계속해서 물고기를 잡는다면 바다에 물고기가 없을 때까지 얼마나 걸릴까? 이 문제는 어업이 얼마나 이루어지고 있는가 혹은 물고기가 얼마나 있는가에 따라 달라진다. 바닷속 물고기 수를 p(t)라고 하자. 물고기는 계속 증가할 것이므로, 아래와 같이 식을 세울 수 있다. 하지만 물고기 수가 커진다면 사람들이 물고기를 잡는 수도 커지므로 일정한 증가율 a가 아니라 a-bp(t)로 증가한다. 즉, 물고기수가 많아지면 증가율은 낮아지게 된다. 처음에 있는 물고기 수를 p_0라 하면, 미분방정식을 풀면, 물고기 수는 결국 극한값인 a/b까지 증가한다. 게다가 물고기 수는 극한값의 절반인 a/2b가 될 때까지는 점점 빠른 비율로 증가하다가, 그 후에는 점점 느린 비율로 증가한다. 인구수의 성장, 전염병의 확진 등 개체군의 증가에 따른 연구에서는 증가율이 기하급수적으로 증가한다고 생각하였다. 그러나 현실적으로 환경이나 한정된 자원에서는 출생률의 감소 혹은 사망률의 증가로 개체군의 성장은 점차 감소하게 되어 증가폭은 둔화되고 결국 증가가 멈춘다. pierre francois verhulst가 1838년 개체군성장의 식을 아래와 같이 발명한다. y: 인구수, k : 자연성장률, L : 수용용량 이를 우리는 로지스틱 함수이라 한다. 이 방정식에서는 초기 조건에 상관없이 로지스틱 함수는 시간이 지남에 따라 수용용량 L에 수렴한다. 로지스틱 함수의 가장 기본...
어렸을 적, 숙제로 학습지를 꼭 풀라고 당부하시고 부모님이 외출하셨다. 할 수 있다고 고개를 끄덕이던 마음가짐과는 다르게 부모님의 문밖을 나서자마자 숙제는 제쳐두고, 텔레비전부터 틀었다. 정신없이 보다가 부모님이 돌아오시는 발걸음에 부리나케 텔레비전을 끄고, 다시 숙제를 하는 척을 했었다. 물론 뜨끈뜨끈한 텔레비전에서 부모님이 눈치채셨겠지만, 그냥 웃으며 지나가셨다. TV나 모니터 등의 가전제품을 사용하다 보면 열이 발생한다. 전원을 끄면 자연스럽게 기기의 열이 낮아지는데 처음에는 빠르게 식다가 어느 정도 시간이 지나 주변 온도에 어느 정도 시간이 지나 주변 온도에 가까워지면 미열의 상태가 상당 시간 유지된다. 이 사실을 그때 알았다면, 부모님 오시는 시간을 예상해서 조금만 더 일찍 텔레비전을 꺼서 부모님께서 눈치를 쉽게 채시진 못했을 텐데. 이 현상은 뉴턴이 찾아낸 원리로, 뉴턴은 물체의 온도 변화가 시간에 대한 지수함수의 형태로 변한다는 사실을 알아냈다. 이를 ‘뉴턴의 냉각법칙’이라고 한다. S:외부온도, T : 시각 t일때, 물체의 온도이면 아래와 같은 등식이 성립한다. 목욕을 할 때, 욕조에 물을 받고 기다리다 보면 매우 뜨거운 물이 받아진다. 너무 뜨거워서 시간을 두고 욕조에 몸을 담그려고 하니 어느새 물이 식었다. 뜨거운 물은 처음에는 빠르게 식다가 어느 정도 시간이 지나면 주변 온도에 정도의 미지근한 물이 된다. 그렇다면...
31. e의 시작 역사적으로 e는 연속복리의 원리합계를 구하는 문제와 더불어 등장하였다. 로그가 발명되던 시기는 상업이 발달하고 금융거래가 활발히 이루어지던 때였으며, 복리계산법에 관심이 컸다. 18세기 초 johan bernouilli는 이와 관련하여 '매 순간마다 연리의 비례부분이 원금에 붙는다는 조건으로 돈을 빌려준 채권자는 무한히 많은 금액을 받을 수 있는 행운을 가지겠는가?'와 같은 문제를 제시하였다. 기대한 바와 같이 n이 증가할 때 s_n도 증가하지만 서서히 증가하면 이 값이 3을 넘을 것인지 3을 넘는다면 무한히 커질 것인지, 아니면 3미만에 머물것인가? 2. 무리수 e 수열 e_n은 단조증가하고 유계이므로 수렴한다. 따라서 아래 식이 성립한다. 이때 이 수열의 극한값이 존재하며 그 값이 무리수임을 증명하고 그 수를 e라고 나타낸 수학자는 바로 18세기 스위스의 대수학자 오일러였다. e가 무리수인 이유 3. 자연로그 고등학교 미적분에 무리수 e를 도입하는 가장 큰 이유는 지수함수의 미분과 적분, 로그함수의 미분과 적분에서 그 힘을 발휘하기 때문이다. 1) 미분에서 이용하는 극한값 2) 지수함수의 미분 반면 밑이 e가 아닌 경우 3) 로그함수의 미분 반면 밑이 e가 아닌 경우 4. e와 삼각함수의 관계 오일러는 지수함수를 다항식으로 적겠다는 직관을 발휘했다. 이 때 항을 무한대로 지니기 떄문에 엄격한 의미에서 다항식이 아니...
10역사적으로 지수와 로그는 십진기수법의 성립으로부터 탄생된 것으로, (상용)로그는 십진기수법의 자릿값에서 10의 거듭제곱의 지수에 해당하는 것이다. 곧 아래와 같이 로그와 지수의 관계를 알 수 있다. 여기서 자릿값의 곱은 10의 거듭제곱의 지수의 합에 대응하므로 log ab= log a + log b이다. 그리고 로그 눈금으로 100은 2, 10은 1, 1은 0, 0.1은 -1, 0.01은 -2등과 같이 나타내어 지므로 다른 2~9까지 로그 눈금은 2는 0.3010, 3은 0.4771 ... 9는 0.9542로 나타내어진다. 인류가 개발한 계산법의 놀랄만한 힘은 세 가지 발명, 곧 인도-아라비아 기수법, 소수, 로가리즘에 기인한다. 로가리즘은 근대 물리학과 천문학이 발전하던 17세기 초반에 천문학과 측지학에서 큰 수의 복잡한 계산을 단순화하는 방법이 질실해짐에 따라 계산 도구로서 Napier에 의해 발명되었다. 그의 연구의 목적은 산술, 대수, 삼각법의 단순화와 체계화였다. 그의 저서 '경이로운 로그법칙의 기술'은 1614년에 발간됐다. 여기서 그는 로그의 본질을 설명하였으며 1도부터 90도까지 분 단위로 구한 사인값의 로그표를 제시하였다. 오늘날에는 컴퓨터의 발달로 인하여 계산도구로서의 로그는 그 의미가 없어졌지만 20세기 중반까지도 로그계산자는 과학과 공학 연구에 널리 이용되었다. kepler는 로그표를 이용하여 행성운동에 관한 k...
2우리가 학교에서 배우는 함수는 식이 있고, 계산이 가능하다. 하지만 함수의 정의는 변수x가 주어짐에 따라 y값이 정해지는 대응관계로 자동판매기와 같은 예시로 배운다. 실제로 배우는 예들은 대수적이고, 식에 의존하지만, 왜 정의는 이렇듯 집합의 개념을 이용하게 된 것일까? 함수 개념의 발달을 알아보자. 1) 표를 통한 함수의 사용 '표'를 함수라 본다면 기원전 2000년 경에 고대 바빌로니아 사람들은 천문학 연구에서 사용하던 수표가 기록된 진흙판에서 그 기원을 찾을 수 있다. 그들은 연속적으로 변하는 천체의 위치의 주기성을 발견하고 경험적 자료를 바탕으로 천체의 운동을 나타내는 경로를 원운동 모델로 추정하여 표로 나타내었다. 이를 현대적으로 해석하면 천체의 운동을 삼각함수로 기술한 것이다. 그리스 기하에서는 정적인 도형의 성질에 관심을 두었기 때문에 동적인 변수나 함수관념이 함수관념이 발생하지 못하였다. 그런데 그리스 천문학자 Ptolemy(프톨레마이오스)의 책(알마게스트) 속에는 '현의 표'가 나온다. 그는 0도에서 90도까지 15분 간격으로 사인값은 표기한 표가 있고 사인법칙과 배각과 반각의 성질들와 일치하는 정리들도 다루고 있다. 이 책은 유클리드 원론과 나란히, 가장 오랫동안 사용된 과학 교과서라는 영예를 차지한다. 2) 기하학적 함수개념 Galilei, Cavalieri, Barrow에게서 이미 기하학적인 함수관념의 싹을 찾아...
항해사는 별자리를 관측해서 항해를 해야 하는 데 계산을 하는데 시간이 걸리고, 이 때 배는 움직임에 따라 계산 실수가 잦았다. 17세기 초 망원경의 발명으로 천문학, 항해술, 삼각법이 급속히 발달하였고, 이에 따라 방대하고도 복잡한 천문학상의 계산을 하기 위해 새로운 계산 기술이 절실히 요구되었다. 이 때 영국의 수학자 존 네이피어(1550~1617)은 새로운 계산 방법인 로그를 발명하였다. 계산 실수를 하면 항로를 벗어날 위험이 있는 선원들에게 로그는 특히 쓸모가 많았다. 로그는 곱셈 문제를 덧셈 문제로 바꿔준다. 곱셈을 할 때 거듭제곱 수가 갖는 성질 덕분이다. 우리 주변의 자연 현상이나 사회 현상 중에는 일정한 비율로 증가하거나 감소하는 변화를 보이는 것들이 있다. 방사성 물질의 붕괴, 박테리아의 증식, 음의 높이와 주파수의 변화 등이 그러한 속성을 가지고 있다. 밑을 다르게 하면 여러 용도에 편리하게 사용할 수 있다. 예를 들어 밑이 10인 로그는 10진법으로 표기된 숫자가 몇 자리인지 알게 해준다. 지진의 강도가 바로 그런 사례이다. 리히터 규모는 밑이 10인 로그로 표현되는데, 규모 3인 지진은 규모 2인 지진보다 10배 더 강하다. 또한 소리의 세기를 나타내는 데시벨과 산도를 나타내는 ph도 마찬가지이다. 이 밖에도 자주 사용되는 로그는 밑이 2인 로그함수로, 2가 몇 번 곱해졌는지를 나타낸다. 음악의 옥타브에서 1옥타브...
