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이웃님들 안녕하세요~! 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 고등학교 1학년 과정에서 배우는 삼차방정식의 풀이를 알려드리려고 합니다. 삼차방정식의 뜻 다항식 f(x)가 x에 대한 삼차식이면 방정식 f(x)=0을 x에 대한 삼차방정식이라고 합니다. 참고로 삼차 이상의 방정식을 고차방정식이라 합니다. 인수분해를 이용한 삼차방정식의 풀이 삼차방정식 f(x)=0은 f(x)를 인수분해 한 후 ABC=0이면 A=0 또는 B=0 또는 C=0의 성질을 이용하여 해를 구합니다. 예제 1. 삼차방정식 x³+2x²-3x=0의 해를 구하시오. 문제의 식을 인수분해 하면 x(x²+2x-3)=x(x+3)(x-1)=0으로 인수분해 할 수 있습니다. 그러면 해가 0 또는 -3 또는 1입니다. 이처럼 인수분해가 되면 인수분해를 이용해서 해를 구하는 것이 가장 쉬운 방법이라 생각합니다. 조립제법(인수정리)을 이용한 삼차방정식의 풀이 방정식 f(x)=0에서 다항식 f(a)=0이면 f(x)=(x-a) Q(x)를 이용합니다. 이때 Q(x)는 조립제법을 이용해서 구할 수 있습니다. 삼차식의 해를 구할 때 인수분해가 되지 않으면 고등학교 과정에서 삼차식을 직접적으로 풀이하지는 않으므로 이차식이나 일차식으로 만들어야 하는데 그럴 때 생각을 하는 것이 조립제법입니다. 많은 학생들이 삼차방정식을 풀 때 곱셈공식을 이용하거나 인수분해를 시도하다가 안되면 조립제법을 한다는 ...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 중등수학 인수분해에 대해 알려드리고자 합니다. 인수분해란 무엇인가? (1) 인수: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 각각의 식을 처음 다항식의 인수라고 합니다. (2) 인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 합니다. 공통인 인수가 있을 때의 인수분해 다항식의 각 항에 공통인 인수가 있을 때는 분배법칙을 이용하여 공통인 인수를 엮어 내어 인수분해를 합니다. 인수분해를 할 때 주의 점은 공통인 인수가 남지 않도록 모두 묶어 내야 한다는 점입니다. 예제 1. 다음 식을 인수분해 하시오. (2x+1)(x-1)+(1-x)(x+3)= (2x+1)(x-1)-(x-1)(x+3)=(x-1)(2x+1-x-3)=(x-1)(x-2) Tip. 예제 1번처럼 (x-1)과 (1-x)처럼 순서만 바꿔주면 되는 것은 앞에 -를 붙여주고 순서를 바꿔 준 뒤 인수분해를 하면 됩니다. 완전제곱식 꼴의 인수분해 공식(a²+2ab+b², a²-2ab+b²) 사실 이것을 인수분해 공식이라고 하기는 애매하다고 생각하지만 또 공식이 아니라고 하기도 애매합니다. 곱셈공식 (a+b) ²=a²+2ab+b², (a-b) ²=a²-2ab+b²에서 좌변과 우변을 바꾸면 인수분해 공식이라 하고 바꾸기 전에는 곱셈공식이라고 해야 할까요? 뭐 어쨌든 보면 알아...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 조립제법을 이용한 삼차식의 인수분해를 알려드리겠습니다. 사실 인수분해를 통해서 삼차방정식과 사차방정식의 풀이라고 봐도 되겠습니다. 고등학교 1학년 1학기 중간고사의 시험범위가 여러 가지 방정식까지 일 경우가 많습니다. 조립제법을 고등수학 상 가장 앞부분인 다항식의 나눗셈에서 배운 뒤 인수분해와 이차방정식을 추가로 배우고 문제를 풀다가 삼차방정식과 사차방정식의 문제를 만났을 때 많은 학생들이 시도하는 것이 인수분해입니다. 곱셈공식에 해당하는 식이면 쉽게 해결할 수 있는데 그렇지 않은 경우 많은 학생들이 삼차식에서 당황을 하는 경우가 많습니다. 어려운 것이 아니라 앞부분에서 배운 조립제법을 사용한다는 생각 자체를 못해서 틀리는 경우가 많습니다. 조립제법을 생각한다면 어떤 수를 넣어서 조립제법을 해야 하는지를 몰라서 틀리는 경우도 있는데 긴말하지 않고 문제를 풀면서 설명드리도록 하겠습니다. 예제 1. 삼차방정식을 만난다면 앞에서 말한 것과 같이 곱셈공식을 이용해서 인수분해를 할 수 있는지를 확인해 보고 적용이 안된다면 조립제법을 써야 합니다. x에 우선 ± 상수항의 약수를 대입해서 방정식의 해를 찾습니다. 없다면... 최고 차 항의 약수를 분모에 넣어서 다시 한번 해를 찾아봅니다. 조립제법을 쓸 때 무엇으로 나누는지를 어려워하는데 가장 먼저 해봐야 하는 것은 상수항의 약수...

잇님들 안녕하세요. 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 이차방정식을 풀어내는 가장 기본적인 방법이라고 할 수 있는 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이에 대해서 알아보려고 합니다. 인수분해를 할 줄 안다면 이차방정식도 절반은 할 수 있다고 생각해도 되지 않을까요? ^^ 인수분해를 이용한 이차방정식 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 인수분해를 통한 이차방정식의 풀이 (1) AB=0의 성질 : 두 수 또는 두 식 A, B에 대하여 AB=0이면 A=0 또는 B=0을 이용하여 방정식의 해를 구할 수 있습니다. 인수분해를 통한 이차방정식의 풀이 (2) 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 ① 주어진 이차방정식을 정리한다. ax²+bx+c=0 ②좌변을 인수분해 한다. a(x-α)(x-β)=0 ③AB=0의 성질을 이용한다. x-α=0 또는 x-β=0 ④해를 구한다. x=α 또는 x=β 문제를 같이 풀어 보실까요? 문제 1 인수분해를 통한 이차방정식의 풀이 (2x-1)(3x+4)=0 정답 ②번 문제 2. 인수분해를 통한 이차방정식의 풀이 X의 값에 2를 대입해 주면 4+2a-8=0이 되므로 a=2인 것을 알 수 있습니다. x²+2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 곱해서 0이 되려면 (x+4) 또는 (x-2) 둘 중 하나가 0이 되면 되므로 x=2 or -4입니다. a=2, x=-4 정답은 ③번입니다. 문...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 인수분해 공식에 대해 적어 보려고 합니다. 공식을 외우더라도 인수분해는 문제를 다양하게 많이 풀어 봐야지 눈에 들어오는 단원입니다. 반드시 반복 반복 또 반복해서 문제를 풀어보세요 인수분해 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 합니다. 이때 곱을 이루는 각각의 다항식을 다항식의 인수라고 합니다. 인수분해 공식 인수분해는 다항식의 전개 과정을 거꾸로 생각하면 되므로 곱셈공식과 인수분해는 자리만 바꾸면 됩니다. 인수분해 공식 중등과정 말이 필요 없는 중학교 과정의 인수분해 공식입니다. 중학교 과정이라고 해서 고등학교 과정에서 사용하지 않는 것이 아닙니다. 물론 중학교 때처럼 이 자체가 문제가 되는 경우는 없지만 문제 속에서 아주 다양하고 빈번하게 사용되는 공식이므로 반드시 외워두셔야 합니다. 개인적으로 4번 공식은 잘 사용하지 않습니다.... 인수분해 공식 고등과정 9번의 경우는 치환을 해서 사용하면 꼭 외우지 않아도 된다고 생각합니다만 ⑤~⑧번 공식까지 어느 것 하나 중요하지 않는 공식이 없습니다. 어떻게 보면 고등학교 과정에서 새롭게 나오는 것은 4개밖에 되지 않는 공식인데 시험 치르는 직전까지도 헷갈려 하며 어려워하는 친구들을 많이 봤습니다. 고등학교 과정 전 범위에서 계속 사용되는 공식이므로 반드...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 중학교 3학년 인수분해 과정에서 학생들의 오답문제를 풀이를 해 보려 합니다. 잘 보지 못했던 유형도 있고 수백 번 풀어줬지만 또 틀린 유형도 있는데 모두가 중간고사 시험에 충분히 나올 수 있는 문제 같아 풀이를 해봤습니다. 약수가 아닌 것은이라고 물어보는 건 인수가 아닌 것은이라고 물어보는 것이라고 생각해서 풀어보면 될 것 같습니다. (216-1)=(28+1)(28-1)=(28+1)(24+1)(24-1)=(28+1)(24+1)(22+1)(22-1)=(28+1)(24+1)(22+1)(2+1)(2-1) 이렇게 인수분해가 되는데 마지막 인수 분해 한 것을 실제 계산해 보면 257×17×5×3×1 이렇게 적을 수 있습니다. ②번의 15는 3×5로 만들 수 있습니다. ④번의 51도 17×3으로 만들 수 있지요... 인수들의 곱으로 만들 수 없는 수는 258입니다. 정답은 ⑤258 소수와 인수분해 소수: 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수 시중 문제집에서 조금은 난이도가 있는 문제로 분류되어 이 유형을 다루지 않는 문제집도 꽤 있습니다. 한번 봐 두면 크게 어렵다고 생각되지는 않는데 학교 내신에서도 몇 번 본 적 있는 유형이므로 한번 봐 두시기 바랍니다. n2+8n-9=(n+9)(n-2)로 인수 분해 할 수 있습니다. n은...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 계수가 대칭인 사차식의 인수분해에 대해 풀이를 해 드리려고 합니다. 인수분해를 할 때 항이 5개 이상의 식은 차수를 확인하고 차수가 낮은 문자에 대한 내림차순 정리를 하는 것으로 시작을 합니다. 그런데 오늘 풀어 볼 유형들은 항이 5개 이상이라 차수를 확인하려고 하면 문자가 한 가지 밖에 없고 공통인 인수가 보이지 않고 내림차순 정리가 되어있는 상태로 문제가 나와있는 것이 특징입니다. 그럴 때 계수가 대칭인 것을 확인하면 아래와 같이 풀어보면 됩니다. 계수가 대칭이라는 것은 4차 식의 계수와 상수항, 3차 식의 계수와 1차 식의 계수가 같은 것을 말합니다. 계수가 대칭인 4차 식의 인수분해 항이 5개 이상인데 내림차순으로 이미 정리가 되어있고 공통인 인수를 찾지 못할 때 계수를 확인해 봅니다. 위의 사진처럼 계수가 대칭인 것을 확인할 수 있습니다. 등식이라면 등식의 성질을 이용하여 양변을 같은 수인 x² 나눠주고 풀이를 하겠지만 등식이 아닌 이유로 x²을 엮어 내어주고 풀이를 합니다. 과정에서 x+1/x 부분을 A로 치환을 하여 풀이를 하였습니다. 치환을 하여 정리를 하여 인수분해를 해 준 뒤 다시 치환을 풀어 주고 처음에 엮어 내었던 x²을 x × x로 바꾼 뒤 곱해주면 정답을 알 수 있습니다. 계수가 대칭인 4차 식의 인수분해 예제...

잇님들 안녕하세요? 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 이번 포스팅에서는 고등학교 1학년 과정 인수분해 중 삼각형의 모양을 판단하는 문제 유형에 대해 포스팅을 하려 합니다. 내신에서도 빈번하게 출제되는 문제이니 만큼 꼭 알아두시기 바랍니다. ^^ 인수분해를 통한 삼각형의 모양 판단하기 이 삼각형은 어떤 삼각형이냐고 물어보는 문제가 있으면 우선 인수분해를 해놓고 생각을 해 봐야 합니다. 인수분해를 이용하여 삼각형의 세변의 길이 사이의 관계를 알아낸 후 (1) a=b=c 이면 정삼각형 (2) a=b 또는 b=c 또는 c=a 이면 이등변 삼각형 (3) a²=b²+c² 이면 빗변의 길이가 a인 직각삼각형 입니다. 이 중 문제집 유형에서 가장 많이 나오는 건 정삼각형을 유도하는 식이 많은데 고등학교 내신에서는 삼각형 유형이 나올 때 정삼각형 유형을 잘 내지 않는 편입니다. 이등변삼각형이면 a=b가 같은 이등변삼각형이라고 해야 하거나 직각삼각형이면 a가 빗변인 직각삼각형이라고 적어야 하는데 정삼각형이면 그런 조건이 없기 때문이 아닐까 생각해 봅니다. 하지만 정삼각형을 유도해 내는 식은 삼각형을 판단하는 문제가 아니더라도 많이 쓰이기 때문에 꼭 봐둬야겠지요? 백문이 불여일견입니다. 문제를 풀면서 알려 드리겠습니다. 예제 1 복잡한 식의 인수분해 삼각형 모양 판단 항이 5개 이상이 있는 식을 인수분해를 할 때 가장 먼저 ...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 천재 교과서 고등수학 상의 인수분해 스스로 확인하기 문제를 풀어 보았습니다. 확실히 교과서이다 보니 조금은 쉬운 문제가 나오는 경향이 있었지만 평소에 많이 풀어 보지 않았던 조립제법을 통한 인수분해 방법과 나머지 정리처럼 풀어보는 인수분해 문제도 풀어 볼 수 있었습니다. 조금 쉽다고 생각되더라도 교과서니까 한 번씩은 풀어보고 넘어가는 것이 좋을 것 같습니다. 1번은 인수분해 문제라기보다는 곱셈공식 외웠는지 확인하는 문제 같습니다. 이 문제를 보고 망설이신 분들~~곰셉공식 외우세요~ 설명할 것도 없이 그냥 곱셈공식입니다. ^^ (1) 번 같은 경우 복이차식이라고 볼 수는 있는데 x2을 A로 치환을 했을 때 이 문제처럼 인수분해가 되는 이런 쉬운 문제는 너무 쉬워서 내신 문제에서는 보기 힘들 것 같습니다. 이런 문제가 있다는 것 정도로 봐 두시면 될 것 같습니다. (2) 번 문제도 공통인 부분을 치환을 하여 인수 분해를 한 다음 치환을 풀어서 이차식의 곱으로 만든 다음 거기서 인수분해가 되는 것은 한 번 더 인수분해를 진행하여 풀이를 해 봤습니다. (3) 번처럼 3차 식을 주고 인수분해를 하라고 하면 최고차항이 1이므로 상수항의 약수를 x에 대입을 해보고 0이 되는 값을 찾아서 조립제법을 진행해 보면 쉽게 문제가 풀리는 경우가 많습니다. ...

잇님들 안녕하세요. 여러분의 수학 성적 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 100일 미션 챌린지를 진행한지도 벌써 7일째군요.. 그 말인즉슨 7번째 포스팅이란 말이죠. 지난 포스팅에 이어 이번에도 고등수학 상 인수분해에 대해 포스팅을 했습니다. 인수분해 마지막 내용입니다. 그럼 오늘도 시작해 봅시다~ 고고고 여러 가지 문자를 포함한 식의 인수분해입니다. 고등수학 상 인수분해 중 여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해 이렇게 긴 인수분해 문제를 보면 사실 막막하시죠? 어떻게 시작해야 할지를 모른다면 어디에서부터 손을 대야 할지 막막한 게 사실입니다. 항이 5개 이상 이어진 문제 중 미지수가 한 개인 식은 조립제법을 하고 여러 개의 문자가 있는 식은 항상 차수 확인을 합니다. 이 문제를 보면 X는 세제곱 즉 3차, Y도 3차, Z는 최고차항이 2 차인 것을 확인할 수 있습니다. 이렇게 확인한다면 차수가 가장 낮은 문자에 대해 내림차순 정리를 합니다. 이 문제에서는 Z제곱항+Z항+Z가 없는 항 순서로 정리를 해주면 (X-Y)가 공통인수로 등장하는 것을 볼 수 있습니다. 그다음 (X-Y)를 엮어 내서 정리를 해주면 답이 됩니다. 저도 뒤에 식이 인수분해가 더 될 것 같아 계속 시도를 해봤는데 안돼서 정답을 확인했더니 그냥 저게 답이더라고요... 처음에 인수분해를 할 때는 이렇게 긴 식의 인수분해를 하면 괜히 뿌듯한 기분도 들고 그렇...

안녕하세요. 여러분의 수학 성적향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 이번 포스팅은 지난 나머지정리에 이어 인수분해를 해 보기로 했습니다. 어제 중학교 인수분해 과정을 맛만 조금 보고 끝내서 중학 인수분해 뒷부분을 해야 하는데 고등수학 상 부분도 인수분해 차례네요.. 고등수학 상 부분은 현재 매일 업데이트를 하는 미션을 걸어 놓고 하는지라.. 이거부터 진행을 해보도록 하겠습니다. 중학교 3학년 인수분해 01도 링크를 올려 두도록 하겠습니다. 자 그럼 시작해 볼까요? 고등수학 상 인수분해 공통부분이 있는 식의 인수분해 공통부분이 있는 식의 인수 분해입니다. 누가 봐도 공통부분이 보이도록 괄호까지 쳐 놨네요. 그렇다면 치환이란 걸 해봐야 합니다. 오늘 저희 학원에 고등수학 상을 등록한 학생이 있는데 치환을 이야기했더니 처음 듣는다는 얼굴을 하더군요.. 음... 중학교 과정에도 치환이 있을 텐데... 학원을 처음 다닌 학생이라 교과서에 안 나올지도 모르겠다는 생각을 해 봤습니다. 치환이란 쉽게 말해 반복되는 복잡한 어떠한 것을 내가 계산하기 편하게 하기 위해 간단하게 두고 계산 한 후에 나중에 다시 그 복잡한 걸 풀어 보겠다는 겁니다. 누가 봐도 괄호 안의 이차식이 반복되므로 저 이차식을 A로 치환을 하여 풀이를 해봤습니다. 우선 풀이 한번 보실까요? 공통부분이 있는 식의 인수분해 풀이 어렵지 않게 이해가 되시죠? 이번 문제는 비슷한 ...

안녕하세요 여러분의 수학 성적 향상에 도움이 되고 싶은 질수는 없다 입니다. 이번 포스팅은 악명 높은 인수분해에 대해 적어 보려 합니다. 인수분해의 악명을 벗겨주기 위해서~ 인수; 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 각각의 식을 처음 식의 인수라 한다. 인수분해: 쉽게 말해서 인수의 곱으로 나타낸 것이다. 곱셈공식의 역 연산이라 생각해도 된다. 인수분해는 일단 기본적으로 공통인 부분을 분배법칙을 통해 엮어 내주는 게 우선이다. 같이 한번 연습해 봅시다~ 공통인 인수를 이용한 중3 인수분해 공통인 인수를 이용한 중3 인수분해 (1) 번 문제를 보면 공통인수가 3a라는 것을 알 수 있다. 그걸 분배법칙을 통해 엮어 내면 3a(a-2) 가 된다. 엮어 내고 남은 부분은 남은 애들끼리 더해주면 된다. (2) 번 문제는 공통인 인수가 2xy다. 분배법칙으로 엮어 내면 남은 부분이 3-y이다. 학교 시험에서 이 정도 난이도의 인수분해 문제는 나오지 않을 겁니다. 하지만 천 리 길도 한 걸음부터라고 했으니까 차근차근해봐야죠 ^^ 자 다음 문제에서는 인수를 모두 고르라는 정말 쉬운 문제입니다. 개인적으로 이 문제가 나오면 아주 좋았던 기억이 있습니다. 너무 쉬워서 말이죠... 인수를 모두 고르시오라고 하면 각각의 인수들을 곱해서 나타낼 수 있는 것도 인수이다. 그것만 알면 이런 문제는 뭐 시험에 나오는 순간 "감사합니다"라고...