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이번 포스팅에서는 미적분 과목의 필수 공식인 삼각함수의 미분 공식에 대해 정리해 보고, 미분 공식을 활용해 교과서를 같이 뽀개기 해보려고 해요. 삼각함수 미분공식 유도과정을 이해하기 위해서는 '도함수의 정의' , '삼각함수의 덧셈정리' , '몫의 미분법(분수 미분법)'의 개념이 잡혀 있어야 합니다. (기억나지 않는 공식들은 각 공식들을 클릭하면 관련 포스팅으로 연결됩니다) 결론부터 보자면, 아래와 같이 정리가 돼요. sin과 cos을 한 묶음으로, sec와 csc를 한 묶음으로, tan와 cot를 한 묶음으로 외우면 편리하겠죠? 또한 co로 시작하는 삼각함수를 미분하면 모두 ' - ' 가 붙는다는 사실 기억하세요. :) 하나씩 증명해 볼게요. sinx , cosx 뽀개기 sin x 와 cos x 모두 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리를 이용해 공식을 유도했어요. sin 과 cos은 서로 바뀌고, 부호만 신경 쓰면 됩니다. tan x 와 cot x 뽀개기 tan x 와 cot x를 미분한 결과를 보면 모양이 똑같죠? tan를 미분하면 sec2로, cot를 미분하면 -csc2로 미분됩니다. sec x, csc x 뽀개기 점점 삼각함수 미분 공식이 복잡해지는 느낌이죠? sec와 csc는 자기 자신을 한번 반복 후, 뒤에 tan와 cot가 또 붙어요. 역시 co로 시작하는 cot를 미분했을 경우 (-)가 붙습니다. 삼각함수 활용 문제 풀어...

고등학교 2학년 혹은 3학년 과정에서 배우는 미적분 과목에 나오는 '삼각함수 미분공식'입니다. 이 내용은 삼각함수의 미분 단원에 삼각함수의 극한과 몫의 미분, 합성함수의 미분 등과 함께 나오는 단원의 내용입니다. 해당 단원의 개념 정리는 (삼각함수의 미분, 극한) (여러 가지 미분법)에서 확인할 수 있습니다. 삼각함수의 미분 공식부터 정리하자면 위와 같이 됩니다. 당연히 미적분을 공부하는 학생이라면 모두 외워야겠고요. 미분 공식은 도함수의 정의와 몫의 미분 등의 방법을 이용해 유도할 수 있습니다. 위 이미지에도 썼지만 '코'로 시작하는 삼각함수 (cos 코사인, cot 코탄젠트, csc 코시컨트)는 미분 시 부호가 모두 (-)로 미분이 됩니다. 둘씩 짝을 지어 놓았는데 꼴이 비슷하니 같이 외우면 편할 겁니다. 물론 헷갈려선 안되겠죠! 하나씩 증명해 볼게요. sinx 와 cosx는 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈 정리를 이용해 공식을 유도할 겁니다. y=sin x 미분 y=cos x 미분 나머지 네 개의 삼각함수의 미분은 몫의 미분법을 이용해 유도할 겁니다. y=tan x 미분 y= cot x 미분 y=sec x 미분 y= csc x 미분 어렵지 않죠? sin x 와 cos x만 도함수의 정의를 이용했고 나머지 삼각함수는 모두 몫의 미분법을 이용해 미분해 주었습니다. 직접 해보면 더 쉬울 겁니다. 이렇게 직접 유도해 보는 것도 공부에 ...

고등학교 2학년 수학 1의 삼각함수 단원에서 처음 맞이하는 난관이 바로 삼각함수의 각 변환입니다. 원리를 알면 무척 쉽지만 기본 원리를 가지고 하나씩 생각하며 풀자면 시간을 꽤 잡아먹는 유형이기도 하죠. 내신 시험 같은 경우 수학 점수는 시간 싸움이기 때문에 작은 것 하나도 효율적으로 풀어내는 연습을 해야 해요. 이번 포스팅에서는 어떻게 효과적으로 각 변환을 할 수 있는지에 대한 작은 tip을 정리해 보려 합니다. 본격적으로 각 변환에 들어가기 전에 기본적인 내용을 먼저 제대로 숙지하고 있어야 해요. 동경의 위치에 따라 삼각함수의 부호가 달라집니다. 제1사분면은 모두 + , 제2사분면은 sin만 +, 제3사분면은 tan만 +, 제4사분면은 cos만 + . 이렇게 말이죠. 이 내용에 대해 제대로 된 개념 및 공식 정리는 <삼각함수, 두 동경의 위치 관계> 포스팅에서 확인하시면 됩니다. < 삼각함수 값의 부호> 기본적으로 동경에 대한 부호는 동경위의 한 점에서 x축에 수선의 발을 내려만든 직각 삼각형을 이용해서 정합니다. 가령 동경이 제2사분면에 있을 경우 x축에 수선이 발을 내리면 직각삼각형의 가로 부호는 ' - ', 세로 부호는 ' + ' , 빗변은 '+' 가 됩니다. 이를 이용하면 sin 값만 ' + '로 결정되는 것이죠. 이러한 성질을 이용해 삼각함수의 각 변환을 시작해 볼게요. 아래 식에서 n은 정수이고, θ는 예각 취급을 합니...

이번 포스팅에서는 고2 과목인 수학 1의 ' 삼각함수 '에 해당하는 문제를 몇 개 풀어보려고 합니다. 총 4문제로 작년 (2021년)에 출제된 문제들은 모두 쉬운 문제들(3점)이더라고요. 아마 삼각함수의 활용에 해당하는 문제들은 미적분으로 많이 출제가 돼서 그런 것 같아요. 그래서 2019년도에 출제된 고2 학평도 하나 넣었습니다. 오늘 준비한 문제를 풀려면 아래와 같은 내용을 알고 있어야 해요. < 삼각함수에 대한 기본 내용 : 동경, 부채꼴의 호의 길이와 넓이 등 > < 여러 가지 각에 대한 삼각함수의 성질 : 삼각함수의 그래프 > 해당 페이지에 개념 및 공식 정리가 같이 들어 있습니다. 작년 기출문제를 살펴보면 일반각에 대한 삼각함수의 성질을 묻는 문제가 자주 보입니다. 정확히 개념을 이해하고 들어가야 하겠습니다. sin(-θ)=-sin θ cos(-θ)=cos θ tan(-θ)=-tan θ sin(π+θ)=-sin θ / sin(π-θ)=sin θ cos(π+θ)=-cos θ / cos(π-θ)=-cos θ tan(π+θ)=tan θ / tan(π-θ)=-tan θ 2022학년도 (2021년 출제) 수능 양변에 tan θ를 곱해서 이차방정식을 풀어주면 되는 문제입니다. θ는 제3사분면에 있으니 tan 값만 양수이고 sin과 cos 값은 음수라는 성질을 이용해 풀어주면 되겠죠? 풀이입니다. 2021년 시행 9월 모평 바로 위의 ...

삼각함수의 덧셈정리, 배각공식과 반각공식은 미적분 과목에서 "사인함수와 코사인함수의 도함수" 단원에서 나옵니다. 개념(공식) 정리에서는 결과만 넣어놓아서 따로 유도과정을 걸어놓습니다. 해당 단원에 대한 개념 정리(공식정리)는 "삼각함수의 미분" 포스팅에서 확인할 수 있습니다. (클릭하면 해당 페이지가 새로 열려요) 1. 삼각함수의 덧셈정리(사인, 코사인, 탄젠트함수의 덧셈정리) 2. 배각 공식 3. 반각공식 순서대로 공식 유도 시작할게요! 유도과정 말고 공식만 알면 되는 거 아니냐는 학생들도 많은데, 시간적 여유가 있다면 꼭 직접 해보길 권합니다. 혹시 공식이 잘 기억나지 않을 때 다시 유도하기도 좋고, 유도과정을 이용하는 스타일의 문제도 출제되고 있으므로 (수능 모의고사에) 되도록 유도해 보기! 증명하는 데 필요한 길이를 구할 때 번호를 매겨놓았는데, 그 번호 순서대로 길이를 구하며 따라오면 편할 거예요. :) 배각 공식과 반각공식은 정식으로 교과서에 나오는 내용은 아닙니다만 삼각함수의 덧셈정리로 충분히 유도 가능한 공식이에요. 꼭 외울 필요는 없지만 외워놓지 않는다면 적분을 할 때 고생스러울 거예요. 암기하길 추천합니다. 삼각함수의 덧셈정리 1. 사인함수의 덧셈정리 1) 반지름의 길이가 1인 사분원 위에, 동경이 α인 곳에 점 P를 잡는다. 2) 동경이 α+β가 되는 곳에 점 Q를 잡는다. 3) 점 Q에서 x축에 수선의 발을 내려...

일반적으로 ∠C=90° 인 직각삼각형 ABC에서 ∠B의 크기가 정해지면 직각삼각형의 크기에 관계없이 두 변의 길이의 비 의 값은 항상 일정합니다. 를 ∠B의 사인이라 하고, 이것을 기호로 sinB로 나타냅니다. 를 ∠B의 코사인이라 하고, 이것을 기호로 cosB 로 나타냅니다. 를 ∠B의 탄젠트라 하고 , 이것을 기호로 tanB로 나타냅니다. 이 sinB, cosB, tanB를 통틀어 ∠B의 삼각비라고 합니다. 이런한 삼각비는 몇몇 각에 대해 특수한 비를 가져요. 그 특수한 비를 이용해서 삼각비의 값을 정리해서 표로 만들 수 있어요. 표를 만들기 전에 아래 그림을 보면서 어떤 특수한 비를 가지는지 살펴볼까요? 손으로 대충 그린 것이라 그림이 정확하진 않습니다. 각도에 따라 저런 비를 가진다는 것을 중점적으로 봐주세요. 위의 삼각형은 정삼각형의 절반을 따로 그려놓은 것이에요. 위 그림은 직각이등변 삼각형에 대한 특수각의 비입니다. 두 삼각형을 이용해서 아래와 같이 삼각비를 표로 나타낼 수 있어요. 보다시피 sin x와 cos x는 아주 비슷하게 생겼죠? 정확히 삼각비의 값을 반대로 가져요. sin x만 제대로 외우면 cos x는 자동이죠. tan x 같은 경우 sin과 cos의 비로 이루어져 있어요. 이렇게 말이죠. 삼각비 표에서 sin을 cos으로 나눈 바로 그 값이 tan 값이라고 기억해두면 편합니다. 삼각비에 대해 조금 더 들어가...

정적분 개념정리 입니다. 부정적분에서 새롭게 많은 적분방법을 배웠죠. 지수함수의 적분과 로그함수의 적분을 포함해서, 치환적분과 부분적분까지 재미있는 많은 적분법을 배웠습니다. 여러 가지 적분법을 다시 정리하고 싶다면 복습하고 오기 (클릭하면 여러 가지 적분법 페이지가 새롭게 열립니다) 이번 단원에서는 구체적으로 정적분 구간을 정해서 적분값을 구해줄 거예요. 정적분에서 조심해야 할 것은, 치환적분시 적분 구간이 바뀐다는 것, 부분적분 시 부정적분과 조금 식이 달라진다는 것 정도가 되겠네요. 두 가지만 조심하면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 개념 정리와 예제 문제는 RPM 을 이용했습니다. 원본파일입니다. 첨부파일 미적분-정적분.pdf 파일 다운로드 개념 정리를 보면 우함수와 기함수의 개념이 나와요. 이 내용은 고등수학(하)의 함수 단원에서 나옵니다. 아직 정리해서 올리기 전입니다. 우함수는 단순하게 짝수차 함수 혹은 y 축 대칭함수라고 생각하면 편해요. 마찬가지로 기함수는 홀수 차 함수 혹은 원점 대칭함수라고 생각하면 됩니다. 우함수는 y 축 대칭함수이므로, 정적분 값도 y 축에 대해 좌우 대칭으로 같은 값을 가집니다. 그래서, 이렇게 되는 거죠. 기함수는 원점 대칭함수이므로 원점에 대해 대칭인 정적분 값을 가집니다. 즉 절댓값은 같지만 부호를 반대로 같죠. 그래서, 이렇게 됩니다. 이런 성질을 잘 알고 풀어내면 됩니다. 정적분에서 이...

지난 수 1 개념에선 삼각함수의 그래프에 대해 배웠습니다. 기억이 잘 나지 않는다면 복습하고 오세요. (삼각함수의 그래프 복습하기) 제 개념 정리는 복습용으로 정리하기에 적당한 자료입니다. 내용은 '수학의 왕도'를 참고했습니다. 원본파일입니다.(pdf파일입니다) 첨부파일 삼각함수의활용(암호).pdf 파일 다운로드 해당pdf파일에 암호를 걸어두었습니다 암호는 (0915) 입니다. 스크랩하면 본인의 블로그에서 보라색 부분을 긁으면 암호가 보여요. 혹은 댓글로 남겨주시면 비밀글로 알려드립니다. 사인법칙 (sin 법칙)은 변의 길이와 마주 보는 각에 대한 사인함수의 비는 일정하다는 성질을 이용해 나온 공식입니다. 코사인법칙 (cos 법칙)은 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기를 알면 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있도록 만들어진 식이에요. 문제에 따라 둘 중 하나만 사용해도 되는, 혹은 둘 다 사용해야 하는 식으로 다양하게 나옵니다. 학생들은 처음 문제를 풀 땐 자주 헷갈려 해요. 이 문제는 뭘 써야 하는 거죠? 혹은 둘 다 써야 하는 건 알겠는데 뭐부터 해야 하죠? 이런 식으로 말이죠. 각이 두 개 등장하고, 변이 두 개 등장하거나 외접원의 반지름이 등장하면 사인법칙, 세변의 길이를 알려주고 각을 구해야 하거나, 두변과 끼인각 등을 알려주고 나머지 한 변을 구하는 문제는 코사인법칙이라고 생각하면 됩니다. 각을 몇 개 쓰고, 변을 몇 개 ...

수학 1 , 6. 삼각함수의 그래프 개념 정리입니다. 앞서 5단원에서 삼각함수에 대한 기초적인 개념을 배웠습니다. 기억이 나지 않는다면 5단원 복습하고 오기! 이번 단원에서는 각 삼각함수의 그래프를 그려보고, 함수의 성질, 최댓값, 최솟값, 주기, 삼각방정식과 부등식에 대한 내용이 들어갑니다. 제가 정리한 개념은, 처음 삼각함수의 그래프를 공부하는 학생보다 이미 공부를 한 상태에서 다시 한번 정리하며 복습하는 용도로 사용하는 게 좋습니다. 개념 정리와 예제는 수학 1 쎈을 참고했습니다. 원본 파일입니다. (원본 파일은 확대해도 깨지지 않아요) 첨부파일 삼각함수의 그래프.pdf 파일 다운로드 주기함수 삼각함수는 주기함수입니다. 특정한 주기로 반복되는 형태의 함수이죠. 주기함수 같은 경우 f(x+p)=f(x) (주기:p)라고도 표현하지만, f(x-a)=f(x+a) (→ f(x)=f(x+2a) : 주기 2a) 라고도 표현합니다. 같이 외워두세요. 주의! f(a+x)=f(a-x)는 주기함수를 의미하지 않습니다. x=a에 대칭이라는 의미입니다. 삼각함수의 그래프 각 삼각함수의 그래프와 성질은 위 그림파일에서 모두 자세히 설명해 놓았습니다. 그림은 당연히 모두 암기해야 합니다. (수학은 암기과목이죠) 그래프를 그리지 못하면 삼각함수에 관련된 문제를 풀기 힘듭니다. 삼각함수의 그래프를 이용해서 미정계수 구하는 문제를 하나 풀어볼까요. Q. 함수 ...

미적분 5번째 단원 여러 가지 미분법에 대한 정리입니다. 앞서 지수와 로그의 극한과 미분 값, 삼각함수 중 sin 과 cos에 대한 미분 값을 배웠습니다. 이번 단원에서는 한 단계 더 나아가, 몫의 미분법 (분수 형태의 미분) 삼각함수의 미분법 (sin과 cos뿐 아니라 tan, sec, cot, csc)에 대한 미분 매개변수로 나타낸 함수의 미분법, 함성 함수의 미분법, 역함수의 미분법에 대해서도 배우게 됩니다. 당연히 모두 암기해야 합니다. 미분 공식 암기는 기본입니다. 원본 파일입니다. 첨부파일 여러가지미분법.JPG 파일 다운로드 함수의 몫의 미분법 분수 형태의 함수 미분법 위의 공식에서는 분자가 상수인 경우와 함수인 경우 두 가지로 분리해 놓았는데, 두 번째 공식을 외워도 결과는 같으니, '난 하나만 외워야겠다!'라고 생각한다면 두 번째 공식만 외워주면 됩니다. 의외로 분수 형태의 미분이 많이 나오니 꼭 알아두세요. 삼각함수의 미분법 sin, cos, tan, sec, csc, cot 미분법 앞서 배운 단원에서는 sin과 cos의 미분법에 대해서만 배웠습니다. tan 함수의 미분은 라는 성질을 몫의 미분법으로 풀어내 나오는 공식입니다. 그래서 이 단원에서 몫의 미분법을 먼저 배운 후, 다른 삼각함수의 미분법이 등장한 거예요. 공식을 잘 살펴보면 삼각함수 중 c로 시작하는 삼각함수를 미분할 때는 모두 부호가 -입니다. 재밌죠? ...

수학 1. 5번째 단원 삼각함수에 대한 개념 및 공식 정리입니다. 쎈 수학 1 문제집을 참고했습니다. 삼각함수는 중3 과정에서 처음 등장합니다. 그때 배운 sin .cos, tan를 그대로 배웁니다. 중학교 때는 직각 삼각형 위에서만 삼각함수 값을 찾았다면, 고등 과정에서는 좌표평면에서 찾고, 사분면에 따라 부호가 달라지는 점. 그리고 이전엔 각을 각도(육십분법)으로 표현했다면, 라디안이라는 새로운 각의 표현 방법이 등장해서, 많은 각을 호도법으로 표현하게 됩니다. 원본 파일입니다. 첨부파일 삼각함수.JPG 파일 다운로드 이후에 나오는 모든 삼각함수는 각이 호도법으로 표현되니, 육십분법과 호도법의 관계에 익숙해지도록 해야 합니다. 내용 정리에 나온 표를 참고하세요. 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 중학교 때 각으로 표현했다면, 고등과정에선 호도법으로 표현하게 되죠. 훨씬 간단해진 모양입니다. 당연히 암기해둬야 합니다. 좌표평면에서 삼각함수 값은, 동경에서 x축에 수선의 발을 내려 만들어진 직각삼각형의 변의 길이로 구합니다. 공식 정리 5번에서 삼각함수 값의 부호는 편한 방법으로 외우면 됩니다. 공식에 써놓은 ‘얼싸안고’는 제가 고등학교 때 학교 수학선생님에게 배운 내용입니다. 20년도 넘었는데, 그 공식 방법이 기억나는 걸 보니 역시 공부는 재미있게 해야 하나 싶습니다. :) 풍산자 개념서에 보면 재미있는 방법으로 암기하도록 나와있습니다...

미적분 네번째 단원 삼각함수의 미분 공식정리입니다. 중3 과정에서 처음 삼각함수가 등장합니다. sin , cos, tan 세가지 삼각함수의 성질등에 대해 배우고, 수학1 과목에서 삼각함수의 그래프, 방정식과 부등식에 대해 배웠습니다. 미적분 과목에서는 한단계 더 들어가서 sin의 역수인 csc(코시컨트), cos의 역수인 sec(시컨트), tan의 역수인 cot(코탄젠트)함수, 삼각함수의 극한과 미분에 대해 배웁니다. 내용정리 한 그림보며 이어서 설명할게요. 삼각함수 사이의 관계식 중 첫번째 관계식은 중학교 때 이미 배웠습니다. 두번째 관계식은 첫번째 관계식을 cos2θ 로 나눈 것입니다. 세번째 관계식은 첫번째 관계식을 sin2θ 로 나눈 것입니다. 기억이 나지 않으면 그 자리에서 바로 유도해도 되겠지만 외워두고 쓰는게 편하겠죠. 삼각함수의 값은 이제까지 몇몇 특수각만 구할 수 있었습니다. 하지만 이 단원에서 삼각함수의 덧셈정리를 배우며 조금 더 다양하게 구할 수 있게 되었죠. 필수 공식이니 꼭 암기하도록 합니다. 배각공식은 교육과정에서 빠지긴 했지만 sin2θ =sin(θ+θ) 인 성질을 이용해 쉽게 풀어낼 수 있습니다. 이 단원에서 외울 필요는 없지만, 적분에 들어가서는 배각공식을 이용해 바로 적분하는 형식도 종종 나오므로 외워두길 추천합니다;; 교육과정에 빠진 반각공식도 있습니다. 미분 단원에서는 쓸 일이 없어서 일부러 적지 ...