x에 0을 대입하면 분모가 0이 되므로 분자도 0이 되어야 하므로 b=-1입니다. 분모의 파란색 부분이 x이기 때문에 분자의 빨간색 x를 넣어 줬습니다. 분자에 없던 빨간색 x를 넣어 줬기 때문에 분모에 빨간색 x를 같이 만들어 주면 서로 약분이 되어 상쇄됩니다. 빨간색 네모 부분은 1이고 나머지 부분이 lna인데 극한값이 la7이므로 a=7인 것을 알 수 있습니다. (2) x가 0일 때 분자가 0이므로 분모도 0이 되어야 합니다. b=0 분자의 지수가 3x이므로 분모와 분자에 3을 곱해줘서 분모를 3x를 만들어 주면 노란색 네모 부분이 1이 됩니다. a=6, b=0입...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 어제 쓴 밑을 e로 하는 지수함수와 로그함수의 극한에 이어 이번 포스팅에서는 밑이 e가 아닌 지수함수와 로그함수의 극한에 대해 알려 드리겠습니다. 밑이 e가 아닌 지수함수와 로그함수의 극한 지수함수와 로그함수도 함수이기 때문에 함수의 극한처럼 리미트가 나왔을 때 분모가 0이라면 분자도 0이겠거니 하는 생각이 있어야 합니다. 이 식은 공식처럼 외워야 하는 공식 아닌 공식입니다. 외우더라도 눈에 익히려면 많은 문제를 풀어 봐야 합니다. 우선 왜 이렇게 되는지부터 보여드리겠습니다. 분모의 x를 로그의 성질을 이용해서 지수에 올려주면 무리수 e의 정의에 의하여 진수 부분이 e가 됩니다. 밑이 a인 로그식이 나오는데 이를 밑이 e인 로그로 바꿔주면 분모가 ln a인 분수가 됩니다. 이렇게 알아본 공식을 실제로 어떻게 사용하는지 문제를 풀면서 알려드리겠습니다. 예제 1 (1)~(3)까지는 로그함수의 극한입니다. (1) 극한값을 구하는데 분모가 0이고 분자도 0인 걸 확인한 후 밑이 e가 아닌 3인 것까지 확인하면 이 공식이구나를 떠 올릴 수 있어야 합니다. 공식 적용하면 바로 답이 나옵니다. (2) 풀이를 하려고 보니까 제가 풀었던 게 조금 이상하게 풀은 것 같네요... 원래 분자에 x가 있으니까 그냥 7을 오른쪽에 빼놓고 보면 되는데... 분모와 분자에 각각 녹색 x를 곱했는 쓸데없는 짓을 해...

이웃님들 안녕하세요 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 미적분 지수함수와 로그함수의 극한에 대해 알아보려 합니다. 지수함수와 로그함수도 단어에 적혀있듯이 함수입니다. 수 2 함수의 극한에서 배운 것처럼 분모의 극한값이 0일 때에는 분자의 극한값도 0이 되어야 한다고 생각을 하면 됩니다. 밑을 e로 하는 지수함수와 로그함수의 극한 밑을 e로 하는 지수함수와 로그 함수입니다. 매번 풀어 봐도 되지만 너무 많이 나오는 식이므로 공부를 하다 보면 저절로 외워지는 공식 아닌 공식입니다. 분모의 극한값이 0일 때 분자의 극한값도 0이 되어야 합니다. 무리수 e의 정의를 이용하여 풀어보면 1이라는 극한값을 가진다는 것을 알 수 있습니다. 우선 왜 이렇게 되는지를 알려드릴게요 우선 (1) 번식입니다. 분모인 x를 앞으로 빼낸 뒤 로그의 성질을 이용하여 지수에 적어 줍니다. 적어 주고 나면 무리수 e의 정의에 부합하는 식이 나오는 것을 확인할 수 있습니다. 밑이 e인 로그식인데 진수가 e이므로 1이 됩니다. 치환을 해준 뒤 x에 대해 정리한 값을 x에 대입을 해보면 (1) 번식의 역수가 되는 것을 알 수 있습니다. 1의 역수는 1이므로 1입니다. 이 식을 외워서 문제를 풀 때에는 미분계수를 처음 배울 때처럼 분자의 세모 부분과 분모의 세모 부분을 같게 만들 때 극한값이 1이 된다는 것을 이용하여 문제를 풀 수 있습니다. 밑이 e인 지수함수...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 수능 빈출 유형인 등비급수의 활용에 대해 알아보도록 하겠습니다. 반복되는 패턴의 도형이나 패턴의 등비급수 활용 문제가 나왔을 때 도형이 아무리 어렵고 복잡하게 나오더라도 초항과 공비만 알 수 있다면 정답을 쉽게 구할 수 있습니다. 예제 문제는 개념원리 미적분에서 인용했습니다. 등비급수의 활용 좌표 예제 1. 이런 문제는 x좌표 따로 구해주고 y좌표를 따로 계산해 줘야 합니다. 선분의 길이가 갈수록 절반이 됩니다. 그에 따라 각도가 30도, 60도, 90도인 삼각형을 생각해서 x좌표만 본다면 오른쪽으로 갔다가 왼쪽으로 갔다가 오른쪽으로 갔다가 왼쪽으로 갔다가를 반복합니다. 그 말인즉슨 x좌표가 커졌다가 작아졌다가 한다는 것이지요... 그런데 오른쪽으로 가고 왼쪽으로 가는 폭은 점점 줄어드는데 그 비율이 1/2입니다. 사실 이렇게 반복되는 패턴의 문제에서는 등비급수라는 것을 알고 있다면 첫 번째 길이와 두 번째 길이의 비만 안다면 끝난 것이라고 할 수 있습니다. 예의상 3번째 길이는 한 번씩 구해보기는 합니다만... 여하튼 첫 번째 길이와 두 번째 길이의 비가 1/2인데 이 문제는 오른쪽 왼쪽을 반복하니 공비가 -1/2이라고 보고 등비급수 합의 공식에 대입을 해주면 x좌표가 위의 식처럼 나옵니다. y좌표를 구하려고 보니 x좌표와 다르게 계속 올라가는 것을 알 수 있습니다...

이웃님들 안녕하세요. 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 무리수 e의 정의에 대해 알아보고, 무리수 e의 정의를 이용한 극한 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 무리수 e의 정의 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, 의 값은 어떤 일정한 값에 가까워짐이 알려져 있고, 이 극한 값을 e로 나타냅니다. 이때 e는 무리수이고, 그 값은 e=2,718281....입니다. 괄호 안이 (1+0) 꼴이며 극한값이 0에 이르는 문자의 역수가 지수로 와야 하는 것을 이용하여 문제를 풀 수 있습니다. 예제 문제를 보며 설명을 해 드리겠습니다. 예제는 EBS 올림푸스 미적분에서 인용했습니다. 예제 1 무리수 e의 정의를 이용한 극한 1) 번의 경우 x가 0에 가까워질 때 괄호 안의 수가 (1+0)의 꼴이 됩니다. 빨간 줄을 친 것처럼 지수가 2x의 역수가 되도록 만들어 주면 그게 바로 무리수 e가 됩니다. 수학 2에 미분계수를 생각하시면 이해하시기 쉽습니다. 지수를 2x의 역수를 만들었기 때문에 바깥에 지수 2를 만들어서 원래의 식과 같게 만들어 주면 e²이 됩니다. 2) 번의 경우 x가 무한대에 가까워질 때 괄호 안은 (1+0)의 꼴이 됩니다. 1) 번과 마찬가지로 빨간색 부분이 역수가 되도록 지수를 만들어 주고 바깥쪽에 3을 적어서 지수의 곱이 문제에서 처음 주어진 지수인 x가 되도록 해줍니다. 그러면 중괄호 안의 부분이 e가 되므로 정답은 e...

등비급수의 수렴조건 등비수열의 일반항 등비수열의 일반항은 두 가지로 나눠서 생각할 수 있습니다. 첫째. 공비와 초항이 같은 경우. 둘째. 공비와 초항이 다른 경우. 입니다. 공비와 초항이 같은 경우는 일반항을 an=rⁿ으로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 공비가 2라면 초항은 2, 2항은 2², 3항은 2³... 이렇게 되는 것이지요... 공비와 초항이 다른 경우는 일반항 an=arn-1로 나타낼 수 있습니다. 등비급수의 수렴조건 등비수열의 일반항이 등비급수의 시그마 옆에 항상 자리를 잡는데... 수렴조건에서 일반항이 rⁿ일 때와 arn-1일때를 나눠서 생각해야 합니다. 2)번 유형의 경우 a가 0이라면 rn-1이 어떤 값을 가지더라도 0에 수렴합니다. 등비급수는 등비수열을 1항부터 무한대 항까지 계속 더하는 것인데 등비수열의 극한값이 0이라면 더해지는 값이 결국에는 0에 가까워 지니 급수도 어떤 값에 수렴을 할수 밖에 없습니다. 항상 등비수열의 극한값의 수렴범위와 등비급수의 수렴범위에 대해 주의 하셔야 할 것은 arn-1꼴인지 rⁿ꼴인지를 생각하셔서 a=0일때에 대해 생각해야 한다는 것과 1일때 수렴하지 않는다는 것입니다. 공비가 1일때의 등비수열의 극한값은 수렴하긴 하지만 0에 수렴이 아닌 a에 수렴을 하기 떄문에 급수에서는 수렴하지 않습니다. 공비가 1일때의 등비급수와 등비수열의 극한값의 비교 초항이 2일때 등비수열의 공비가 1...

이웃님들 안녕하세요? 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 사실상 우리나라 고등학교 수학의 끝판왕이라고 할 수 있는 미적분의 목차에 대해 알려드리려고 합니다. 제가 미적분을 우리나라 고등학교 수학의 끝판왕이라고 한 이유는 고등학교 수학의 모든 과목과 다 연결이 되어있는 것 같아서 그렇게 생각하는데 미적분은 수 1과 수 2가 되어있다는 전제 하에서 시작할 수 있는 단원이고 또 미적분 내의 단원들끼리도 앞 단원이 안 되어있으면 뒤 단원 시작을 하지 못하는 경우가 많기 때문에 "나는 미적분은 자신 있어!"라고 하는 학생은 뭐 다른 수학 과목도 다 된다고 볼 수 있다는 생각에서였습니다. 서론이 길었고... 바로 본론으로 직진하겠습니다. 미적분 목차 대단원 미적분은 크게 3단원으로 나눠져 있습니다. 사실 미적분이라는 과목 이름이 목차라고 해도 과언이 아닌데요. 1단원 수열의 극한 2단원 미분법 3단원 적분법입니다. 미적분의 미분과 적분이 2단원 3단원 이름이니 뭐 이렇게 간단할 수가 없지요? 제목처럼 내용도 간단하면 좋겠습니다만... 사실 1단원의 수열의 극한 같은 경우는 수 2의 함수의 극한과 아주 비슷한 부분이 많으니까 진짜 미분이 시작되는 것은 2단원부터라고 해도 과언이 아닌 것 같습니다. 1단원은 또 어떤 소단원들로 나눠지는지 세부 단원명을 보겠습니다. 1단원 수열의 극한 세부 단원명 확인 개념원리 미적분 목차 캡처 수열의 극한은 수 ...

급수와 수열의 극한 사이의 관계 (1) 급수 an이 수렴하면 n이 무한대로 갈 때 an의 극한은 0입니다. (2) (1) 번의 대우도 성립합니다. 즉 n이 무한대로 갈 때 an의 극한이 0이 아니면 an의 급수는 발산합니다. an의 급수가 수렴하면 an의 극한값은 0이다. 예제를 풀어 보면서 문제에 어떻게 적용되는지를 확인해 보세요 예제 1 급수와 수열의 극한사이의 관계 급수가 수렴하므로 괄호 안의 극한값이 0이라는 것을 파악할 수 있습니다. lim을 분배해 주면 lim an과 뒤의 분수 부분이 남는데 뒤의 분수 부분은 분모와 분자의 차수가 같고 최고 차 항의 계수의 비가 4/3이므로 극한값이 4/3입니다. 더해서 0이 되어야 하므로 lim an의 극한값은 -4/3 ②번입니다. 이처럼 문제에서 급수가 수렴할 때라고 하면 극한값이 0인 것을 파악해서 쉽게 문제를 풀 수 있습니다. 예제 2 급수와 수열의 극한 사이의 관계 급수가 수렴한다고 문제에서 알려줄 때 우리는 괄호 안의 극한 값이 0이라는 것을 파악할 수 있습니다. 그렇게 해서 파악한 것을 두고 문제에서 물어보는 것처럼 변형을 시켜야 하는데 아래의 손글씨 풀이에 과정이 자세히 있습니다... 글로서는 적을 엄두가 안 나네요 ㅎㅎ 예제 3 급수와 수열의 극한 사이의 관계 급수가 수렴을 하므로 괄호 안의 극한 값은 0이란 것을 알 수 있습니다. 그러면 n이 무한대에 가까워질 때 an/n...

잇님들 안녕하세요~ 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 매년 보는 미적분이지만.... 대부분의 학교가 미적분을 2학기에 보는 관계로 상대적으로 1학기에 미적분을 안 풀어보게 되는데... 이렇게 한동안 안 풀어보면 매년 보던 것도 잊히더라고요.... 지금부터 다시 한번 풀어 봐야겠다 싶어 꺼내서 보다가 미적분으로 포스팅하게 되었습니다. 사실 미적분 수업을 하기 전까지 수 1, 수 2, 확통 같은 경우는 대부분 이해를 시켜주고 다른 방법으로 쉽게 가는 길도 있다는 것을 알려주는 편인데.. 미적분을 수업하다 보면 너무 민망합니다.. 진도를 한 장씩 나갈 때마다 외워라는 말을 계속할 수밖에 없는 이유에서입니다. 물론 오늘 포스팅하는 급수에서는 아니지만요~ 천 리 길도 한 걸음부터~ 미적분도 급수부터~ ㅎㅎㅎ 예제는 EBS 올림포스 미적분에서 인용했습니다. 급수와 수렴, 발산 (1) 급수의 뜻 수열 {an}의 각 항을 차례대로 합의 기호 +를 사용하여 연결 한식 a1+a2+a3+·····+an+·····을 급수라고 하고, 이를 기호 ∑를 사용하여 나타낼 수 있습니다. Sn 과의 다른 점은 Sn은 n 항까지의 합을 말하는 것이고 급수라는 것은 n 항을 지나 무한대까지의 합을 나타내는 것이므로 Sn은 급수의 일부분이라고 생각하면 됩니다. (2) 부분합 : 급수에서 첫째항부터 n 항까지의 합 Sn=a1+a2+a3+···...