이번 포스팅에서는 삼각형의 넓이 공식에 대한 내용이에요. 초등부터 중등, 고등까지 나오는 모든 삼각형의 넓이 구하는 공식을 살펴볼게요. 천천히 같이 살펴볼까요? 초등학교에서 배우는 삼각형 넓이 공식 ※ 초등학교 4학년 2학기 때 처음 배우는 삼각형의 넓이 삼각형의 넓이= 밑변 × 높이 ÷ 2 간단한 예제 문제 풀어볼까요? 중학교 과정에서 배우는 삼각형 넓이 공식 내접원의 반지름과 삼각형의 세변을 이용한 넓이 2. 피타고라스의 정리를 이용해 이등변 삼각형의 넓이 구하기 1) 점 A에서 선분 BC에 수선의 발 H를 내립니다. 2) 삼각형 ABC는 이등변 삼각형이므로 선분 BH와 선분 CH의 길이는 2로 같습니다. 3) 피타고라스 정리를 이용해 선분 AH의 길이(삼각형의 높이)를 구해줍니다. 4) 삼각형의 넓이를 구해줍니다. (영상으로 확인하면 쉬울 겁니다.:) ) 3. 정삼각형의 넓이 정삼각형의 넓이 공식은 교과서에 직접 나오지 않지만 고등까지 아주 유용하게 사용 가능하므로 꼭 외워둬야 하는 필수 공식 중 하나입니다. 4. 삼각함수를 이용한 삼각형의 넓이 중학교 과정에서는 특수각으로 끼인각을 주거나, 사인값을 직접 주어주기도 합니다. 고등학교 과정에서 배우는 삼각형 넓이 공식 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용한 삼각형의 넓이 (고등수학 상) 점과 직선 사이 거리 공식은 아래 페이지에서 확인할 수 있습니다. 두 점,점과 직선, 평행한 두...

오늘 소개할 문제집은 '마플시너지'입니다. 요즘 인기가 아주 많은 문제집 중 하나죠. 쎈, RPM과 함께 유형서를 주름잡고 있는 마플시너지 알아볼게요. 이제까지 소개한 문제집들은 제가 수업할 때 주로 사용한 문제집이라 제가 소장한 문제집으로 거의 소개를 했는데, 이번엔 딸아이가 풀고 있는 문제집으로 소개합니다. 물론 제가 사용하고 있는 교재이기도 합니다 :) 목차에 뭔가 많이 있는 것처럼 보이는데, step별로 나누어 놓았네요. 대부분의 유형서는 이렇게 3개의 단계로 나누어 놓았어요. 마플시너지의 step1은 쎈이나 RPM의 2단계에 해당하는 문제들입니다. 마플에서는 step2에 서술형 문제들을 모아놓았고 step3에선 고난도 문제들을 모아놓았어요. 쎈C단계와 비슷한 수준입니다. 고난도 문제집을 맛보고 싶다면 쎈이나 마플시너지를 선택해서 풀면 되겠습니다. 쎈과의 차이점이라고 한다면 마플시너지가 유형이 더 많다기보다는 유형별 문제가 조금씩 더 있어요. 그리고 나중에 설명하겠지만 답안지의 두께가 남달라서 전체적인 책 무게가 참 많이 나간다는 정도 되겠네요. 마플시너지는 유형서답게 딱 유형별로 문제만 들어있어요. 보통 유형서들은 개념정리(공식유도는 없을지라도)를 간단히 해놓고 유형별로 연습에 들어가는데 이 문제집은 따로 개념이 들어있진 않아요. 유형별로 필요한 내용만 조금씩 위에 들어있는 정도입니다. 중요한 유형이라 사진을 찍어두었는데, ...

많은 사교육자들이 그렇겠지만 각자 선호하는 문제집들이 있다. 학생의 수준이나 성향에 따라 내가 선호하는 문제집 여러 권 중 추천해 주는 편인데, 내가 선호하는 문제집 말고, 요즘은 어떤 문제집들이 잘나가는지 알아보려 검색 시작. 내가 자주 사용하는 yes24에서 검색. 검색은 학년별로 따로 검색이 되더라. 같은 종류는 생략(1학기, 2학기로 순위가 갈리는 것들) 기본서와 유형서,심화서가 섞여 있다. 상위 16 개만 정리했다. 전 학년을 한꺼번에 정리하려 했는데 생각보다 너무 오래 걸린다;;;; 이번 포스팅에서는 고등학교 1학년 과정인 공통수학만 정리. 신사고 쎈 고등 수학 (상) (2021년) 저자 홍범준 출판 좋은책신사고 발매 2020.08.14. 1위. 몇 년 동안 부동의 1위 쎈. 초등은 중등은 굳이?라는 생각이 들지만 고등은 필수. 개념원리 고등 수학(상) 저자 이홍섭 출판 개념원리 발매 2018.10.01. 2위. 개념원리 나도 정말이지 오랫동안 사용했던 기본서. RPM과 함께 쓰기 너무 좋다. 기본 수학의 정석 수학 (상) 저자 홍성대 출판 성지출판 발매 2017.03.15. 3위. 애증의 수학의 정석 나의 고등학교 시절부터 오랫동안 함께 했던 문제집 사실 내가 공부하던 시절엔 정석이 최고였고, 정석을 대체할 만한 문제집도 없었다. 중학교 3학년 겨울방학 때 혼자 정석으로 고1 과정을 선행했는데 충분히 독학할만했다. 지금은...

등차수열이란 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더해 만들어지는 수열을 의미합니다. 단어 그대로 보자면 '차가 같은 수들을 줄 세워 놓은 것'이라고 보면 됩니다. 공통의 차를 '공차'라고 표현해요. 첫 항을 a, 공차를 d, 항의 개수를 n이라고 한다면 일반항과 합은 아래와 같이 정리됩니다. 위의 공식 유도 과정은 아래 페이지를 참고하세요. 등차수열의 합, 등비수열의 합 공식 유도 고등학교 2학년 과정이죠. 이번 포스팅에서는 수학 1 과목에서 배우는 등차수열과 등비수열의 합에 대한 내... blog.naver.com 이번 포스팅에서는 등차수열의 일반항과 합 공식을 이용하여 여러 유형의 문제를 풀어보려고 해요. 하나씩 시작해 볼까요? 등차수열의 일반항 1. 등차수열 an에 대하여 a3=8 , a7=20 일 때, a11의 값은? [풀이] 일반항 an=a+(n-1)d 공식에 그대로 넣어서 첫 항과 공차를 구해줍니다. 두 식을 연립해 줍니다. 4d=12이므로 d=3, a=2 가 되겠네요. 그러므로 11번째 항인 a11=2+10×3=32 정답 : 32 2. 제5항이 31, 제9항이 15인 등차수열에서 처음으로 음수가 되는 항은? [풀이] 처음으로 음수가 되려면 일반항이 음수가 되게 하는 n의 최솟값을 구해주면 되겠죠? -4n+51<0 51<4n이므로 51/4 < n 을 만족하는 n의 최솟값은 13이 됩니다. 정답 : 13항 3. 두 수 4와 34 ...

고등학교 2학년 과정이죠. 이번 포스팅에서는 수학 1 과목에서 배우는 등차수열과 등비수열의 합에 대한 내용을 담았습니다. 등차수열과 등비수열에 대한 전반적인 내용 정리는 https://blog.naver.com/ssooj/222406929316에서 확인할 수 있습니다. 수학 1. 등차수열과 등비수열 수학 1여덟 번째 단원이죠. 등차수열과 등비수열에 대한 개념 정리입니다. 사실 등차수열,등비수열이라는 ... blog.naver.com 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라고 합니다. 그래서 이웃하는 두 항의 차는 항상 공차 d로 일정합니다. 위에서 정리한 네 가지만 잘 알고 있으면 관련 문제는 모두 풀립니다. 등차수열의 합 공식을 유도하는 방법도 상당히 간단합니다. 첫 항부터 n 항까지의 합은 Sn 이라 표현합니다. 첫 항을 a라고 놓으면 두 번째 항은 a+d, 세 번째 항은 a+2d가 됩니다. 마지막 항을ℓ이라고 놓으면 마지막 항의 바로 이전 항은ℓ-d라고 놓을 수 있습니다. 이 수 들을 배열해서 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있습니다. 합은 두 가지 방법으로 구할 수 있습니다. 첫 항과 항수는 꼭 알아야 하고, 공차(d)를 알 경우엔 d가 들어있는 공식을 쓰고 마지막 항(ℓ)을 알 경우엔ℓ이 들어있는 공식을 쓰면 됩니다. 관련 예제 몇 개 풀어볼까요? 예제 1 첫째항이 19 , 공차가 -4인 등차수열 {a...

수학 1여덟 번째 단원이죠. 등차수열과 등비수열에 대한 개념 정리입니다. 사실 등차수열,등비수열이라는 단어는 낯설지만 수 배열을 보면 익숙합니다. 초등학교 때부터 봐왔던 배열이죠 1,3,5,7,9 다음에 어떤 수가 나올지 모두 알아요. 숫자가 일정하게 늘어나는(또는 줄어드는) 숫자들을 줄 세워 놓은 것이 등차수열이죠. (등차수열 : 차가 같은 수를 줄 세워 놓은 것) 마찬가지로 등비수열도 익숙해요. 1,2,4,8,16 다음이 어떤 수일지. 충분히 짐작이 가죠. 이렇게 같은 비로 늘어나는(또는 줄어드는 ) 수를 줄 세워놓은 것이 등비수열입니다. (등비수열 : 비가 같은 수를 줄 세워 놓은 것) 이러한 수열을 가지고 식을 세워 일반항 an을 잡아주고, n 번째 항까지 더해서 Sn을 구해줄 수 있습니다. 개념 정리와 예제 문제는 RPM을 참고했습니다. 공식 이미지의 무단전재와 재배포는 금지합니다. 원본 파일입니다. 첨부파일 등차수열과 등비수열.pdf 파일 다운로드 꼭 암기해야 할 식엔 별표를 해놓았는데 이번 개념엔 유난히 별이 많네요. 외워야 할 공식이 많지만, 수열의 일반항과 합 공식은 기본입니다. 당연히 모두 암기하고 시작해야 합니다. ๑'ٮ'๑ 기본문제는 공식에 대입하면 바로 나오니 응용문제로 몇 개 풀어볼까요? 두 수사 이에 수를 넣어서 만든 등차수열의 합 흔한 활용 문제 중 하나입니다. 두 수 사이에 수열이...

안녕하세요 유리함수정입니다. 많은 학교에서 작년부터 중학교 1학년도 내신 시험을 치르게 되는 자유학기제로 운영되고 있는것으로 알고 있습니다. 중1은 2학기 수학이 다소 쉬운편이라서(도형 위주이죠) 중1수학을 포함한 내신시험은 1학기때 치르는 경우가 많습니다. 실제로 중요한 내용도 (중2와 중3으로 연결되는) 중1수학 1학기 과정에 많이 들어있죠. 일차방정식과 일차방정식의 활용을 포함해서 정비례함수(중2 일차함수) , 반비례함수(고1 유리함수)등과 연결되어 꼭 알아야 할 개념들을 많이 배우거든요. 대부분의 학교에서 중간고사를 4월말이나 5월초에 치릅니다. 이제 3주정도 남아있는 학교들이 많을겁니다. 시험범위에 해당하는 개념정리는 모두 끝난 상태죠? 이제 유형별로 연습을 하며 모자란 부분(학습이 덜 된 부분)을 채워 넣어야 합니다. 저희집 중학생도 한참 중간고사 준비로 바쁘게 내신대비 기간을 보내고 있어요. 저희 아이에게 도움이 되는 것이 없을까 살펴보다가(종종 직접 밀크티 강의에 들어가서 아이에게 도움이 될 만한 강의를 찾아서 담아놓습니다) 중1수학 1학기 중간고사 대비에 대한 이야기를 따로 한적이 없어 그에대한 정리를 해보려고 해요. 보통 중1수학 1학기 중간고사 시험범위는 소인수분해와 정수와 유리수 단원입니다. (대단원 2개. 한 학기는 보통 4개의 대단원으로 이루어지고 중간고사에서 2개, 기말고사에서 2개를 보는 것이 일반적입니다...

새학기가 시작된 지 이제 딱 일주일 되었습니다. 올해 중3이 된 둘째의 중학교 가내신이 나왔어요. 전교등수와 함께 중학교 2학년 내신기준으로 산출한 중학교 내신등급이 계산되어 나왔죠. (상은 포함되지 않은 상태로요) 이번 포스팅에서는 중학교 내신등급 계산이 어떻게 되는지에 대한 글을 써보려고 해요. 제가 사는 지역에서는 300점만점으로 중학교 내신등급이 계산됩니다. 300점 만점 기준으로 이야기할게요. (서울시도 300점 만점으로 알고있습니다) 내신성적의 총점은 300점 만점을 기준으로 교과성적 240점(80%)과 인성성적 60점(20%)으로 반영합니다. 교과성적의 학년별 반영 비율은 2학년 40%, 3학년 60%입니다. 충북기준입니다. (중학교 1학년때도 내신시험을 치르는 학교는 조금 달라질 수 있으니 학교에 직접 알아보는 것이 정확합니다) 현재 중학교 3학년으로 나온 중학교 내신등급계산은 중2 성적으로 계산된 것이므로 3학년때 2학년때보다 더 좋은 성적을 받는다면 충분히 내신점수를 올릴 수 있습니다. 인성성적 부분에서 출석 성적은 전 학년의 출결상황을 반영하여 기준에 따라 산출하고 , 특별활동과 봉사활동, 행동발달 성적은 각 기본점수를 9점으로 계산하여 학년별로 1점의 범위 내에서 부가점수를 부여합니다. 교과성적 (240점) 학년별 반영 비율 : 2학년 40% , 3학년 60% 인성성적 출석 (24) 결석 0일 : 24점 결석 1...

중학교 2학년 1학기 기말고사 대비 두번째 연습 파일입니다. 문제수는 총 23개로 '중하' 부터 '상' 수준의 문제까지 골고루 담았습니다. 실제 내신은 아주 쉬운문제(빵점 방지용) 두어문제가 바뀌어 나올 듯 싶습니다. 범위는 미지수가 2개인 연립방정식 연립방정식의 활용 일차함수와 그래프 일차함수와 일차방정식의 관계 까지 입니다. 대단원으로 Ⅲ,Ⅳ에 해당하는 내용입니다. 학군지에 있는 학교가 아닌 경우 제가 올린 수준(상 수준까지)까지 나오는 경우도 많습니다만 100점을 목표로 한다면, 고난도 문제집은 꼭 풀어보아야 합니다. 문제는 위와 같은 형식으로 되어 있습니다. 풀이 공간이 충분하므로 아래 pdf파일을 다운받아서 패드에 풀거나 , 출력해서 직접 풀어도 좋겠습니다. 테스트 시간은 넉넉하게 40분 잡고 풀어주면 되고, 100점을 목표로 하는 학생이라면 25~30분에 맞춰서 풀어보세요. (검토시간 제외) 문제 파일엔 암호를 걸어두었습니다. 이 글을 스크랩하면, 암호 부분을 터치해서 복사가 가능해집니다. (pc일 경우, 마우스로 긁어서 복사) 복사후 붙여넣기해서 이용하시면 됩니다. 스크랩이 여의치 않은 경우는 댓글을 남겨주세요. 암호는 1159 입니다. 첨부파일 중2-1기말대비2(암호).pdf 파일 다운로드 <정답> 1. ② 2. -2 3. x=-4, y=-6 4. 2 5. ④ 6. 84점 7. 초속 3m 8. 15살 9. 50분 10....

중2수학 연립방정식의 활용 첫번째 포스팅에서는, 자릿수 / 가격, 개수 / 득점, 감점 / 가위바위보, 계단 / 증가, 감소 / 정가, 원가 / 전체를 1로 놓고 푸는 유형에 대해 포스팅했었습니다. 아직 보지 못했다면, 아래 링크에서 공부하고 오기! 연립방정식의 활용 완전정복 ① 중학교 2학년 1학기 과정이죠. 이번 포스팅에서는 연립방정식 활용 중 다소 복잡한 유형을 정리해 보려고 ... blog.naver.com 8. 거리,속력,시간 - 중간에 속력이 바뀌는 경우 예제8) 윤아는 시나몬케이크를 사기 위해 집에서 15km 떨어진 베이커리에 갔다. 집에서 버스 정류장까지 시속 6km로 걸어간 후, 시속 30km인 버스를 타고 갔더니 48분이 걸렸다. 이때 윤아가 걸어간 거리를 구하여라. (단, 버스를 기다리는 데 걸린 시간은 10분이다.) 풀이) 걸어간 거리를 x, 버스를 타고 간 거리를 y로 놓습니다. 걸어간 거리와 버스를 타고 간 거리의 합은 15km 이므로, x+y=15 …① 시속 6km로 xkm 걸어가고, 시속 30km로 ykm 버스를 타고 가는데 38분이 걸렸으므로 (기다린 시간 10분은 뺌) ①, ②두 식을 연립해 주면 됩니다. 답) 1km 9. 거리,속력,시간 - 호수(트랙)둘레 걷기 예제9) 연준이와 태현이가 둘레의 길이가 1000m인 트랙을 도는데 같은 지점에서 동시에 출발하여 같은 방향으로 돌면 10분후에 처음 만나고...

중2 수학 1학기 기말고사 대비 첫번째 문제파일입니다. 갖고 있는 문제집과 교과서 (5가지)를 편집해서 만든 문제입니다. 문제수는 총 23문제로 구성했어요. 난이도는 아주 쉬운 문제와 아주 어려운 문제 (하, 중하, 최상)는 넣지 않았습니다. 일반적인 학교시험보다(학군지에 있는 중학교 제외)는 조금 어렵게 느껴질수도 있습니다만 (아주 쉬운문제는 모두 뺏거든요) 최상수준의 문제가 없으니 전반적으로 무난하게 풀 수 있으리라 봅니다. 제대로 나와있는 문제를 조금씩 편집하다보니 정답에 분수가 많습니다. 문제 출제 후 제 아이에게 풀어보라고 했는데, 정답에 자꾸 분수가 나오니 저에게 잔소리를 조금 하더라고요. 학교 내신 시험기준 70점 미만의 학생들은 45분, 70점~90점을 받은 학생들은 35~40분, 100점을 목표로 하는 학생들은 25~30분을 목표로 잡고 풀어보면 됩니다. <정답> <정답> 문제파일은 모두 이미지로 넣었으니 휴대폰이나 pc, 태블릿등에서 바로 확인하며 풀이할 수 있습니다. 터치나 클릭후 확대해서 보면 됩니다. 기존처럼 pdf파일은 암호를 넣어 올려둡니다. 프린트해서 풀어보려면 pdf파일로 받으시는 걸 권합니다. 암호는 0144 입니다. 이 포스팅을 스크랩하면 암호 부분 터치후 복사가 가능해집니다. (현제 제 블로그에서는 터치및 마우스 우측버튼을 금지해놓았어요) 또는 댓글을 남기면 비밀번호를 확인하는대로 대댓글로 달겠습니...

긴 겨울방학이 지나고 벌써 3월이 되었네요. 지난 2월 중순에 수능특강이 출시되었죠. EBS 홈페이지에서 다운로드할 수 있도록 (물론 무료입니다) 다운로드 버전도 나와있습니다. 사실 문제를 풀려면 직접 문제집에 푸는 것이 가장 좋은데 그 많은 책을 다 가지고 다니긴 힘들죠. 그래서 제 학생들에게도 EBS 홈페이지에서 다운로드해놓고 활용하도록 이야기합니다. '간혹 꼭 풀어야 하나요?'라고 묻는 학생들이 있는데 '네, 꼭 풀어보아야 합니다' 연계율이 줄어도 국어와 영어는 필수겠고요. 솔직히 수학은 수능특강보다는 기출문제 푸는 것이 더 도움이 됩니다만, 고등학교 현역 학생들 같은 경우 실제 내신시험을 수능특강에서 많이 변형해서 내는 것으로 알고 있어요. 그러니 필수로 풀어줘야겠죠? 이번 포스팅에서는 실물 문제집이 아닌 파일을 활용하는 방법에 대한 이야기를 해보려고 해요. pc에서 수능특강 다운로드하기 1. EBS 홈페이지에 접속 후 로그인(필수) 2. 고3,N 수를 클릭 후 교재 메뉴에 마우스를 가져다 놓으면 서브메뉴가 밑에 좌르륵 떠요. 그중 수능연계교재 클릭 3. 좌측의 메뉴 중 교재 다운로드 클릭. 원하는 과목을 골라 다운로드하면 됩니다. 수학만 해도 3권이 기본이라 제대로 갖추려면 문제집 개수만 해도 어마어마할 텐데요, 이렇게 다운로드 후 활용하면 가볍게 공부할 수 있겠죠. 아마 2년간의 온라인 학습으로 개인 노트북이나 태블릿 패드...

예비 고3이라면 다들 기다렸을 '수능특강' 예약판매를 드디어 시작하네요. 제 학생들도 예비고3이 몇 있어서 기다리고 있던 참이었는데 예약판매가 시작돼요. 올해는 요런 디자인이네요. 교과서 느낌도 나고, 늘 그렇듯 수능특강이나 수능완성 표지는 참 호불호가 갈려요.ㅎㅎㅎ 본격적인 출시는 2월초에 시작합니다. 현재는 예약주문만 가능해요. 정리해놓고 저도 바로 예약주문하러 가야겠어요. 영역 과목 발송일(오프라인 출시) 수학 수학1 2/7 수학2 2/10 확률과 통계 2/16 미적분 2/17 기하 2/17 국어 언어와 매체 2/16 화법과작문 2/10 독서 2/16 문학 2/7 사회 세계사 2/16 동아시아사 2/8 세계지리 2/8 한국지리 2/7 윤리와 사상 2/16 생활과윤리 2/8 사회 문화 2/11 경제 2/16 정치와 법 2/16 영어 영어 2/7 영어듣기 2/11 영어독해연습 2/9 과학 물리학1 2/14 물리학2 2/23 화학1 2/17 화학2 2/21 생명과학1 2/11 생명과학2 2/17 지구과학1 2/15 지구과학2 2/17 한국사 한국사 2/15 아래 오픈일정은 EBS강좌 오픈일정이예요. 실제 수능특강 출시일보다 빠르네요. 제가 살펴볼 수학만 표안의 색상만 다르게 했어요. 전 수학쌤이니까요. 주요 과목들은 같은 과목에 대해서도 선생님들이 다양하게 수업하시니 여러 선생님 수업을 들어보고 본인에게 맞는 스타일을 찾아 들으면 될...

이번 포스팅에서는 미적분 과목의 필수 공식인 삼각함수의 미분 공식에 대해 정리해 보고, 미분 공식을 활용해 교과서를 같이 뽀개기 해보려고 해요. 삼각함수 미분공식 유도과정을 이해하기 위해서는 '도함수의 정의' , '삼각함수의 덧셈정리' , '몫의 미분법(분수 미분법)'의 개념이 잡혀 있어야 합니다. (기억나지 않는 공식들은 각 공식들을 클릭하면 관련 포스팅으로 연결됩니다) 결론부터 보자면, 아래와 같이 정리가 돼요. sin과 cos을 한 묶음으로, sec와 csc를 한 묶음으로, tan와 cot를 한 묶음으로 외우면 편리하겠죠? 또한 co로 시작하는 삼각함수를 미분하면 모두 ' - ' 가 붙는다는 사실 기억하세요. :) 하나씩 증명해 볼게요. sinx , cosx 뽀개기 sin x 와 cos x 모두 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리를 이용해 공식을 유도했어요. sin 과 cos은 서로 바뀌고, 부호만 신경 쓰면 됩니다. tan x 와 cot x 뽀개기 tan x 와 cot x를 미분한 결과를 보면 모양이 똑같죠? tan를 미분하면 sec2로, cot를 미분하면 -csc2로 미분됩니다. sec x, csc x 뽀개기 점점 삼각함수 미분 공식이 복잡해지는 느낌이죠? sec와 csc는 자기 자신을 한번 반복 후, 뒤에 tan와 cot가 또 붙어요. 역시 co로 시작하는 cot를 미분했을 경우 (-)가 붙습니다. 삼각함수 활용 문제 풀어...

미적분 중간고사 범위 내신대비 첫 번째 학습지입니다. 과목별로 일주일에 하나씩 올라갑니다. 중간고사 대비 시험범위는 일반고를 기준으로 잡아서 출제했습니다. 수열의 극한 급수 (급수, 등비급수) 지수함수와 로그함수의 극한과 미분 삼각함수의 극한과 미분 (삼각함수의 덧셈정리 포함) 여러 가지 미분법 몫의 미분법 합성함수의 미분법 매개변수로 나타낸 함수의 미분 음함수의 미분 역함수의 미분 이계도함수 내신 시험 대비를 위한 학습지이니 당연히 모든 범위에 대한 공식은 기본적으로 숙지가 되어 있어야 합니다. 이미 외워 놓아야 한다는 것이죠. 각단원을 클릭하면 해당 공식 정리 페이지가 새로 열립니다. 기억이 나지 않는 부분은 공식 정리를 다시 한번 확인하고 오기! 문항은 총 22개로 난이도 '하'부터 '상'까지 골고루 들어있습니다. 최상 수준의 문제는 없습니다만 뒤로 갈수록 어려워집니다. 22번 문제는 시간이 좀 걸리지만 최상 수준은 아니니 꼭 풀어낼 수 있어야 합니다. 시간은 마킹 시간 5분을 제외한 45분 정도 잡고 풀어내면 좋겠습니다. 21번과 22번은 모의고사 기출문제로 실제 내신시험에서 이런 모의고사 기출도 종종 등장하니 다양하게 연습해 놓으면 좋겠죠? 아래 정답 표가 다 보이지 않을 경우 (모바일로 확인 수) 손으로 터치한 상태에서 왼쪽으로 밀어주면 나머지 부분이 보일 겁니다. 문제 번호 정답 유형 1 5 등비급수 수렴조건 2 12 등...

오늘은 합성함수의 미분법에 대해 설명하고 관련 문제를 풀어보려고 해요. 며칠 전 있었던 수능 문제에도 한문제 출제됐어요. 홀수형 24번으로 3점짜리 쉬운 문제였지만, 내신으로는 복잡하게도 많이 나와서 연습이 필요한 부분입니다. 합성함수의 미분은 유리함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 일 때로 나누어 예제 문제를 풀며 개념을 다져볼 거예요. 이 부분에 대한 개념 정리는, <여러 가지 미분법>에서 확인할 수 있습니다. 합성함수의 미분을 풀기 전에 모든 미분 공식이 제대로 되어있어야 아래 문제들의 풀이가 더 쉽게 이해 갈 것입니다. 예제문제들은 3점짜리와 4점짜리를 섞어서 풀어놓았어요. 4점은 아주 어렵지 않은 4점으로, 기본 개념 숙지가 잘 되었다면 힘들지 않게 풀릴 것입니다. 공식 정리에서는 일차함수를 함성할 때가 예시로 나와있는데, 삼차함수라도 간단해요. 합성함수 y=f(g(x))를 미분하면, y'=f'(g(x))× g'(x) 가 됩니다. 붉은 글씨 부분을 겉미분, 파란 글씨 부분을 속미분이라고 표현해요. 합성함수는 겉에 있는 함수 먼저 미분하고, 안에 들어있는 함수를 미분하는 방법으로 모두 풀어줄 수 있습니다. 예제 1. 2022학년도(2021년) 대수능 23번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x3+x)=ex 을 만족시킬 때, f'(2)의 값은? (3점) 풀이입니다. 예제 2 2012년 ...

미분은 처음 수학2과목에서 배워요. 미분계수를 배우면서 기본 도함수를 구하는 공식을 배우죠. 아래 공식은 도함수의 정의를 이용해 나온 공식이에요 1/x 같은 가벼운 분수식 같은 경우는 위의 공식을 이용해서 쉽게 미분이 가능해요. 1/x는 x의 -1제곱이라고 할 수 있겠죠? x의 지수 -1이 내려오고 지수는 원래 있던 지수 -1에서 하나 더 작아집니다. 그럼 아래와 같이 -1/x2 이 됩니다. 응용 하나 해볼까요? 그렇다면 1/x2 을 미분하면 어떻게 될까요? 1/x 미분과 마찬가지고 지수를 -2로 고치고 미분하면, 지수에 있는 -2가 내려오고 원래 지수는 하나 작아져서 -3이 됩니다. 그럼 -2/x3 이 되겠죠? 이번엔 조금 더 깊이 들어가 볼까요? 분수함수를 미분해볼 거예요. 이 내용은 '미적분' 과목의 '여러 가지 미분'단원에 들어있습니다. 분수함수를 g(x)/f(x) 라 하고 이를 미분해 볼게요. 이해가 잘 되었나요? 도함수의 정리를 이용해서 공식을 유도했어요. 다시 정리해 보면, 이런 공식으로 유도돼요. 분자의 순서 중요합니다. 분자 먼저 미분하고 분모 곱한 식이 먼저입니다. 헷갈리면 안돼요! 이런 기본 분수함수의 미분을 이용해서 tan x, sec x , csc x , cot x 등을 미분하는 것도 가능해져요. 해당 내용에 대한 공식 정리는 아래 페이지를 참고하세요. 여러 가지 미분법 공식 정리 문제 풀면서 개념 정리를 다시...

수학2의 마지막 단원 '정적분의 활용'에 대한 개념정리입니다. 지난 개념에서는 정적분의 기본 계산법에 대해 배웠어요. 이번 단원에서는 넓이를 정적분으로 어떻게 표현하는 지, 두 함수 사이이 넓이(직선과 곡선 혹은 곡선과 곡선)와 속도와 가속도를 정적분으로 어떻게 표현하는지에 대해 정리해보았어요. 모바일에 최적화 되어있어 그림이 큽니다. (제 블로그의 80%넘는 분이 모바일로 들어오시네요) 개념정리와 예제문제는 개념원리 RPM을 참고했습니다. 제 개념정리에 대한 모든 자료의 무단전재를 허락하지 않습니다. 원본 pdf파일입니다. 암호가 걸려있어요. 암호는 (1123) 입니다. 첨부파일 정적분의활용_수학2by유리함수정.pdf 파일 다운로드 파일을 굳이 다운 받지 않더라도 pc로 정리된 개념을 볼 땐 잘 보일거에요. 모바일로 볼 땐 한 화면에 잘 나오지 않고 확대하면 깨지므로 pdf파일로 확인하기를 추천합니다. 암호는 본문을 스크랩한 후 손으로 클릭(모바일)하거나 pc에선 마우스로 긁어서 복사해서 이용하면 됩니다. 잘 되지 않을 경우 댓글을 남겨 주세요. 시간을 들여 정리한 자료이니 수고스럽더라도 양해 부탁드려요. 정적분은 넓이를 구하기 위해 나온 개념이라고 보면 돼요. 주의해야 할 것은 x축을 기준으로 함수가 어디에 있느냐에 따라 부호가 달라진다는 겁니다. 실제로 정적분을 구해보면 x축 위에 있는 부분은 정적분의 부호가 양수로, x축 아래...

공통수학1 Ⅰ. 다항식 다항식의 연산 항등식과 나머지 정리 (나머지정리, 인수정리, 조립제법) 조립제법은 다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나눌 때 직접 나눗셈을 하지 않고 계수만을 사용하여 간편하게 몫과 나머지를 구하는 방법을 의미합니다. 이 방법은 다항식을 일차식으로 나누는 경우에만 사용할 수 있습니다. 보통 이차방정식의 경우 바로 인수분해가 되므로 조립제법은 삼차방정식 이상의 다항식에서 주로 사용합니다. 조립제법을 이용할 때 계수만을 적어 계산하는데, 이때 비어있는 차수의 경우 (예를 들어 3x2+2x-5 라면 일차항이 비어있음)엔 비어있는 자리는 꼭 '0'을 적어 풀어줘야 합니다. 조립제법은 아래 공식 정리 중 첫 번째 예제에 정리해 놓았습니다. 마지막 예제 문제는 아래와 같은 원리로 나머지가 거듭제곱식의 계수가 됩니다. 이해되시나요? 다양한 예제 문제를 풀어보며 조립제법이 삼차방정식에서 어떻게 활용되는지 같이 정리해 볼까요? 문제 1) 다항식 2x3-x2+x+3 을 x+1로 나눈 몫과 나머지는? <풀이> 정답 : 몫 2x2-3x+4 / 나머지 -1 문제 2) 아래는 조립제법을 이용하여 삼차방정식 2x3+3x+4 를 일차식 x-a로 나누었을 때, 나머지를 구하는 과정이다. a, b의 값은? <풀이> 다항식을 보면 이차항이 비어있죠? 비어있는 차수를 '0'을 써넣어 자리를 만들어 줍니다. 문제 3) x에 대한 다항식 x3+ax2...

조립제법은 다항식을 일차식으로 나눌 때 직접 나누지 않고 계수만을 사용해 몫과 나머지를 구하는 방법입니다. 일차식으로 나눌 때만 가능하고 이차 이상의 식으로 나눌 땐 직접 나누기 방법을 써야 합니다. 보통 조립제법을 설명할 때 모든 계수를 문자로 놓고 시작하거든요. 그렇게 설명을 하니 제가 가르치는 학생들도 오히려 더 복잡하다고 생각하더라고요. 직접 숫자를 넣어 어떤 식으로 풀어지는지 보여드릴게요. 예를 들어볼게요. 2x3-6x+5 를 x-2로 나누었을 때 몫과 나머지를 구해보려고 해요. 계수만을 사용해 나눗셈을 쉽게 할 수 있다는 장점이 있는데, 여기서 주의할 것은 꼭 모든 계수를 다 써야 한다는 것. 차수가 비어있는 부분은 (이 문제에서는 이차항이 비어있죠?) 0을 꼭 넣어줍니다. 최대공약수나 최소공배수 구하는 것처럼 ' ㄴ ' 자를 써주고 모든 계수들을 써줍니다. 좌측엔 나누는 수 (x-2로 나누어야 할 땐 2를 넣어줍니다. 만약 x+3으로 나눈다면 -3을 넣어주면 되는 것. 첫 번째 계수는 무조건 그대로 내려가요. 그러고 나서 위의 영상 속에서 제가 풀어놓은 것처럼 내려온 수에 좌측의 수를 곱해서 대각선 위쪽에 써넣어요. 그러고 나서 위아래 두 수를 더해서 아래에 써줍니다. 이 과정을 반복하면 돼요. 마지막에 나온 숫자가 나머지가 됩니다. 아래 이미지는 영상의 마지막 부분을 캡처해 놓은 것입니다. 이해가 가나요? 다른 문제도 ...

다항식을 일차식으로 나눌 때 직접 나누는 방법이 아닌 계수를 이용해 몫과 나머지를 구하는 방법을 조립제법이라 합니다. 이번 포스팅에서는 조립제법의 방법과 조립제법을 활용한 응용문제를 풀어보려고 합니다. 최대공약수나 최소공배수를 구할 때처럼 L 모양으로 그려준 후 우측엔 나누어질 다항식의 계수를, 좌측 상단엔 나누는 수 (x-a로 나눈다면 0이 되는 a)를 넣어 풀어줍니다. 첫 번째 계수는 그대로 내려옵니다. 위 식을 보면 최고 차 항의 계수 a를 그대로 내려준 거 보이죠? a와 나누는 인수(a)를 곱해서(pa) 그다음 계수인 b의 아래에 써줍니다. b와 pa를 더한 수를 아래에 써줍니다. 같은 방법으로 인수를 곱해서 위로 보낸 후 더해가는 방법으로 풀어주면 됩니다. 말로써서 복잡해 보이는데, 실제로 풀어보면 참 간단해요. 쉬운 예를 하나 들어보았어요. x2-2x+3 을 (x+2) 로 나눌 때 몫과 나머지를 조립제법을 이용해 구하는 방법입니다. 소리 없는 영상입니다만 쉽게 이해할 수 있을 겁니다. 문제 1 x3+3x2-2x+5 를 (x-1)로 나눌 때의 몫과 나머지를 구하면? <풀이> 문제 2. x4+2x2-7 을 (x-2)로 나눌 때의 몫과 나머지를 구하면? <풀이> 조립제법으로 문제를 풀 때 가장 조심해야 할 것이 모든 계수를 써줘야 한다는 겁니다. 문제를 보면 삼차항과 일차항이 빠져있죠? 계수가 0인것도 반드시 표시해야합니다. 문...

로그함수의 정의를 알기 위해서는 지수함수의 정의부터 알아야겠죠? a가 1이 아닌 양수일 때, 실수 x에 대하여 ax의 값은 하나로 정해집니다. x를 ax에 대응시키면 y=ax (a>0, a≠1)은 x에 대한 함수가 됩니다. 이 함수를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 해요. 지수함수는 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로 역함수를 가져요. 이 지수함수의 역함수를 로그함수라고 합니다. y=ax의 역함수는 y=logax가 됩니다. 이 함수를 a를 밑으로 하는 로그함수라고 해요. 로그함수 y=logax (a>0 , a≠1) 의 정의역은 양의 실수 전체이고 치역은 실수 전체의 집합입니다. 지수함수의 정의역과 치역이 바뀌었어요. 서로 역함수 관계이니 당연한 이야기이겠죠? 로그함수의 정의와 로그방정식, 로그부등식등에 대한 공식정리는 아래 페이지에서 확인할 수 있습니다. [수학 1] 4. 로그함수, 로그방정식, 로그 부등식 공식 오늘 올리는 공식 정리는 수학 1 과목의 네 번째 단원 로그함수입니다. 앞서 지수와 로그의 의미와 성질 및... blog.naver.com 관련 문제를 몇 개 풀어볼 텐데 이 문제들의 풀이를 이해하기 위해서는 기본적인 로그의 성질을 모두 알고 있어야 해요. 로그의 성질이 가물가물하다면 아래 페이지에서 확실히 이해하고 와야 합니다. [수학 1] 2. 로그 개념 정리, 공식 정리 수학 1에서 처음 '...

오늘 올리는 공식 정리는 수학 1 과목의 네 번째 단원 로그함수입니다. 앞서 지수와 로그의 의미와 성질 및 다양한 연산들에 대해 배웠어요. 1단원. 지수, 지수법칙 2단원. 로그, 로그 연산 그러고 나서 지수함수를 먼저 배웠죠. 3단원. 지수함수, 지수방정식, 지수 부등식 (링크는 앞서 정리한 공식으로 연결됩니다) 로그함수나 방정식, 부등식 등은 3단원의 지수함수와 거의 비슷한 원리로 문제를 풀어나가면 됩니다. 로그함수는 지수함수의 역함수에요. 역함수 기억하죠? y=x에 대해 대칭한 함수. 지수함수의 역함수이므로 정의역과 치역이 지수함수와 반대가 됩니다. 항상 지나는 정점(x의 값에 상관없이 지나는 점) 역시 y=x에 대해 대칭이 되어 (1,0)을 지나죠. 지수함수와 마찬가지로 밑의 범위에 따라 증가함수 혹은 감소함수의 형태를 띱니다. 앞에서 배운 지수함수를 제대로 공부했다면 이 단원도 쉽게 공부할 수 있을 거예요. 로그함수의 평행이동이나 대칭이동 같은 경우 기존 함수의 이동과 같은 방법이므로 추가 설명 없어도 되겠죠? ;) 함수의 최댓값 및 최솟값 역시 단순한 증가함수이거나 감소함수의 형태이므로 복잡한 치환 형식의 함수가 아니라면 그림을 그리지 않고 정의역의 범위만 대입해서 풀어내도 괜찮습니다. 로그함수는 물론 방정식이나 부등식 자체는 어려운 부분이 없습니다만 다양한 활용이 들어가면서 깊게 생각할 문제들이 등장합니다. 지수방정식이나...

저에겐 중3인 큰 아이가 있어요. 정말 평범하디 평범한 아이인데 국어 과목 같은 경우 논술 수업을 따로 붙이는 것을 제외하고 따로 시키지 않았거든요. 물론 중학교 내신 국어는 시험기간에 했고요. 공부에 큰 욕심이 있는 아이가 아니라 천천히 해야지라는 마음도 있었어요. 3학년 마지막 시험이 끝나고 이제 슬슬 고등 준비를 해보자며 아이를 위해 문제집을 구입했어요. 학생들 사이에서도 유명한 매 3시리즈입니다. 예비 매 3시리즈는 매 3문(매일 지문 3개씩 푸는 문학 기출), 매 3비(매일 지문 3개씩 푸는 비문학 독서 기출)로 이루어져 있어요. 아이랑 같이 앉아서 꼼꼼히 보았는데 매삼비 같은 경우는 생각보다 지문이 어렵더라고요. 일단 두 문제집 모두 모의고사 기출문제로 되어있어 쉽지만은 않았어요. 사실 저 같은 경우 수학 문제가 익숙하지 고등 국어는 참 오랜만이라서... 전 나름 재밌게 풀었는데 아이는;;;; 두 권중 그래도 풀만한 예비 매 3문부터. 매일 지문 3개씩 푸는 문학 기출 이렇게 본 교재와 해설지로 이루어져 있어요. 평범한 구성이죠. 예비 매 3 시리즈는 한 달 안에 모두 풀 수 있도록 계획된(?) 문제집이에요. 날짜가 쓰여있고, 하루치는 지문 3개로 이루어져 있고 지문 하나당 문제는 3~4문제씩 달려있네요. 처음 수능 문제를 접하는 예비 고등학생들을 위해 어떻게 국어영역을 공부하면 되는지, 이 문제집을 어떻게 활용하면 좋은지...

안녕하세요 유리함수정입니다. 이번 포스팅에서는 내년에 중학교 1학년이 되는 현 초등학교 6학년 학생들이 배우게 되는 22개정 교육과정 중1수학 공식 및 중1수학 목차 등에 대해 알아보려고 합니다. < 중1수학 목차> - 1학기 Ⅰ. 소인수분해 Ⅱ. 정수와 유리수 Ⅲ. 문자와 식 Ⅳ. 좌표평면과 그래프 기존 과정과 큰 변화 없이 비슷합니다. 배우는 내용은 거의 비슷한데 내용이 살짝 빠진 내용이 있습니다. 대단원별로 하나씩 살펴보면서 필요한 필수 공식은 어떤 것이 있는지 알아보겠습니다. (이번 포스팅에서는 중1수학 목차 1학기 과정만 다룹니다.) Ⅰ. 소인수분해 소인수분해 최대공약수 최소공배수 기존 교육과정에서는 최대공약수와 최소공배수 각각의 활용과 최대공약수와 최소공배수의 관계 등에 대한 내용들이 있었는데 내년 22개정 교육과정에서 그 내용이 빠졌어요. 1단원에서 가장 어려웠던 내용인데 빠져서 학생들이 더 수월하게 공부할 수 있을 듯합니다. 소인수분해에 대한 내용은 전반적으로 쉬워서 방법 정도만 숙지하고 넘어가도 됩니다. 최대공약수 단원에서는 약수의 개수 구하는 중1수학 공식은 꼭 외워 두어야 해요. 교육과정이 개정되면서 복잡한 부분은 빠졌지만 최대공약수와 최소공배수를 활용한 문제들이 앞으로 계속 등장하니 제대로 공부해 두어야 해요. 수학이 쉽지 않은 친구들은 기본을 탄탄하게 잡고 올라가자란 생각으로 공부하면 좋겠고, 수학 공부가 수월...

안녕하세요 유리함수정입니다. 2022개정교육과정과 함께 수학 과목은 크게는 과목의 이름부터 배우는 내용의 이동까지 조금씩 바뀌어서 헷갈리는 부분이 좀 있겠더라고요. 이번 포스팅에서는 2025년도에 중학교에 입학하는 예비 중1 중학수학 목차에 대한 글을 써보려고 해요. 1학기와 2학기 모두 조금씩 바뀌었습니다. 하나씩같이 살펴볼까요? 중학수학 1학기 목차는 크게 세 개의 대단원으로 나누어져 있어요. Ⅰ. 수와 연산 Ⅱ. 문자와 식 Ⅲ. 좌표평면과 그래프 단원명만 보아서는 기존의 교육과정과 차이가 없죠? 대단원 첫 번째인 '수와 연산'단원에서 최대공약수와 최소공배수의 성질 이해 및 활용 부분이 빠졌습니다. 이 부분을 어려워하는 학생들이 생각보다 많은데, 그 부분이 빠짐으로 수월하게 중학수학을 시작할 수 있을 듯해요. 해당 단원에서는 '소인수분해' 범위만 다루는 것으로 개정되었습니다. 하지만 시중에 나와있는 교재들을 보니 같은 2022개정 교육과정 대비 교재임에도 기존대로 최대공약수와 최소공배수에 대한 부분이 들어있는 교재가 많더라고요. 그래서인지 내신에 강한 밀크T중학에 올라와 있는 강좌들도 그 부분이 들어있었어요. 갖고 있는 교재에 따라 추가로 듣거나 생략해도 좋을 듯해요. 중학수학 문제 역시 제대로 공부하려면 심화 수준까지 공부해야 하겠죠? 밀크T 중학 특목자사고 과정엔 증등 최상위 학생들을 위한 고난도 중학수학 교재 강의도 많이 들...

안녕하세요 유리함수정입니다. 많은 학교에서 작년부터 중학교 1학년도 내신 시험을 치르게 되는 자유학기제로 운영되고 있는것으로 알고 있습니다. 중1은 2학기 수학이 다소 쉬운편이라서(도형 위주이죠) 중1수학을 포함한 내신시험은 1학기때 치르는 경우가 많습니다. 실제로 중요한 내용도 (중2와 중3으로 연결되는) 중1수학 1학기 과정에 많이 들어있죠. 일차방정식과 일차방정식의 활용을 포함해서 정비례함수(중2 일차함수) , 반비례함수(고1 유리함수)등과 연결되어 꼭 알아야 할 개념들을 많이 배우거든요. 대부분의 학교에서 중간고사를 4월말이나 5월초에 치릅니다. 이제 3주정도 남아있는 학교들이 많을겁니다. 시험범위에 해당하는 개념정리는 모두 끝난 상태죠? 이제 유형별로 연습을 하며 모자란 부분(학습이 덜 된 부분)을 채워 넣어야 합니다. 저희집 중학생도 한참 중간고사 준비로 바쁘게 내신대비 기간을 보내고 있어요. 저희 아이에게 도움이 되는 것이 없을까 살펴보다가(종종 직접 밀크티 강의에 들어가서 아이에게 도움이 될 만한 강의를 찾아서 담아놓습니다) 중1수학 1학기 중간고사 대비에 대한 이야기를 따로 한적이 없어 그에대한 정리를 해보려고 해요. 보통 중1수학 1학기 중간고사 시험범위는 소인수분해와 정수와 유리수 단원입니다. (대단원 2개. 한 학기는 보통 4개의 대단원으로 이루어지고 중간고사에서 2개, 기말고사에서 2개를 보는 것이 일반적입니다...

안녕하세요. 유리함수정입니다. 저희 아이가 중학교에 입학한 지 얼마 되지 않은 것 같은데, 벌써 중학교 3학년이 되네요. 중학교 입학을 앞두고 설렘 반 긴장반으로 시간을 보낸 것이 얼마 되지 않은 것 같은데 말이죠. :) 기말고사가 끝나고 아이와 함께 방학 동안 밀크t활용을 어떻게 할지 계획을 짜려고 들어가 보니 예비 중학생을 위한 콘텐츠가 새로 생겼더라고요. (반 편성 배치 고사 / 기초학력 진단평가 / 액티비티 강좌 / 과목별 학습법 tip 등 ) 요즘 같은 때 중학교 입학을 앞두고 어머님들이 가장 많이 검색하는 것 중 하나가 중1수학 목차 (과정)가 아닐까 싶어요. 이번 포스팅에서는 중1수학 1학기와 2학기 전 과정을 훑어보며 어떤 내용을 배우고, 어떤 단원을 중점적으로 공부해야 할지에 대한 글을 써보려고 해요. 중1수학은 크게 7개의 대단원으로 이루어져 있습니다. 1학기는 대수(숫자와 문자로 이루어진 영역), 2학기는 기하(도형으로 이루어진 영역)를 중심으로 공부합니다. 중1수학에서 중요한 내용을 많이 배우는데, 기존엔 1년간 내신시험이 따로 없어서 학생들이 심도 있게 공부하지 않는 경우를 많이 봐왔던지라 한 학기라도 내신시험을 치르는 현재가 참 반갑더라고요. 중1수학 1학기 과정은 Ⅰ. 수와 연산 소인수 분해 (소인수 분해, 최대공약수와 그 활용, 최소공배수와 그 활용) 정수와 유리수 (정수와 유리수, 정수와 유리수의 연산)...

중1수학 목차 정리와 더불어 구체적인 내용까지 같이 정리합니다. 늘 이야기하지만 중1수학 1학기땐 내신 시험이 없어서 가볍게 지나가는 학생들도 종종있어요. 하지만 중2수학과 바로 연결되는 아주 중요한 내용을 많이 배우기 때문에 제대로 익히고 넘어가야 합니다. 중1수학은 총 6개의 대단원으로 이루어져 있습니다. 보통은 1학기에 대단원 3개, 2학기에 대단원 3개씩 나누어 배웁니다. 사진속 이미지는 아이가 이용하고 있는 밀크티 강의중 최강TOT 강의 사진입니다. Ⅰ. 수와 연산 1. 소인수 분해 1) 소인수 분해 ① 거듭제곱 ② 소수와 합성수 ③ 소인수 분해 2) 최대공약수와 최소공배수 ① 서로소 ② 소인수분해를 이용하여 최대공약수 구하는 방법 ③ 소인수 분해를 이용하여 최소공배수 구하는 방법 2. 정수와 유리수 1) 정수와 유리수 ① 양수와 음수 ② 수 사이의 관계 ③ 절댓값 ④ 수의 대소관계 2) 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈 3) 정수와 유리수의 곱셈 4) 정수와 유리수의 나눗셈 중1수학 첫번째 단원은 기본적인 유리수의 개념과 양수와 음수의 연산에 대한 내용이 주를 이뤄요. 앞으로 나올 문제들의 기초 연산과정으로 보면 됩니다. 쉬운 단원이지만 실수가 생각보다 잦은 단원이니 신중하고 빠르게 푸는 연습이 필요합니다. 개념이 제대로 잡혀있고, 고난도 문제집을 무난히 풀어낼 수 있는 학생이라면 문제집에 대한 모든 강의를 듣기보다, 본인에게 ...

이번 포스팅에서는 미적분 과목의 필수 공식인 삼각함수의 미분 공식에 대해 정리해 보고, 미분 공식을 활용해 교과서를 같이 뽀개기 해보려고 해요. 삼각함수 미분공식 유도과정을 이해하기 위해서는 '도함수의 정의' , '삼각함수의 덧셈정리' , '몫의 미분법(분수 미분법)'의 개념이 잡혀 있어야 합니다. (기억나지 않는 공식들은 각 공식들을 클릭하면 관련 포스팅으로 연결됩니다) 결론부터 보자면, 아래와 같이 정리가 돼요. sin과 cos을 한 묶음으로, sec와 csc를 한 묶음으로, tan와 cot를 한 묶음으로 외우면 편리하겠죠? 또한 co로 시작하는 삼각함수를 미분하면 모두 ' - ' 가 붙는다는 사실 기억하세요. :) 하나씩 증명해 볼게요. sinx , cosx 뽀개기 sin x 와 cos x 모두 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리를 이용해 공식을 유도했어요. sin 과 cos은 서로 바뀌고, 부호만 신경 쓰면 됩니다. tan x 와 cot x 뽀개기 tan x 와 cot x를 미분한 결과를 보면 모양이 똑같죠? tan를 미분하면 sec2로, cot를 미분하면 -csc2로 미분됩니다. sec x, csc x 뽀개기 점점 삼각함수 미분 공식이 복잡해지는 느낌이죠? sec와 csc는 자기 자신을 한번 반복 후, 뒤에 tan와 cot가 또 붙어요. 역시 co로 시작하는 cot를 미분했을 경우 (-)가 붙습니다. 삼각함수 활용 문제 풀어...

고등학교 2학년 혹은 3학년 과정에서 배우는 미적분 과목에 나오는 '삼각함수 미분공식'입니다. 이 내용은 삼각함수의 미분 단원에 삼각함수의 극한과 몫의 미분, 합성함수의 미분 등과 함께 나오는 단원의 내용입니다. 해당 단원의 개념 정리는 (삼각함수의 미분, 극한) (여러 가지 미분법)에서 확인할 수 있습니다. 삼각함수의 미분 공식부터 정리하자면 위와 같이 됩니다. 당연히 미적분을 공부하는 학생이라면 모두 외워야겠고요. 미분 공식은 도함수의 정의와 몫의 미분 등의 방법을 이용해 유도할 수 있습니다. 위 이미지에도 썼지만 '코'로 시작하는 삼각함수 (cos 코사인, cot 코탄젠트, csc 코시컨트)는 미분 시 부호가 모두 (-)로 미분이 됩니다. 둘씩 짝을 지어 놓았는데 꼴이 비슷하니 같이 외우면 편할 겁니다. 물론 헷갈려선 안되겠죠! 하나씩 증명해 볼게요. sinx 와 cosx는 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈 정리를 이용해 공식을 유도할 겁니다. y=sin x 미분 y=cos x 미분 나머지 네 개의 삼각함수의 미분은 몫의 미분법을 이용해 유도할 겁니다. y=tan x 미분 y= cot x 미분 y=sec x 미분 y= csc x 미분 어렵지 않죠? sin x 와 cos x만 도함수의 정의를 이용했고 나머지 삼각함수는 모두 몫의 미분법을 이용해 미분해 주었습니다. 직접 해보면 더 쉬울 겁니다. 이렇게 직접 유도해 보는 것도 공부에 ...

고등학교 2학년 수학 1의 삼각함수 단원에서 처음 맞이하는 난관이 바로 삼각함수의 각 변환입니다. 원리를 알면 무척 쉽지만 기본 원리를 가지고 하나씩 생각하며 풀자면 시간을 꽤 잡아먹는 유형이기도 하죠. 내신 시험 같은 경우 수학 점수는 시간 싸움이기 때문에 작은 것 하나도 효율적으로 풀어내는 연습을 해야 해요. 이번 포스팅에서는 어떻게 효과적으로 각 변환을 할 수 있는지에 대한 작은 tip을 정리해 보려 합니다. 본격적으로 각 변환에 들어가기 전에 기본적인 내용을 먼저 제대로 숙지하고 있어야 해요. 동경의 위치에 따라 삼각함수의 부호가 달라집니다. 제1사분면은 모두 + , 제2사분면은 sin만 +, 제3사분면은 tan만 +, 제4사분면은 cos만 + . 이렇게 말이죠. 이 내용에 대해 제대로 된 개념 및 공식 정리는 <삼각함수, 두 동경의 위치 관계> 포스팅에서 확인하시면 됩니다. < 삼각함수 값의 부호> 기본적으로 동경에 대한 부호는 동경위의 한 점에서 x축에 수선의 발을 내려만든 직각 삼각형을 이용해서 정합니다. 가령 동경이 제2사분면에 있을 경우 x축에 수선이 발을 내리면 직각삼각형의 가로 부호는 ' - ', 세로 부호는 ' + ' , 빗변은 '+' 가 됩니다. 이를 이용하면 sin 값만 ' + '로 결정되는 것이죠. 이러한 성질을 이용해 삼각함수의 각 변환을 시작해 볼게요. 아래 식에서 n은 정수이고, θ는 예각 취급을 합니...

이번 포스팅에서는 고2 과목인 수학 1의 ' 삼각함수 '에 해당하는 문제를 몇 개 풀어보려고 합니다. 총 4문제로 작년 (2021년)에 출제된 문제들은 모두 쉬운 문제들(3점)이더라고요. 아마 삼각함수의 활용에 해당하는 문제들은 미적분으로 많이 출제가 돼서 그런 것 같아요. 그래서 2019년도에 출제된 고2 학평도 하나 넣었습니다. 오늘 준비한 문제를 풀려면 아래와 같은 내용을 알고 있어야 해요. < 삼각함수에 대한 기본 내용 : 동경, 부채꼴의 호의 길이와 넓이 등 > < 여러 가지 각에 대한 삼각함수의 성질 : 삼각함수의 그래프 > 해당 페이지에 개념 및 공식 정리가 같이 들어 있습니다. 작년 기출문제를 살펴보면 일반각에 대한 삼각함수의 성질을 묻는 문제가 자주 보입니다. 정확히 개념을 이해하고 들어가야 하겠습니다. sin(-θ)=-sin θ cos(-θ)=cos θ tan(-θ)=-tan θ sin(π+θ)=-sin θ / sin(π-θ)=sin θ cos(π+θ)=-cos θ / cos(π-θ)=-cos θ tan(π+θ)=tan θ / tan(π-θ)=-tan θ 2022학년도 (2021년 출제) 수능 양변에 tan θ를 곱해서 이차방정식을 풀어주면 되는 문제입니다. θ는 제3사분면에 있으니 tan 값만 양수이고 sin과 cos 값은 음수라는 성질을 이용해 풀어주면 되겠죠? 풀이입니다. 2021년 시행 9월 모평 바로 위의 ...

삼각함수의 덧셈정리, 배각공식과 반각공식은 미적분 과목에서 "사인함수와 코사인함수의 도함수" 단원에서 나옵니다. 개념(공식) 정리에서는 결과만 넣어놓아서 따로 유도과정을 걸어놓습니다. 해당 단원에 대한 개념 정리(공식정리)는 "삼각함수의 미분" 포스팅에서 확인할 수 있습니다. (클릭하면 해당 페이지가 새로 열려요) 1. 삼각함수의 덧셈정리(사인, 코사인, 탄젠트함수의 덧셈정리) 2. 배각 공식 3. 반각공식 순서대로 공식 유도 시작할게요! 유도과정 말고 공식만 알면 되는 거 아니냐는 학생들도 많은데, 시간적 여유가 있다면 꼭 직접 해보길 권합니다. 혹시 공식이 잘 기억나지 않을 때 다시 유도하기도 좋고, 유도과정을 이용하는 스타일의 문제도 출제되고 있으므로 (수능 모의고사에) 되도록 유도해 보기! 증명하는 데 필요한 길이를 구할 때 번호를 매겨놓았는데, 그 번호 순서대로 길이를 구하며 따라오면 편할 거예요. :) 배각 공식과 반각공식은 정식으로 교과서에 나오는 내용은 아닙니다만 삼각함수의 덧셈정리로 충분히 유도 가능한 공식이에요. 꼭 외울 필요는 없지만 외워놓지 않는다면 적분을 할 때 고생스러울 거예요. 암기하길 추천합니다. 삼각함수의 덧셈정리 1. 사인함수의 덧셈정리 1) 반지름의 길이가 1인 사분원 위에, 동경이 α인 곳에 점 P를 잡는다. 2) 동경이 α+β가 되는 곳에 점 Q를 잡는다. 3) 점 Q에서 x축에 수선의 발을 내려...

지난 빅터 연산과 쎈연산의 리뷰에 이어지는 포스팅입니다. <빅터 연산과 쎈연산>의 대한 글을 보시려면 링크된 푸른 글씨를 눌러서 확인하시면 됩니다. 지난 포스팅에서는 기초 연산 문제집 두 권을 살펴봤었어요. 이번 포스팅에서는 조금 난이도가 있는 연산 문제집을 살펴보려고 해요. 조카아이의 연산 문제집을 골라달라는 부탁을 받고 갔던 터라, 조카의 상황에 맞춰 결정했다는 것을 미리 말씀드립니다. 조카아이는 올해 4학년에 올라가는 아이에요. 4학년 1학기는 기본 교재로 한번 푼 상태이고 학기 중에는 최상위 s를 푼다고 해요. 연산 실수가 좀 있다고 해서 저보고 골라달라고 한 상황이고요. 제 블로그의 글을 읽어보신 분들은 아시겠지만 전 사실 초등 연산 문제집에 대해 긍정적이진 않아요. 특히 눈높이나 구몬 같은 연산만 이~만큼 시키는 것들을요. 물론 선생님들마다 생각이 다르니 그것에 대해 옳다 그르다 할 건 아니고 어디까지 제 교육관이죠. 하지만 연산 실수가 잦은 아이들은 꼭 그 부분을 고쳐주고 넘어가야 한다고 생각해요. 그 실수 고등까지 가기도 한답니다. 무섭죠? 조카는 처음 진도를 나가는 아이가 아니라서 기본 연산보다는 난이도가 조금 있는 연산 문제집으로 모자란 부분을 보충하면 좋겠다고 생각하고 고른 문제집들이 최상위 연산과 상위권연산 960입니다. 서점엔 상위권 연산 960의 D 과정(4학년 과정)이 매진되어서 c 과정으로 살펴봤어요. 개...

정적분 개념정리 입니다. 부정적분에서 새롭게 많은 적분방법을 배웠죠. 지수함수의 적분과 로그함수의 적분을 포함해서, 치환적분과 부분적분까지 재미있는 많은 적분법을 배웠습니다. 여러 가지 적분법을 다시 정리하고 싶다면 복습하고 오기 (클릭하면 여러 가지 적분법 페이지가 새롭게 열립니다) 이번 단원에서는 구체적으로 정적분 구간을 정해서 적분값을 구해줄 거예요. 정적분에서 조심해야 할 것은, 치환적분시 적분 구간이 바뀐다는 것, 부분적분 시 부정적분과 조금 식이 달라진다는 것 정도가 되겠네요. 두 가지만 조심하면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 개념 정리와 예제 문제는 RPM 을 이용했습니다. 원본파일입니다. 첨부파일 미적분-정적분.pdf 파일 다운로드 개념 정리를 보면 우함수와 기함수의 개념이 나와요. 이 내용은 고등수학(하)의 함수 단원에서 나옵니다. 아직 정리해서 올리기 전입니다. 우함수는 단순하게 짝수차 함수 혹은 y 축 대칭함수라고 생각하면 편해요. 마찬가지로 기함수는 홀수 차 함수 혹은 원점 대칭함수라고 생각하면 됩니다. 우함수는 y 축 대칭함수이므로, 정적분 값도 y 축에 대해 좌우 대칭으로 같은 값을 가집니다. 그래서, 이렇게 되는 거죠. 기함수는 원점 대칭함수이므로 원점에 대해 대칭인 정적분 값을 가집니다. 즉 절댓값은 같지만 부호를 반대로 같죠. 그래서, 이렇게 됩니다. 이런 성질을 잘 알고 풀어내면 됩니다. 정적분에서 이...

미적분 8번째 개념입니다. 여러 가지 적분(부정적분)에 대한 내용이에요. 수학 2에서 처음 부정적분을 배웠을 땐, 기본적인 다항함수의 적분을 했었다면 미적분 과목으로 들어와서 새롭게 배운 지수함수의 미분법, 로그함수의 미분법, 삼각함수의 미분법 등을 이용하여 적분하는 법도 추가로 배우게 됩니다. 우리가 이미 알고 있듯, 미분의 역연산이 적분이에요. 그래서 적분에 들어가기 전에 여러 가지 미분법 공식이 제대로 암기되어 있어야 한다는 건 당연한 사실. 혹시 아직 헷갈린다면, 다시 개념 정리하고 암기하고 오기! 지수함수와 로그함수의 미분 삼각함수의 미분 (sinx, cosx) 여러 가지 미분(몫의 미분, 삼각함수의 미분(모든 삼각함수), 음함수의 미분법) 개념 정리와 예시문제는 라이트쎈을 참고했습니다. 원본 파일입니다. 첨부파일 U20210608_084741683_미적분8pdf.pdf 파일 다운로드 첫 번째 적분 방법은 이미 익숙한 방법이죠? 수학 2에서 열심히 저 방법으로 적분하고 올라왔죠. 지수함수와 삼각함수의 적분 방법은 미분의 역연산으로 그대로 풀어주는 것이라 어렵지 않습니다. 다만 부호만 주의해 주세요. 유리함수의 적분 방법은 기본적으로 lnf(x)를 미분한 함수의 역연산으로 생각하면 쉽습니다. 그리고, 새로운 적분법이 들어있는 것 보았나요? 치환적분법과 부분적분법. 두 적분 방법은 아주 중요합니다. 방법을 제대로 숙지해...

2022년 올해 HME 전국 해법수학 학력평가 상반기 시험 접수가 시작되었습니다. '3월 초에 접수를 했었지'란 생각에 찾아보니 3월 2일에 시작했네요. 유치원생은 물론 중학생까지 지원이 가능합니다. 보통 중학생들보다 유치원부터 초등학생들이 많이 지원을 하고 있어요. 수학경시대회 중 가장 만만한 시험이기도 하고, 시험을 본 후 시험을 치른 해당 지역의 등수는 물론 전국에서 내 아이가 어떤 수준으로 수학 공부를 하고 있는지 한눈에 보기가 쉬워서 많은 분들이 참가하시는 듯해요. 저도 저희 아이들 초등 때는 몇 번 보았습니다. :) 1. 시험 날짜 2022년 6월 11일 토요일 오후 2시 30분 2. 접수기간 2022년 3월 2일 수요일~ 2022년 5월 27일 금요일 (인터넷 접수는 5월 29일 일요일 마감) 3. 응시 학년 전국 초등학교 1학년~6학년, 중학교 1학년~3학년 * 학교를 다니지 않는 학생도 응시가 가능하며 유치원생은 초등 1학년으로 응시 가능합니다. 4. 시험시간 초등 1학년 : 40분 (오후 2시 30분~3시 10분) 그 외 전 학년 : 60분 (오후 2시 30분~오후 3시 30분) 5. 시험범위 1) 초등 : 1학기 1단원~5단원 (단, 초등 1학년은 4단원까지) * 전 학년 2학기 과정 제외 2) 중 등 : 1학년 - 6학년 2학기 전체~일차방정식까지 2학년 - 1학년 2학기 전체~일 차 부등식까지 3학년 - 2학년...

초등학교에서 정식 시험이 없어진지는 꽤 되었죠. 물론 사립 초등학교에서는 여전히 중간고사나 기말고사 형식의 시험을 보지만 일반적인 공립 초등학교에서는 담임선생님이 따로 단원평가나 수행평가 정도만 보고 있죠. 이런 시험 같은 경우 내 아이가 어떤 수준으로 공부를 하고 있는지 가늠하기 힘들어 외부 경시대회를 종종 이용하는 것으로 알고 있어요. 공부방이나 수학학원에서도 많이 참여하지만(초등 전문학원) 개인적으로도 자녀 공부에 진심인 부모님들이 아이들 시험 신청을 많이 하고 계시죠. :) 여러 경시대회 중 가장 쉬운 편에 속하는 수학경시대회가 천재교육에서 진행하는 HME 수학경시대회입니다. 1년에 두 번(상반기, 하반기) 진행되고 있고 이 시험에서 우수한 성적을 받은 아이는 상위 경시대회인 HMC에도 참가할 수 있어요. 상반기 시험은 초등학생 기준으로 해당 학년의 1단원~5단원(1학년은 1단원~4단원)까지의 내용으로 시험을 치르며, 보통 3월에 접수하고 6월에 시험을 치릅니다. 시험시간은 60분(1학년은 40분)입니다. 문제 수는 총 25문제이며 21번부터 5개가 문제 중 가장 어렵고 시간이 오래 걸려요. 사실 앞의 20문제는 아주아주 금방 풀 겁니다. 범위는 처음~ 막대그래프 단원까지입니다. 첫 페이지 문제는 교과서에서도 아주 기본문제들을 모아놓았어요. 아이들이 신나서 푸는 페이지이기도 하죠. 의외로 이런 문제에서 실수로 틀릴 수 있으니 ...

안녕하세요 유리함수정입니다. 이번 포스팅에서는 중학교 2학년 (중2수학) 수학 목차와 단원별로 간단히 알아야할것 들에 대한 이야기를 해보려고 합니다. 중2수학 1학기때 유리수와 순환소수, 식의 계산, 일차부등식과 연립방정식, 일차함수와 그래프를 배우고 2학기 때 삼각형과 사각형의 성질, 도형의 닮음과 피타고라스 정리, 확률에 대해 배웁니다. 유리수의 개념에 대해 처음 등장하는 단원입니다. 정수와 정수가 아닌 유리수로 분류되며 유한소수와 무한소수의 개념도 처음 배우게 됩니다. 무한소수는 다시 순환하는 무한소수와(순환소수) 순환하지 않는 무한소수(ex. π)로 나뉩니다. 여기서 순환소수를 표현하는 방법 (순환마디에 점을 찍거나 분수로 바꾸어 주기 등)에 대해 배우게 됩니다. 간단한 단원이지만 기초가 되는 중요한 단원이니 제대로 공부해야겠죠. 단항식과 다항식의 계산에 대해 배웁니다. 중1수학의 연장선이니 쉽게 생각하면 될듯해요. 지수법칙등을 이용해 식을 간단히 정리하는 유형의 문제가 나옵니다. 간단한 일차부등식의 성질과 활용에 대해 배웁니다. 처음부터 일차부등식까지가 중2수학 1학기 중간고사 범위가 되고,연립방정식부터 끝까지가 중2수학 1학기 기말고사 범위로 들어가는 것이 일반적입니다. 연립방정식은 일차방정식 두개를 동시에 만족하는 해를 구하는 방법(가감법, 대입법)에 대해 배웁니다. 일차부등식은 고등수학(고1 1학기)에서 이차부등식으로,...

현 중2(2024년 중3)부터 새로바뀌는 대입개편안을 처음 맞이하게 되죠. 저희 집 둘 째도 올해 중3으로 새롭게 적용되는 대입개편안때문에 한동안 고민하고 갈팡질팡했던 것 같아요. 이번 포스팅에서는 중2수학 목차와 함께 제 학생들을 비롯해 저희 집 아이가 어려워했던 내용들과 어떤 방법으로 공부하는지에 대한 이야기를 해보려고해요. 더불어 대입개편안과 그에 대한 대비방법도 말이죠. :) 중학교수학 2-1 목차 Ⅰ. 유리수와 순환소수 유리수의 소수표현 순환소수의 분수표현 Ⅱ. 식의 계산 단항식의 계산 다항식의 계산 Ⅲ. 일차부등식과 연립방정식 일차부등식 연립일차방정식 Ⅳ. 일차함수와 그래프 일차함수와 그 그래프 일차함수와 일차방정식의 관 중2수학의 Ⅰ단원과 Ⅱ단원은 초등학교로 보자면 연산느낌이 강한 단원입니다. 단항식의 계산과 다항식의 계산은 동류항끼리의 계산으로 우리에게 이미 익숙한 내용이기도 하죠. (중1-1때 많이 하고 올라왔을겁니다) 중2수학 1학기에서 가장 중요한 단원은 누가뭐래도 Ⅲ단원과 Ⅳ단원일겁니다. 가장 중요한 내용으로 고등수학(상)과도 직접적으로 연결되는 단원이기도 하죠. 중2수학 2학기 수학 목차 Ⅴ. 삼각형과 사각형의 성질 삼각형의 성질 사각형의 성질 Ⅵ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 도형의 닮음 피타고라스 정리 Ⅶ. 확률 경우의 수 확률과 그 계산 중2수학 2학기는 도형과 확률로 이루어집니다. 도형은 기본적인 성질...

중학교 2학년 2학기 중간고사 대비 문제입니다. 총 23문항으로 Ⅰ. 삼각형의 성질 이등변 삼각형의 성질 직각삼각형의 합동 삼각형의 내심과 외심 Ⅱ. 사각형의 성질 평행사변형 여러가지 사각형 평행선과 넓이 Ⅲ. 도형의 닮음 닮은 도형 삼각형의 닮음 조건 이렇게 세 단원을 담았습니다. 교과서 출판사에 따라 피타고라스의 정리가 닮음 앞쪽에 들어가는 학교도 있더라고요. 별 생각없이 참고한 문제집 순서대로 담았는데(개념플러스 유형은 직각삼각형의 합동 다음에 나오네요), 다음 대비 파일은 피타고라스부분도 담아보겠습니다. 문제의 난이도를 매쓰플랫 프로그램으로 돌려보니 아래와 같이 나오더군요. 학군지가 아닌 지역의 중학교 수준과 비슷하게 나올듯합니다. (학군지 학생이라면 상과 최상수준의 문제만 풀어보면 되겠습니다) 테스트 시간은 35분으로 잡고 풀어보세요. 첨부파일 중2-2중간대비1(암호).pdf 파일 다운로드 오타가 있네요. 18번. □ABCQ → □APCQ <정답> 번호 정답 1 48° 2 29° 3 64° 4 30cm 5 72 6 3 7 17° 8 108° 9 15/2 ㎠ (7.5㎠) 10 ④ 11 40/3 cn 12 45㎠ 13 8cm 14 10cm 15 4cm 16 14π㎠ 17 28㎠ 18 8초 19 15° 20 6㎠ 21 44㎠ 22 144/25 ㎠ 23 16cm 직접 문제를 선정해서 직접 타이핑해서 만들다보니 생각보다 시간이 조금 ...

안녕하세요 유리함수정쌤입니다. 대부분의 학교에서 개학을 했죠? 본격적으로 2학기가 시작됐습니다. 많은 학교에서 중간고사는 대부분 10월 중에 치르는 것으로 알고 있어요. 제 학생들도 빠른 학생들은 10월 초부터 느린 학생들은 10월 말까지 다양하게 있습니다. 이번 포스팅에서는 중2수학 시험 대비 주요 유형을 정리하며 (Ⅰ 단원-삼각형의 성질- 범위만 먼저 정리해 봤습니다) , 해당 유형을 제대로 때려잡을 수 있도록 연습하는 과정에 대한 이야기를 풀어보려 해요. 제가 매쓰플랫을 이용하여 학습지를 만들어 가르치는 방법입니다. 이웃한 이등변 삼각형의 성질 아주 중요한 성질이죠. 일명 '깃발 공식'이라고도 하는데, 삼각형의 두 내각의 합은 나머지 한각의 외각과 같은 각을 가진다는 겁니다. 이등변 삼각형 뿐 아니라 모든 삼각형에서 사용할 수 있는 공식이에요. (중1 때 배우고 올라왔습니다) 이유형은 학교를 불문하고 100% 출제됩니다. 위 사진은 '매쓰플랫' 프로그램 내 들어있는 강의를 캡처한 것입니다. 여러 명의 학생들을 동시에 가르칠 경우 학생이 개념을 잊어버린 경우 이렇게 필요한 내용의 강의를 선택 후 학생에게 직접 보내줄 수 있어요. 다시 한번 복습하면서 제대로 정리하고 풀 수 있도록 말이죠. 물론 개념 이해가 제대로 된 학생들은 이 과정을 생략하고 바로 연습에 들어갑니다. 중2수학 쎈 2-2에 나와있는 '이웃한 이등변 삼각형의 성질'...

중2수학 연립방정식의 활용 첫번째 포스팅에서는, 자릿수 / 가격, 개수 / 득점, 감점 / 가위바위보, 계단 / 증가, 감소 / 정가, 원가 / 전체를 1로 놓고 푸는 유형에 대해 포스팅했었습니다. 아직 보지 못했다면, 아래 링크에서 공부하고 오기! 연립방정식의 활용 완전정복 ① 중학교 2학년 1학기 과정이죠. 이번 포스팅에서는 연립방정식 활용 중 다소 복잡한 유형을 정리해 보려고 ... blog.naver.com 8. 거리,속력,시간 - 중간에 속력이 바뀌는 경우 예제8) 윤아는 시나몬케이크를 사기 위해 집에서 15km 떨어진 베이커리에 갔다. 집에서 버스 정류장까지 시속 6km로 걸어간 후, 시속 30km인 버스를 타고 갔더니 48분이 걸렸다. 이때 윤아가 걸어간 거리를 구하여라. (단, 버스를 기다리는 데 걸린 시간은 10분이다.) 풀이) 걸어간 거리를 x, 버스를 타고 간 거리를 y로 놓습니다. 걸어간 거리와 버스를 타고 간 거리의 합은 15km 이므로, x+y=15 …① 시속 6km로 xkm 걸어가고, 시속 30km로 ykm 버스를 타고 가는데 38분이 걸렸으므로 (기다린 시간 10분은 뺌) ①, ②두 식을 연립해 주면 됩니다. 답) 1km 9. 거리,속력,시간 - 호수(트랙)둘레 걷기 예제9) 연준이와 태현이가 둘레의 길이가 1000m인 트랙을 도는데 같은 지점에서 동시에 출발하여 같은 방향으로 돌면 10분후에 처음 만나고...

초등 5학년 수학문제집 추천 순위 (yes24기준 판매순위) 입니다. 예전에 초등 수학 문제집에 대한 글을 썼던 것 같아 찾아보니 거의 2년이나 되었더라고요. 그땐 초등학교 6학년 수학 문제집 판매량을 기준으로 포스팅했었습니다. yes24는 순전히 제가 가장 자주 이용하는 인터넷 서점이라서 선택 기준으로 잡았습니다. 다른 인터넷 서점도 살펴보니 (알라딘 등) 거의 비슷하더라고요. 부모님들의 선택기준이나 학원의 선택기준이 같아서겠죠? 판매량 순위 1위부터 15위까지 입니다 . 2년전에 비해 크게 달라진 것 같진 않아요. 아이마다 잘 맞는 문제집이 따로 있으니 (성향에 따라 아이가 선호하는 문제집이 있습니다) 참고로만 이용하면 좋을 듯 합니다. :) 저학년이 아닌 고학년을 선택한 이유는 저학년때는 (저도 그랬지만) 아이에게 잘 맞는 문제집 (성향이나 수준에)을 찾는데 적지 않은 시행착오를 거치게 되더라고요. 5학년 정도면 본격적으로 초등수학이 어려워지는 시점이기도 하고, 학부모님들도 조금 더 초등수학을 진지하게 생각하게 되는터라 기준으로 잡았습니다. (문제집 이미지는 yes24에서 가져왔습니다) 1. 디딤돌 초등수학 기본+응용 검색하기도 전에 디딤돌 수학문제집일거라 생각했는데 맞더군요. 아이의 학년에 따라 선호하는 문제집이 따로 있는데, 디딤돌은 초등수학문제집에 있어 독보적인 듯 합니다. 1위 문제집은 ' 기본+응용 ' 이지만, 기본과 ...

안녕하세요 . 유리함수정입니다. 이번 포스팅에서는 모처럼 초등수학에 대한 이야기를 해보려고 해요. 제 직업은 수학과외교사입니다. 고등과정을 메인으로 가르치고 있죠. 블로그 역시 고등 수학 내용이 가장 많기도 하고 말이죠. 하지만 고등과정의 수학을 잘 하려면 당연히 기초부터 탄탄하게 쌓아올려야겠죠. 초등부터 말이죠. 사실 저희 집 아이들의 초등학교 수학과정에서 제 지분은 상당히 낮아요. 초등 저학년은 연산을 기본으로 하고, 고학년이 되어도 고난도 개념이 들어가지는 않기 때문에 아이 스스로 문제집을 풀어보며 고민하게 하고 사고력문제(또는 심화문제)를 풀 때 좀 더 효율적인 방법을 소개하거나 하는 식으로 개입하는 경우가 대부분이었죠. 물론 쉬운 초등수학이라도 독학보다는 인터넷 강의를 통해 개념공부를 하고나면 좀 더 효율적으로 공부할 수 있겠죠. 실제로 저희 아이들 초등땐 거의 대부분의 과목에서 인강의 힘을 빌었던것 같아요. (영어를 제외하고 따로 학원을 보내진 않았어요) 개인적으로 수학은 일찍 시작해서 아이 능력만큼 제대로 많이 해놓으면 좋다고 생각해요. 수학적 이해도가 느린 아이들은 천천히 반복하면서 공부하고 , 수학적 이해도가 빠른 아이들은 그만큼 빨리빨리(하지만 정확히) 공부해 놓는 것이 아주 좋다는 것은 누구나 알고 있는 사실이겠지요. 보통이상의 이해도를 가진 아이라면 기본 개념을 제대로 공부하고 사고력 문제를 꼭 풀리라고 권하고 ...

초등학생들사이에서 (정확히 초등자녀를 둔 어머니들) 인기있는 문제집이죠. 오늘 소개할 문제집은 디딤돌 초등수학 기본+응용 입니다. 제목 그대로 기본과 응용문제가 합쳐진 문제집으로 쉽기만한 문제집 종류는 아닙니다. 문제집 표지에도 상위권으로 가는 응용심화 학습서라고 쓰여있네요. 디딤돌 문제집 시리즈는 교과학습과 상위권 교재로 나뉘어요. 상위권 교재는 모두 아는 최상위 시리즈와 올림피아드가 있겠고, 기본 교과학습 시리즈로는 디딤돌 원리, 기본, 응용, 문제유형, 기본+응용, 기본+유형으로 6종류가 있습니다. 교과학습 시리즈 문제집들은 수록된 문제의 난이도에 따라 내 아이에 맞게 골라서 풀리면 되는데 디딤돌 기본+응용은 수학이해도가 좋은 아이들이 첫 교재로 쓰기에 괜찮습니다. 이 문제집은 디딤돌 기본과 디딤돌 응용을 적절히 섞어놓은 책이라서 문제가 겹칠수도 있어요. 그러니 디딤돌 기본이나 응용을 풀렸다면 이 문제집을 추가로 풀릴 필요는 없습니다. 기본과 응용이 같이 있는 문제집 답게 단순하게 개념설명, 기본문제, 연습문제 정도로만 구성되어있지 않고 심화문제(응용력 기르기)도 따로 구성되어있어요. 중고등교재로 치자면 '쎈'과 비슷한 느낌이네요. 쎈도 기본 유형서이긴 하지만 제법 어려운 문제들도 다루고 있거든요 하지만 그 문제들이 일품이나 고쟁이, 블랙라벨의 최고 문제들보다는 쉽죠. 이 문제집은 쉬운 초등 개념서처럼 만화나 그림등이 들어있지 ...

연초부터 수학 문제집 추천이라니. 어머님들 귀 솔깃하시죠? ㅋㅋㅋㅋ 저흰 큰 아이가 예비고딩, 작은아이가 예비 중딩이라 이제 해당사항이 없지만 (가르치는 학생들은 중등 이상입니다) 많은 분들이 문의하셔서 (쪽지나 비밀글로 많이 옵니다) 올려봅니다. yes24 기준이에요. 다른 메이저 인터넷 서점들도 비슷한 시스템인 것으로 알아요. 제가 정리해 놓은 내용은 6학년 기준이니 다른 학년으로 직접 확인하시려면 이렇게 해보세요! yes24 홈페이지 or 앱 - 국내 도서 - 초등 참고서 - 분야 선택(해당 학년) 이렇게 하면 베스트 순으로 자동 나열됩니다. 초등 참고서에서 분야를 '수학전문교재'로 들어갔더니 시리즈 연산 문제집들이 대부분이더라고요. 시리즈물 (하루 한 장, 빠른 교과서 연산, 시매쓰, 원리셈, 기탄, 기적의 계산법 등 )이 궁금하신 분들은 그리로 들어가면 됩니다. 아마 저학년들은 연산 문제집이 상위권에 있을 것 같아요. 해당 학년으로 직접 학인하면 더 좋을듯합니다. 1학기와 2학기가 같이 들어있는데 중복되는 문제집은 순위에서 뺄게요. 초등 6학년 수학 문제집 추천순위 1위~5위 ⑴쎈 / 설마 했는데 '쎈' 인 것을 보고 깜짝 놀랐네요. 저희 아이 둘 다 쎈은 시키지 않았거든요 ㅎㅎㅎㅎㅎㅎ 워낙 고등아이들 가르치면서 쎈을 많이 사용해서 제가 질린것도 있었고 , 굳이 초등을 그렇게 두꺼운 문제집을 풀려야 하나란 회의감도 있었고 말...

고등학교 2학년 과정이죠. 이번 포스팅에서는 수학 1 과목에서 배우는 등차수열과 등비수열의 합에 대한 내용을 담았습니다. 등차수열과 등비수열에 대한 전반적인 내용 정리는 https://blog.naver.com/ssooj/222406929316에서 확인할 수 있습니다. 수학 1. 등차수열과 등비수열 수학 1여덟 번째 단원이죠. 등차수열과 등비수열에 대한 개념 정리입니다. 사실 등차수열,등비수열이라는 ... blog.naver.com 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라고 합니다. 그래서 이웃하는 두 항의 차는 항상 공차 d로 일정합니다. 위에서 정리한 네 가지만 잘 알고 있으면 관련 문제는 모두 풀립니다. 등차수열의 합 공식을 유도하는 방법도 상당히 간단합니다. 첫 항부터 n 항까지의 합은 Sn 이라 표현합니다. 첫 항을 a라고 놓으면 두 번째 항은 a+d, 세 번째 항은 a+2d가 됩니다. 마지막 항을ℓ이라고 놓으면 마지막 항의 바로 이전 항은ℓ-d라고 놓을 수 있습니다. 이 수 들을 배열해서 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있습니다. 합은 두 가지 방법으로 구할 수 있습니다. 첫 항과 항수는 꼭 알아야 하고, 공차(d)를 알 경우엔 d가 들어있는 공식을 쓰고 마지막 항(ℓ)을 알 경우엔ℓ이 들어있는 공식을 쓰면 됩니다. 관련 예제 몇 개 풀어볼까요? 예제 1 첫째항이 19 , 공차가 -4인 등차수열 {a...

오늘 리뷰할 수학 문제집은 이투스 북에서 나온 '수학의 바이블'과 ' EBS에서 나온 '수학의 왕도'입니다. 두 권 모두 고등학교 수학 기본 개념서이죠. 비슷한 문제집으로 '수학의 샘' 과 '수학의 정석' 시리즈가 있죠. 크기는 모두 거의 비슷하고 형식도 비슷합니다. 사실 두 문제집은 학생들의 수준에 따라 다르게 사용해요. 빠른 선행이 들어가거나 (2년 이상) 학생의 수준이 중상위권이하라면 '수학의 왕도'를 사용하고, 최상위권 학생의 경우 '수학의 바이블'로 기본서를 잡아서 풀립니다. 둘 다 오래 사용하기도 하고 자주 사용하는 교재라서 많이 낡았네요; 사진 속 바이블은 몇 년 전 문제집이에요. 현재는 금박 부분만 다릅니다. (두 권 모두 몇 년 되었지만 문제는 99% 이상 그대로입니다) 두 종류 문제집 모두 색깔이 참 예뻐요. 리뷰 쓰느라 따로 두 권만 집에 챙겨와서 전체 사진이 없네요. 두 문제집 모두 파스텔 색상입니다. 개인적으로 커버가 예뻐서 좋아하는 문제집이기도 합니다. 문제집을 선택하는 기준은 학생들 스타일에 따라서도 갈리는데, 수학적 능력이 뛰어나더라도 시작하는 교재가 좀 어려우면 부담을 느끼는 학생들도 '수학의 왕도'를 사용해요. (이 두 문제집 말고 개념원리도 종종 사용하는 기본서입니다만 스타일이 달라 뺐어요) < 왼쪽 : 수학의 왕도, 오른쪽 : 수학의 바이블> 이후 사진 모두 같은 순서로 올립니다. 오늘 리뷰하며 비...

보건 연구사는 보통 석사이상의 학위가 있는 분들을 대상으로 뽑는 공무원으로 지역내(서울및 지방광역시,도 , 세종시등)에서 보건관련 기획 또는 정책수립등의 업무를 수행합니다. 급으로는 따로 규정하지는 않지만 6급정도의 대우를 받는다고 알려져 있습니다.분야는 식품분야와 질병분야로 나눠져있고 분야에 따라 시험과목이 다릅니다.약학직과 보건연구직, 의학직 세 분야로 나누어지고 모든 분야를 뽑는것은 아닙니다. 아래 표는 지역에 따라 올해(2021년) 뽑은 보건연구사의 모집인원, 응시조건, 시험과목, 경쟁률, 합격점등을 정리해 놓았어요.아래 표를 보면 알겠지만 지역에 따라 응시조건과 시험과목이 조금씩 다르니 응시할 지역 조건에 잘 맞춰서 준비해야겠습니다. 대부분 지방에서는 거주지 제한도 있으니 (공무원 시험은 대부분 이렇죠) 지원하려는 지역과 주민등록상 주소지를 잘 맞추는 것도 중요하겠습니다.빠른 지역은 2월에 필기시험을 치른 곳도 있으니 (경기도) 1월부터 공고문을 확인하는 것이 좋습니다. 서울시 10월 직렬 응시조건 시험과목 경쟁률 합격점 약학직 (1명) 관련분야 석사이상이거나 약사,한의사,한약사 거주지 제한 없음 약학개론약제학약전학,약품분석학 중 택1 23:1 81.67 공중보건직(4명) 관련분야 석사이상거주지 제한 없음 보건학역학미생물학, 식품화학 중 택1 65.3:1 95 경기도 2월 직렬 응시조건 시험과목 경쟁률 합격점 의학직 (5명...

중3수학문제집 순위입니다. 판매량 기준이고 yes24를 참고했습니다. 1위. 쎈 초등수학문제집도 '쎈' 이 1위 였었죠. 역시 중3수학도 쎈이 1위입니다. (아마 고등도 그렇지 않을까요?) 기본서는 조금씩 갈리는 데 유형서로 쎈은 대부분 꼭 풀리는 듯 합니다. 아주 쉬운 A단계부터 심화 수준의 C단계까지 다양한 수준을 담아서 인기가 많은 듯 합니다. 사실 쎈과 비슷한 좋은 문제집이 몇 권 더 있는데 유형서 하면 '쎈'이란 느낌이 강해서 많이 사용되는 것 같기도 해요. 저처럼 교재 한번 정하면 잘 바꾸지 않는 선생님들도 많을테고 말이죠. :) 2위. 개념원리 개념원리는 고등학생들에게 더 유명한 기본서이죠. 학원교재로도 과외 교재로도 많이 사용하는 교재입니다. 저도 개인적으로 좋아하는 교재이기도 해요. 3위. 일품 유형서, 개념서, 심화서 순서대로 하나씩 나오네요. 중학교 심화문제집 중 가장 유명한 것 아닐까 싶어요. 초등에선 심화문제집으로 '최상위수학'을 선호하지만 중등에선 '일품'이 가장 인기가 많죠. (고등에선 심화서로 고쟁이가 제일 인기가 많습니다) 제 학생들도 중등심화서로는 일품을 무조건 풀리는 편이에요. 내신용 심화로 연습시키기 좋거든요. 4위. 개념+유형 라이트 기본서입니다. 학생의 수준이 중상위권 이상일땐 기본서로 개념+유형을 많이 사용합니다. 기본서뿐 아니라 유형서 느낌도 살짝 있어서 최상위권 학생의 경우, 개념+유형 라...

중, 고등 유형서 중 가장 사랑받는 문제집이죠. 오늘은 '쎈'과 '라이트 쎈' 에 대한 리뷰입니다. 새롭게 바뀐 쎈 쎈 시리즈는 초등수학부터 나오긴 합니다만, 문제 수가 상당하기도 하고 초등도 중고등처럼 딱딱한 느낌이라서 어머니들이랑 아이들이 선호하는 것 같진 않아요. 저희 아이도 알록달록한 문제집을 많이 풀기도 했고요. 사진 속 좌측은 새로 나온 쎈이고 우측은 기존에 사용하던 쎈 입니다. 우측 상단을 보면 기존 쎈은 3000만 부 돌파라고, 새로운 쎈은 4000만 부 돌파라고 쓰여있네요. 크기가 살짝 커졌고, 쎈 시리즈는 과목에 따라 색이 달랐었는데 이번엔 색이 다 똑같게 나온 것 같아요. 새롭게 '확률과 통계'와 '수학 1'을 우선 구입했는데 두 권 색이 같더라고요. 본 교재 맨 앞 부분에 빠른 답지가 따로 있는 것은 바뀌지 않고 동일합니다. 기존 쎈 교재엔 오답노트 활용법에 대해 나왔었는데, 개편된 쎈엔 '타입별 쎈 3회독 추천 학습법'에 대해 나왔네요. 쎈 한 권을 3번 풀면서 어떤 식으로 활용하면 좋을지에 대한 방법이 나와있는데, 개인적으로 똑같은 문제집을 여러 번 푸는 것을 선호하는지라 마음에 들더라고요. 수학 오답노트 활용법이나 수학 문제집 n 회독하는 방법 등에 대해서는 추후 따로 포스팅하는 것으로 할게요. 새롭게 개편되면서 유형서임에도 개념이 친절하게 바뀌었어요. 사실 유형서의 개념 정리는 별 기대 없이 보는데, 학생...

이번 포스팅에서 소개할 문제집은 연산 문제집이에요. 중등과정에서 연산 문제집을 쓸 일이 있나 싶으실 수도 있는데, 본 학년을 아주 잘 이해하지는 못하는 학생들이나 선행 시 가볍게 연산으로 먼저 시작하는 경우엔 중학생들도 연산 문제집을 풀리는 편입니다. (잘 이해하는 경우엔 굳이 풀리지는 않습니다) 문제집 두 권을 함께 소개할 거예요. 제가 써본 중학 연산 수학 문제집은 위 사진의 두 권 '디딤돌 중학 연산'과 '쎈연산'입니다. 사실 쎈 연산은 흔히들 시키는 연산이라 시작한 것이었고, 쎈 연산을 풀리고도 찝찝해서 디딤돌 연산을 한 권 더 풀린 학생이 있었거든요. 같은 연산 문제집이지만 성격이 살짝 달라요. 하나씩 비교하며 설명해 볼게요. 문제집 커버를 넘기면 나오면 첫 페이지입니다. 둘 다 계획을 짜서 공부할 수 있도록 따로 들어있어요. 모든 사진의 좌측은 디딤돌 연산, 우측은 쎈연산입니다. 디딤돌 연산이 쎈 연산에 비해 공부 계획을 자세히 짤 수 있도록 되어있어요. 빠른 답은 쎈 연산은 본교재 앞부분에 디딤돌은 해설지 앞부분에 들어있습니다. 보통 연산 문제집 같은 경우 개념서가 아닌 연산 문제집이므로 이렇게 단원에 대한 개념 설명이 따로 들어있지 않아요. 디딤돌 연산은 연산 문제집임에도 불구하고 이렇게 따로 개념이 나와있어 선행용으로 공부하기에 적당합니다. 본격적으로 개념 하나와 연습할 수 있는 문제들로 구성된 페이지입니다. 좌측이 ...