8이번 포스팅에서는 미적분 과목의 필수 공식인 삼각함수의 미분 공식에 대해 정리해 보고, 미분 공식을 활용해 교과서를 같이 뽀개기 해보려고 해요. 삼각함수 미분공식 유도과정을 이해하기 위해서는 '도함수의 정의' , '삼각함수의 덧셈정리' , '몫의 미분법(분수 미분법)'의 개념이 잡혀 있어야 합니다. (기억나지 않는 공식들은 각 공식들을 클릭하면 관련 포스팅으로 연결됩니다) 결론부터 보자면, 아래와 같이 정리가 돼요. sin과 cos을 한 묶음으로, sec와 csc를 한 묶음으로, tan와 cot를 한 묶음으로 외우면 편리하겠죠? 또한 co로 시작하는 삼각함수를 미분하면 모두 ' - ' 가 붙는다는 사실 기억하세요. :) 하나씩 증명해 볼게요. sinx , cosx 뽀개기 sin x 와 cos x 모두 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리를 이용해 공식을 유도했어요. sin 과 cos은 서로 바뀌고, 부호만 신경 쓰면 됩니다. tan x 와 cot x 뽀개기 tan x 와 cot x를 미분한 결과를 보면 모양이 똑같죠? tan를 미분하면 sec2로, cot를 미분하면 -csc2로 미분됩니다. sec x, csc x 뽀개기 점점 삼각함수 미분 공식이 복잡해지는 느낌이죠? sec와 csc는 자기 자신을 한번 반복 후, 뒤에 tan와 cot가 또 붙어요. 역시 co로 시작하는 cot를 미분했을 경우 (-)가 붙습니다. 삼각함수 활용 문제 풀어...
3미적분 중간고사 범위 내신대비 첫 번째 학습지입니다. 과목별로 일주일에 하나씩 올라갑니다. 중간고사 대비 시험범위는 일반고를 기준으로 잡아서 출제했습니다. 수열의 극한 급수 (급수, 등비급수) 지수함수와 로그함수의 극한과 미분 삼각함수의 극한과 미분 (삼각함수의 덧셈정리 포함) 여러 가지 미분법 몫의 미분법 합성함수의 미분법 매개변수로 나타낸 함수의 미분 음함수의 미분 역함수의 미분 이계도함수 내신 시험 대비를 위한 학습지이니 당연히 모든 범위에 대한 공식은 기본적으로 숙지가 되어 있어야 합니다. 이미 외워 놓아야 한다는 것이죠. 각단원을 클릭하면 해당 공식 정리 페이지가 새로 열립니다. 기억이 나지 않는 부분은 공식 정리를 다시 한번 확인하고 오기! 문항은 총 22개로 난이도 '하'부터 '상'까지 골고루 들어있습니다. 최상 수준의 문제는 없습니다만 뒤로 갈수록 어려워집니다. 22번 문제는 시간이 좀 걸리지만 최상 수준은 아니니 꼭 풀어낼 수 있어야 합니다. 시간은 마킹 시간 5분을 제외한 45분 정도 잡고 풀어내면 좋겠습니다. 21번과 22번은 모의고사 기출문제로 실제 내신시험에서 이런 모의고사 기출도 종종 등장하니 다양하게 연습해 놓으면 좋겠죠? 아래 정답 표가 다 보이지 않을 경우 (모바일로 확인 수) 손으로 터치한 상태에서 왼쪽으로 밀어주면 나머지 부분이 보일 겁니다. 문제 번호 정답 유형 1 5 등비급수 수렴조건 2 12 등...
12오늘은 합성함수의 미분법에 대해 설명하고 관련 문제를 풀어보려고 해요. 며칠 전 있었던 수능 문제에도 한문제 출제됐어요. 홀수형 24번으로 3점짜리 쉬운 문제였지만, 내신으로는 복잡하게도 많이 나와서 연습이 필요한 부분입니다. 합성함수의 미분은 유리함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 일 때로 나누어 예제 문제를 풀며 개념을 다져볼 거예요. 이 부분에 대한 개념 정리는, <여러 가지 미분법>에서 확인할 수 있습니다. 합성함수의 미분을 풀기 전에 모든 미분 공식이 제대로 되어있어야 아래 문제들의 풀이가 더 쉽게 이해 갈 것입니다. 예제문제들은 3점짜리와 4점짜리를 섞어서 풀어놓았어요. 4점은 아주 어렵지 않은 4점으로, 기본 개념 숙지가 잘 되었다면 힘들지 않게 풀릴 것입니다. 공식 정리에서는 일차함수를 함성할 때가 예시로 나와있는데, 삼차함수라도 간단해요. 합성함수 y=f(g(x))를 미분하면, y'=f'(g(x))× g'(x) 가 됩니다. 붉은 글씨 부분을 겉미분, 파란 글씨 부분을 속미분이라고 표현해요. 합성함수는 겉에 있는 함수 먼저 미분하고, 안에 들어있는 함수를 미분하는 방법으로 모두 풀어줄 수 있습니다. 예제 1. 2022학년도(2021년) 대수능 23번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x3+x)=ex 을 만족시킬 때, f'(2)의 값은? (3점) 풀이입니다. 예제 2 2012년 ...
11미분은 처음 수학2과목에서 배워요. 미분계수를 배우면서 기본 도함수를 구하는 공식을 배우죠. 아래 공식은 도함수의 정의를 이용해 나온 공식이에요 1/x 같은 가벼운 분수식 같은 경우는 위의 공식을 이용해서 쉽게 미분이 가능해요. 1/x는 x의 -1제곱이라고 할 수 있겠죠? x의 지수 -1이 내려오고 지수는 원래 있던 지수 -1에서 하나 더 작아집니다. 그럼 아래와 같이 -1/x2 이 됩니다. 응용 하나 해볼까요? 그렇다면 1/x2 을 미분하면 어떻게 될까요? 1/x 미분과 마찬가지고 지수를 -2로 고치고 미분하면, 지수에 있는 -2가 내려오고 원래 지수는 하나 작아져서 -3이 됩니다. 그럼 -2/x3 이 되겠죠? 이번엔 조금 더 깊이 들어가 볼까요? 분수함수를 미분해볼 거예요. 이 내용은 '미적분' 과목의 '여러 가지 미분'단원에 들어있습니다. 분수함수를 g(x)/f(x) 라 하고 이를 미분해 볼게요. 이해가 잘 되었나요? 도함수의 정리를 이용해서 공식을 유도했어요. 다시 정리해 보면, 이런 공식으로 유도돼요. 분자의 순서 중요합니다. 분자 먼저 미분하고 분모 곱한 식이 먼저입니다. 헷갈리면 안돼요! 이런 기본 분수함수의 미분을 이용해서 tan x, sec x , csc x , cot x 등을 미분하는 것도 가능해져요. 해당 내용에 대한 공식 정리는 아래 페이지를 참고하세요. 여러 가지 미분법 공식 정리 문제 풀면서 개념 정리를 다시...
8수학2의 마지막 단원 '정적분의 활용'에 대한 개념정리입니다. 지난 개념에서는 정적분의 기본 계산법에 대해 배웠어요. 이번 단원에서는 넓이를 정적분으로 어떻게 표현하는 지, 두 함수 사이이 넓이(직선과 곡선 혹은 곡선과 곡선)와 속도와 가속도를 정적분으로 어떻게 표현하는지에 대해 정리해보았어요. 모바일에 최적화 되어있어 그림이 큽니다. (제 블로그의 80%넘는 분이 모바일로 들어오시네요) 개념정리와 예제문제는 개념원리 RPM을 참고했습니다. 제 개념정리에 대한 모든 자료의 무단전재를 허락하지 않습니다. 원본 pdf파일입니다. 암호가 걸려있어요. 암호는 (1123) 입니다. 첨부파일 정적분의활용_수학2by유리함수정.pdf 파일 다운로드 파일을 굳이 다운 받지 않더라도 pc로 정리된 개념을 볼 땐 잘 보일거에요. 모바일로 볼 땐 한 화면에 잘 나오지 않고 확대하면 깨지므로 pdf파일로 확인하기를 추천합니다. 암호는 본문을 스크랩한 후 손으로 클릭(모바일)하거나 pc에선 마우스로 긁어서 복사해서 이용하면 됩니다. 잘 되지 않을 경우 댓글을 남겨 주세요. 시간을 들여 정리한 자료이니 수고스럽더라도 양해 부탁드려요. 정적분은 넓이를 구하기 위해 나온 개념이라고 보면 돼요. 주의해야 할 것은 x축을 기준으로 함수가 어디에 있느냐에 따라 부호가 달라진다는 겁니다. 실제로 정적분을 구해보면 x축 위에 있는 부분은 정적분의 부호가 양수로, x축 아래...
13미적분 과목 공식과 개념 정리를 다 모아놓았습니다. 기존 개념 정리를 보기 좋게(공부하기 좋게) 함께 모아 발행합니다. 목차별로 클릭해서 들어가면 해당 개념 정리와 함께 구체적인 설명과 예시문제를 같이 담아두었습니다. 모든 공식을 모아놓은 파일은 포스팅 하단에 있습니다. 미적분 과목은 1. 수열의 극한 수열의 수렴과 발산, 수열의 극한에 대한 성질, 극한값의 계산, 등비수열의 극한에 대한 내용이 들어있습니다. https://blog.naver.com/ssooj/222262254965 [미적분]1. 수열의 극한 , 등비수열의 극한 공식 정리 [미적분] 1단원. 수열의 극한 처음 극한은 수학2 과정에서 배웁니다. 수학2에서 배우는 극한 에서는 기본적... blog.naver.com 2. 급수 급수의 수렴과 발산, 급수의 성질, 등비급수 (무한등비급수)에 대한 개념 정리가 들어있습니다. https://blog.naver.com/ssooj/222310382441 [미적분] 2. 급수 / 무한급수, 무한등비급수 공식 정리 오늘 올리는 수학공식은 미적분 2단원 급수입니다. 급수는 한자로 級數 (등급 급, 셈 수)라고 써요. 사전적... blog.naver.com 3. 지수함수와 로그함수의 미분 지수함수의 극한, 로그함수의 극한, 무리수 e, 자연로그, 지수함수와 로그함수의 도함수에 대한 내용이 들어있습니다. https://blog.naver.c...
6고등학교 2학년 혹은 3학년 과정에서 배우는 미적분 과목에 나오는 '삼각함수 미분공식'입니다. 이 내용은 삼각함수의 미분 단원에 삼각함수의 극한과 몫의 미분, 합성함수의 미분 등과 함께 나오는 단원의 내용입니다. 해당 단원의 개념 정리는 (삼각함수의 미분, 극한) (여러 가지 미분법)에서 확인할 수 있습니다. 삼각함수의 미분 공식부터 정리하자면 위와 같이 됩니다. 당연히 미적분을 공부하는 학생이라면 모두 외워야겠고요. 미분 공식은 도함수의 정의와 몫의 미분 등의 방법을 이용해 유도할 수 있습니다. 위 이미지에도 썼지만 '코'로 시작하는 삼각함수 (cos 코사인, cot 코탄젠트, csc 코시컨트)는 미분 시 부호가 모두 (-)로 미분이 됩니다. 둘씩 짝을 지어 놓았는데 꼴이 비슷하니 같이 외우면 편할 겁니다. 물론 헷갈려선 안되겠죠! 하나씩 증명해 볼게요. sinx 와 cosx는 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈 정리를 이용해 공식을 유도할 겁니다. y=sin x 미분 y=cos x 미분 나머지 네 개의 삼각함수의 미분은 몫의 미분법을 이용해 유도할 겁니다. y=tan x 미분 y= cot x 미분 y=sec x 미분 y= csc x 미분 어렵지 않죠? sin x 와 cos x만 도함수의 정의를 이용했고 나머지 삼각함수는 모두 몫의 미분법을 이용해 미분해 주었습니다. 직접 해보면 더 쉬울 겁니다. 이렇게 직접 유도해 보는 것도 공부에 ...
