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이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 수 1 등차수열합공식에 대해 알려드리겠습니다. 등차수열합공식 이 공식을 보러 오신 분들이라면 등차수열이 무엇인지는 다들 알고 계실 거라 생각합니다. 등차수열합공식의 경우 두 가지 형태로 나타나는데 마지막 항을 알 때와 마지막 항을 모를 때의 공식으로 나눠집니다. 아래의 풀이처럼 10항까지의 합을 구할 때 10항이 무엇인지를 알면 L 자리에 10항인 10을 넣어주면 되는데 만약 10항이 무엇인지를 모를 때에는 초항에 공차 d를 9번 더한 값이란 뜻으로 L 자리에 a+(10-1) d를 넣어주면 아래의 마지막 항을 모를 때의 공식이 됩니다. 즉 위의 식만 하나 외워두시고 L= a+(n-1) d를 대입해 주셔도 아래의 식이 되므로 둘 다 외울 필요는 없다는 뜻입니다. 등차수열합공식의 유도 등차수열의 합 공식이 기억이 나지 않을 때에는 위의 사진처럼 1부터 10까지의 합을 구하는 방법을 한번 떠 올려 보세요. 1부터 10까지 나열한 식과 10부터 1까지 나열한 식을 아래위로 적은 뒤 세로 셈으로 더해보면 11이 10개가 생기는 것을 확인할 수 있습니다. 11이 바로 초항과 끝항을 더한 것이고 10항까지의 합이므로 10개가 생기게 됩니다. 이 식을 떠올려보면 위의 사진처럼 공식을 유도할 수 있습니다. 등차수열합공식 연습문제 문제 1. 초항인 a가 7이라고 하고 공차 d가 2라고...

이웃님들 안녕하세요~ 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 등차수열의 합 공식에 대해 알아보겠습니다. 등차수열의 합 (1) 첫째항이 a, 제 n 항이 l인 등차수열 {an}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합 Sn은 (2) 첫째 항이 a, 공차가 d인 등차수열 {an}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합 Sn은 공식이 두 개이긴 하나 ... 이해를 한다면 같은 말입니다. 위의 공식에서 l(엘)이 의미하는 것은 끝항 즉 n 번째 항을 말하는 것인데 n 번째 항이 무엇인지 모를 때에는 초항에서 공차 d를 (n-1) 번 더한 값을 l 대신 적어주면 아래의 공식이 됩니다. 예를 들어 10항까지의 합을 구하려고 할 때 10항이 뭔지 알면 l 자리에 그 수를 적으면 되는데 10항이 뭔지 모를 때에는 초항에 공차 d를 9번 더한 값을 l(엘) 자리에 넣어줘야 합니다. 그게 바로 아래의 공식입니다. 문제를 풀면서 더 자세히 설명드리겠습니다. 2025 수능특강 등차수열의 합의 문제를 풀어보겠습니다. 우선 3항은 초항인 a에서 공차를 2번 더한 항이므로 a+2d=9라는 식을 하나 적어 두고, S9는 9항까지의 합이니까 공식에 대입해 보면 9(a+4d)라는 것을 알 수 있습니다. 6항은 a+5d로 나타내어 6항과 S9의 합이 174란 식을 적어서 ㄴ식을 구한 뒤 ㄱ식과 연립을 해서 a=1이고 d=4인 것을 알 수 있습니다. 문제에서 10항을 물어보는데...

이웃님들 안녕하세요! 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 등비수열의 합공식에 대해 알아보려고 합니다. 등비수열이란? 등비수열이란 일정한 비율을 가진 수열을 말합니다. 계속 같은 수를 곱하는 수열인데 이때 첫 번째 항을 초항 a라고 하고 곱하는 수를 공비 r이라고 합니다. 등비수열의 일반항 등비수열의 n 번째 항 즉 일반항 an을 구하는 방법은 초항인 a에서 공비인 r을 몇 번 곱했는지를 생각해 보면 됩니다. 10항이라면 초항 a에서 공비 r을 9번 곱했기 때문에 a10=a×r9라고 나타낼 수 있습니다. 100항이라면 초항 a에서 공비 r을 99번 곱했기 때문에 a100=a×r99라고 나타낼 수 있습니다. 이 방법을 일반화한다면 an=a×rn-1가 됩니다. 가만히 생각해 보면 이 정도 공식은 이해만 한다면 저절로 외워지는 것이지요... 등비수열의 합 Sn 공식 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 n 항까지의 합을 구하는 공식은 공식에서 항상 분모가 0이 되는 경우는 제외하는 거 아시지요? r이 1이 아닐 때 위의 두 공식 중 저는 분모가 음수가 안되는 공식을 선택해서 수열의 합을 구합니다. 처음 보면 복잡한 것 같은데... 공식을 몇 번 보면서 문제 몇 문제 풀어 보면 저절로 외워질 겁니다. 등비수열의 합 구하는 문제를 한번 풀어 볼까요? 예제 1. 첫째항부터 제5항까지의 합이 1이고 첫째항부터 제10항까지의 합이 3인 등...

이웃님들 안녕하세요? 수학에게 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 원리합계에 대해 알아보도록 하겠습니다. 원리 합계란? 원리합계는 원금과 이자를 합한 금액을 말합니다. 대출을 받거나 적금을 들 때, 또는 정기예금을 넣을 때 일정 기간 원금에 대한 발생한 이자를 모두 더한 금액을 말합니다. 중요한 부분인 것은 분명한데... 수능에 나온 것은 아~~주 오래된 것 같습니다. 이자가 너무 낮아서 복리를 계산할 필요가 없어서 그런 것일까요? 그래도 내신에서는 한 번씩 나오므로 꼭 알고 가셔야겠지요? 원리합계의 계산 원금 a 원을 연이율 r로 n년간 예금했을 때, 원리합계 S는 다음과 같이 두 가지 방법으로 계산할 수 있습니다. 단리법 : 원금에 대해서만 이자를 더하여 원리합계를 계산하는 방법 단리법 S=a(1+rn) 공차가 ar인 등차수열 단리법이란 10년 예금을 넣어도 첫해에 붙는 이자와 두 번째 해애 붙는 이자가 같은 이자 계산법으로... 중학생에게도 쉬운 문제가 아닐까 생각합니다. 즉 고등학교 시험에 잘 나오지 않는다는 말이겠지요? 2. 복리법 : 일정한 기간마다 이자를 원금에 더하여 그 원리합계를 다음 기간의 원금으로 계산하는 방법입니다. 즉 이자에 다시 이자가 붙는 방법입니다. 복리법 S=a(1+r) ⁿ 공비가 1+r인 등비수열 같은 금액을 예금하더라도 복리와 단리의 이자는 복리가 유리합니다. 제가 복리를 배울 때에는 돈이 눈덩이처...

잇님들 안녕하세요~ 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 이번 포스팅에서는 등차수열의 합 공식에 대해서 알아보려 합니다. 등차수열의 합 공식 등차수열의 합 공식을 외우긴 했는 데 며칠간 공부를 안 하고 나면 잊히고는 하지요? 등차수열의 합 공식이 기억이 안날 때에도 공식을 만들어서 풀 수 있는 방법을 알려 드리겠습니다.~ 제가 등차수열의 합 공식을 가장 먼저 접한 것은 제가 국민학교를 다니던 시절 4학년 수학 문제집의 한 단원이 끝나고 나오는 삽화에서였습니다. 그 삽화에서는 수학자 가우스가 초등학교 시절 등차수열의 합을 구하는 공식을 발견한 일화가 소개되어 있었는데 저는 그 삽화를 보고 등차수열이라는 이름은 몰랐지만 등차수열의 합을 구하는 공식은 알게 되었습니다. 당연히 공식을 외워두는 게 좋겠지만 혹여 기억이 안 날 때에는 이렇게 생각해 보시면 공식이 다시 기억이 나실 거예요 ^^ 초항이 1이고 공차가 1인 등차수열의 10항까지의 합을 구하는 것을 예로 들어 보겠습니다. 가장 위에 줄에는 1항부터 10항까지를 적어보고 두 번째 줄에는 10항부터 1항까지를 적어둔 뒤 세로 셈으로 더해 봤습니다. 그랬던 이 초항과 끝항을 더한 11이 10개가 나오는 걸 확인할 수 있습니다. 11이 10개이므로 110인데 110의 경우 1부터 10까지가 두 번 더해진 것이니 2로 나눠줘야겠지요? 결론적으로 초항과 끝항이 더해진...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 이번 포스팅에서는 2025. 수능특강 수학 1 등차수열과 등비수열 기초연습부분의 문제를 풀어보았습니다. 문제가 상당히 쉬운 문제들로 이루어져 있어서 기본 연습을 가기 전에 워밍업이라고 생각하고 간단하게 풀어보고 넘어가시면 될 것 같습니다. 등차수열의 3항은 1항에서 공차인 d를 두 번 더한 항입니다. 6항은 초항인 a에서 공차 d를 5번 더한 항이 되겠지요. 그걸 식으로 적어서 연립을 하게 되면 a와 d를 구할 수 있습니다. 그러면 초항인 a에서 d를 9번 더하게 되면 문제에서 원하는 10항이 나오게 됩니다. 정답은 19 ④번입니다. 3항은 초항인 a+2d로 나타내고, 5항은 a+4d, 7항은 a+6d로 나타내어 식을 적어 주고 정리해서 두 식을 연립하면 a의 값과 d의 값을 알 수 있습니다. 10항은 초항에 공차 d를 9번 더한 값이므로 정답은 33입니다. 정답 ② 이 순서대로 등차수열을 이룬다는 말을 보면 등차중항을 떠 올릴 줄 알아야 합니다. 등차 중항이란 a, b, c가 등차수열을 이룬다고 하면 2b=a+c의 성질을 가지게 됩니다. 그래서 2(2a-1)=a+a2-6이란 식을 적어주고 이차방정식을 풀어주면 하나의 양근과 음근이 나오는데 양수라고 되어있으므로 정답은 4 ④번입니다. 3항을 a+2d로 나타내고 7항을 a+6d, 5항을 a+4d로 나타내어...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다 입니다. 수능특강 수학 1을 계속 올려드리고 싶었는데 ... 요 며칠 계속 시간이 나질 않아 문제는 다 풀어보고 수업을 진행을 하긴 했는데 삼각함수 부분을 올리지를 못했네요... 목요일 수열 수업할 부분을 미리 풀어 보면서 유제 부분을 정리해서 올려 봅니다. 등차수열, 등비수열에 관한 내용 링크도 걸어 둘 테니 이해가 안되시는 분들 한번씩 보시면 좋을 것 같습니다. ^^ 등차수열의 일반항 3번째 항은 초항에서 공차인 d를 2번 더한 것이고, 6번째 항은 초항인 a에서 공차 d를 5번 더한 것이라는 것을 생각하며 a3, a6, a9를 나타내면 a와 d에 대한 일차식 2개가 나옵니다. 그렇게 나온 일차식의 해를 구하면 초항과 공차를 알 수 있습니다. 문제에서 우리에게 물어보는 an>100<--이게 의미하는 것은 몇 번째 항에서 처음으로 100을 넘기느냐를 말하는 것인데 제가 식으로 적은 것은 초항인 a에 d를 몇 번 더하면 100보다 커지냐를 식으로 나타내서 풀어봤습니다. 그랬더니 45.xxx 번을 더하면 100보다 커진다는 답이 나오더라고요. 그 말인즉슨 45번 더해서는 100보다 커지지 않으니 46번 더해야 한다는 것인데 초항에 d를 46번 더한 다는 것은 47항인 것을 의미합니다. 그래서 정답은 ④번입니다. 등차수열의 일반항 문제에서 주어진 가와 나를 보고 알...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 이번 포스팅에서는 고등수학 미적분 등비수열의 극한과 등비수열의 수렴조건에 대하여 알아보려 합니다. 1. 등비수열의 수렴과 발산 첫째항이 r, 공비가 r인 등비수열 {rn}, 즉 r, r2, r3,...,rn,... 의 수렴과 발산은 r의 범위에 따라 아래와 같이 결정됩니다. 생각해 보면 너무나 당연한 말입니다. r을 반복적으로 곱하는데 r이 1보다 크게 된다면 당연히 발산을 하는 것이고 r=1이라면 n 번째 항도 1이 되겠지요, 1보다 작은 수를 반복적으로 곱하면 계속 작아지다 결국 0이 되는 것이고 -1이라면 부호가 계속 바뀌지만 절댓값이 변하지는 않으니 진동 발산이라고 생각이 될 것입니다. 적어 두긴 했지만 외우기보다는 이해를 하셔야 할 것입니다. 등비수열의 수렴과 발산을 알아보는 예제 1번을 풀어보면 더 쉽게 이해를 하실 수 있으리라 생각합니다. 예제 1 수열an이 수렴한다고 하니 그 수렴하는 값이 얼마인지는 모르지만 그 값을 임의로 α라고 가정을 해 봤습니다. 그렇게 하고 주어진 극한식의 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 나누어 주게 되면 극한값이 아래의 풀이처럼 5/α가 되는데 이게 바로 2라는 말이지요. 그러면 α값이 5/2가 되니까 an의 극한값은 5/2가 됩니다. 2. 등비수열의 수렴 조건 등비수열 {rn}의 수렴조건 → -1< r ≤1 (...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 고등수학 미적분 수열의 극한에서 수열의 극한값 계산 부분에 대해 알아보려 합니다. 수학 2에서 배웠던 함수의 극한과 유사한 부분이 많으니 크게 어렵지 않게 풀 수 있으리라 생각합니다. 문제를 풀어보면서 자세히 설명드릴게요~!! 수열의 극한값의 계산 합 또는 곱으로 표현된 무한대 분의 무한대 꼴의 극한 문제 1 (1) 번의 경우 분모도 무한대고 분자도 무한대인데 분자를 정리하게 되면 n(n+1)(2n+1)/6 이 됩니다. 무한대 분의 무한대의 경우 극한값은 분자의 차수가 높으면 무한대이고 분모의 차수가 높으면 0에 수렴하고 차수가 같으면 최고 차 항의 계수의 비가 극한 값이 되는데 (1) 번의 경우 최고 차 항의 계수의 비가 1/3이 되는 것을 아래의 풀이를 보고 알 수 있습니다. (2) 번의 경우 괄호 안을 통분을 하여 분자를 합차 공식으로 나타내 주어 인수분해를 통해 위의 풀이처럼 나타내 주면 서로 약분이 되는 것을 알 수 있습니다. 약분을 하는데 제일 앞의 1/2만 남고 약분이 되는 것을 보면 끝에서도 첫 번째 것만 남기고 다 약분이 된다고 보시면 됩니다. 풀이의 맨 아래 줄처럼 정리가 되는데 최고 차 항의 계수의 비가 1/2이므로 정답은 1/2가 됩니다. 문제 2 분자를 일반항으로 나타내보면 n 항이 (2n-1)2인 것을 알 수 있습니다. 1항부터 ...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 실력 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 블로그의 카테고리를 만 들어 놓고 글을 적지 않았던 초등수학란을 며칠간 글을 적어 채워놨는데... 미적분과 기하 게시판에도 글을 아직 하나도 올리지 못해 오늘부터 미적분과 기하에 대해 포스팅을 하려 합니다. 막상 해보니 리미트 부분이 키보드로 나타내는 데 한계가 있어 그게 조금 염려스럽네요. 저도 신학기를 맞이해서 새로 공부하는 셈 치고 앞에서부터 천천히 하나씩 올려 보겠습니다. ^^ 이번 포스팅에서는 고등학교 수학 미적분의 수열의 극한에 대해 알아보았습니다. 수열의 수렴 수열에서 n이 한없이 커질 때 일반항 an의 값이 일정한 값에 한없이 가까워지면 수열은 a에 수렴한다고 합니다. 모든 자연수 에 대하여 극한을 취해주게 되어도 사실 n이 없는 자연수의 극한은 그냥 그 자연수 일 뿐입니다. 문제 1 (1) 번의 경우 (-1)n의 n이 1,2,3,4,를 차례로 대입해 보면 -1과 1이 차례로 바뀌는 것을 알 수 있다. 그렇다면 1+(-1)n의 경우 0,2,0,2.... 가 차례로 되는 것을 알 수 있다. 이런 식으로 무한대로 가지도 않고 어떤 값에 가까워지지도 않은 채 반복되는 패턴을 진동한다고 하고 진동도 발산의 일부분이라고 본다. 정답은 발산이다. (2) 번의 경우 n에 1, 2, 3, 4,를 차례로 대입해 보면 분자의 차수가 분모보다 크기 때문에 분자...

잇님들 안녕하세요 잇님들의 수학 성적 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 지난 포스팅에 이어 이번 포스팅도 등비수열에 대해 알아보고자 합니다. 날이 추워 히터를 틀어놨더니 잠이 살살 오네요.. 역시 공부는 약간 춥다 싶은 온도에서 잘 되지요... 그런데 또 추운 것은 싫으니... 그냥 수학이 하기 싫다는 핑계일까요? ㅎㅎㅎ 첫 번째 문제같이 풀어 보시죠~ 이번 문제는 나머지 정리에 대한 개념은 있어야 할 것 같네요.. 1학년 때 배운 나머지 정리 다 아시겠지요~ (x+1)로 나누었을 때의 나머지란 f(-1)이다. 뭐 이 정도를 말하는 거라 다 아실 거라 생각합니다. 그 f(-1), f(1), f(2)가 등비수열을 이룬다고 합니다. 등비수열을 이룬다고 하면 등비중항이 떠올라야 합니다. 등비수열을 이루는 수열의 중간 수를 제곱하면 양쪽에 있는 애들의 곱과 같다는 것인데 등비수열을 만족하는 수열은 성립합니다. 그러면 f(1)에 (3+a)를 대입하는 등 각각의 식을 대입하면 a에 대한 이차방정식이 나오는 것을 확인할 수 있었습니다. 그 이차방정식을 풀어 a를 구하면 우리는 f(x)의 값을 이제는 알게 되었지요? 그 f(x)를 (x+2)로 나눈 나머지는 f(-2)를 구하라는 말인 것 다 아시잖아요 ㅎㅎ 그럼 답이 17이라고 나오네요 a 값과 같네요. 두 번째 문제입니다. 첫 번째 문제에서 언급했다 싶이 이 순서대로 등비수열을 이루고~라...

잇님들 안녕하세요. 잇님들의 수학 성적 향상에 도움이 되고 싶은 질수는없다입니다. 이번 포스팅은 수학 1에 등비수열에 대해 적어 보려 합니다. 등비수열에 대해 같이 한번 알아 보실까요? ^^ 등비수열의 일반항과 공비 등비수열의 뜻 첫째 항부터 차례로 일정한 수를 곱하여 만들어지는 수열을 등비수열이라고 하고 그 일정한 수를 공비라 합니다. 공비가 r인 등비수열은 n+1항에서 n 항을 나누면 공비 r 이 나옵니다. 반대로 nr=r(n+1)도 성립합니다. 첫 번째 문제 고2 수학 수학 1 등비수열의 일반항 n 항이라는 것은 말 그대로 n 번째 항이 이거라고 적어 둔 것이니 첫째항을 구하고 싶으면 n에 1을 대입하면 됩니다. 고2 수학 수학 1 등비수열의 일반항 그렇게 n에 1을 대입해서 초항이 2라는 것을 알았고. 2를 대입해서 1이라는 것을 알았습니다. 그렇다면 공비가 1/2인 것도 알 수 있지요~ 첫 번째 문제는 너무 쉽네요. 원래 시험도 1번은 쉬운 법이잖아요 ^^ 그럼 다음 문제로 가 보실까요? 두 번째 문제입니다. 고2 수학 수학 1 등비수열의 일반항 제4항이 -8이라고 하네요. 4항은 어떻게 구할 수 있는지 잇님들은 다 알고 계시죠~? 네~ 맞습니다. 초항에서 공비를 3번 곱했는 값이라는 거잖아요. 아래의 풀이처럼 초항 a에 공비 r을 3번 곱했다고 식을 적어 줄 수 있습니다. 고2 수학 수학 1 등비수열의 일반항 그렇다면 당연...

수열이라는 단원은 수 1에서 삼각함수가 끝나고 바로 나오는 단원이다. 삼각함수가 어려워서 수학을 멀리했던 학생들도 여기서부터는 완전히 다른 문제가 나오므로 삼각함수를 모르더라도 할 수 있는 부분이다. 그러므로 삼각함수가 잘 안 풀리는 학생들도 여기 이 수열 부분을 새로운 마음으로 공부한다면 기말고사에서 좋은 결과가 있을 수 있다. 그럼 등차수열에 대해 알아보자. 등차수열이란 무엇인가? 수열이라 함은 수를 나열한 것을 말하는데 등차수열이란 것은 같은 차이로 수를 나열한 것을 말한다. 여기에서 그 같은 차이를 공차라고 하고 보통 d라고 표기한다. 그럼 등차수열의 일반항이란 무엇인가? 등차수열의 일반항을 우리는 밑에 식처럼 표시한다. n 번째 항이 이거라는 말을 이렇게 한다. 항중에 첫 번째 항을 초항이라고 하는데 보통 a로 표시를 한다. 그러면 초항 즉 첫 번째 항에서 공차를 (n-1) 더했다는 말이다. 예를 들어 1,3,5,7,9..... 와 같은 수의 배열을 보면 계속 2씩 커지는 것을 확인할 수 있다. 여기에서 첫 번째 항인 1을 우리가 초항이라 하고 a로 나타낸다. 2씩 커지므로 공차 d=2임을 알 수 있다. 4번째 항인 7은 초항인 1에서 공차를 3번 더했다는 걸 또 알 수 있다. 5번째 항은 초항에서 공차 2를 4번 더했다는 것을 또 확인한다면 이것을 일반화해서 n 번째 항은 초항에서 공차를 (n-1) 번 더한 값이겠구나..라...