10공통수학1 Ⅰ. 다항식 다항식의 연산 항등식과 나머지 정리 (나머지정리, 인수정리, 조립제법) 조립제법은 다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나눌 때 직접 나눗셈을 하지 않고 계수만을 사용하여 간편하게 몫과 나머지를 구하는 방법을 의미합니다. 이 방법은 다항식을 일차식으로 나누는 경우에만 사용할 수 있습니다. 보통 이차방정식의 경우 바로 인수분해가 되므로 조립제법은 삼차방정식 이상의 다항식에서 주로 사용합니다. 조립제법을 이용할 때 계수만을 적어 계산하는데, 이때 비어있는 차수의 경우 (예를 들어 3x2+2x-5 라면 일차항이 비어있음)엔 비어있는 자리는 꼭 '0'을 적어 풀어줘야 합니다. 조립제법은 아래 공식 정리 중 첫 번째 예제에 정리해 놓았습니다. 마지막 예제 문제는 아래와 같은 원리로 나머지가 거듭제곱식의 계수가 됩니다. 이해되시나요? 다양한 예제 문제를 풀어보며 조립제법이 삼차방정식에서 어떻게 활용되는지 같이 정리해 볼까요? 문제 1) 다항식 2x3-x2+x+3 을 x+1로 나눈 몫과 나머지는? <풀이> 정답 : 몫 2x2-3x+4 / 나머지 -1 문제 2) 아래는 조립제법을 이용하여 삼차방정식 2x3+3x+4 를 일차식 x-a로 나누었을 때, 나머지를 구하는 과정이다. a, b의 값은? <풀이> 다항식을 보면 이차항이 비어있죠? 비어있는 차수를 '0'을 써넣어 자리를 만들어 줍니다. 문제 3) x에 대한 다항식 x3+ax2...
15조립제법은 다항식을 일차식으로 나눌 때 직접 나누지 않고 계수만을 사용해 몫과 나머지를 구하는 방법입니다. 일차식으로 나눌 때만 가능하고 이차 이상의 식으로 나눌 땐 직접 나누기 방법을 써야 합니다. 보통 조립제법을 설명할 때 모든 계수를 문자로 놓고 시작하거든요. 그렇게 설명을 하니 제가 가르치는 학생들도 오히려 더 복잡하다고 생각하더라고요. 직접 숫자를 넣어 어떤 식으로 풀어지는지 보여드릴게요. 예를 들어볼게요. 2x3-6x+5 를 x-2로 나누었을 때 몫과 나머지를 구해보려고 해요. 계수만을 사용해 나눗셈을 쉽게 할 수 있다는 장점이 있는데, 여기서 주의할 것은 꼭 모든 계수를 다 써야 한다는 것. 차수가 비어있는 부분은 (이 문제에서는 이차항이 비어있죠?) 0을 꼭 넣어줍니다. 최대공약수나 최소공배수 구하는 것처럼 ' ㄴ ' 자를 써주고 모든 계수들을 써줍니다. 좌측엔 나누는 수 (x-2로 나누어야 할 땐 2를 넣어줍니다. 만약 x+3으로 나눈다면 -3을 넣어주면 되는 것. 첫 번째 계수는 무조건 그대로 내려가요. 그러고 나서 위의 영상 속에서 제가 풀어놓은 것처럼 내려온 수에 좌측의 수를 곱해서 대각선 위쪽에 써넣어요. 그러고 나서 위아래 두 수를 더해서 아래에 써줍니다. 이 과정을 반복하면 돼요. 마지막에 나온 숫자가 나머지가 됩니다. 아래 이미지는 영상의 마지막 부분을 캡처해 놓은 것입니다. 이해가 가나요? 다른 문제도 ...
14다항식을 일차식으로 나눌 때 직접 나누는 방법이 아닌 계수를 이용해 몫과 나머지를 구하는 방법을 조립제법이라 합니다. 이번 포스팅에서는 조립제법의 방법과 조립제법을 활용한 응용문제를 풀어보려고 합니다. 최대공약수나 최소공배수를 구할 때처럼 L 모양으로 그려준 후 우측엔 나누어질 다항식의 계수를, 좌측 상단엔 나누는 수 (x-a로 나눈다면 0이 되는 a)를 넣어 풀어줍니다. 첫 번째 계수는 그대로 내려옵니다. 위 식을 보면 최고 차 항의 계수 a를 그대로 내려준 거 보이죠? a와 나누는 인수(a)를 곱해서(pa) 그다음 계수인 b의 아래에 써줍니다. b와 pa를 더한 수를 아래에 써줍니다. 같은 방법으로 인수를 곱해서 위로 보낸 후 더해가는 방법으로 풀어주면 됩니다. 말로써서 복잡해 보이는데, 실제로 풀어보면 참 간단해요. 쉬운 예를 하나 들어보았어요. x2-2x+3 을 (x+2) 로 나눌 때 몫과 나머지를 조립제법을 이용해 구하는 방법입니다. 소리 없는 영상입니다만 쉽게 이해할 수 있을 겁니다. 문제 1 x3+3x2-2x+5 를 (x-1)로 나눌 때의 몫과 나머지를 구하면? <풀이> 문제 2. x4+2x2-7 을 (x-2)로 나눌 때의 몫과 나머지를 구하면? <풀이> 조립제법으로 문제를 풀 때 가장 조심해야 할 것이 모든 계수를 써줘야 한다는 겁니다. 문제를 보면 삼차항과 일차항이 빠져있죠? 계수가 0인것도 반드시 표시해야합니다. 문...
