61) 고대 그리스의 기하 메소포타미아 지방에서 출토되 진흙판에는 지름을 이용하여 원주가 6등분 된다는 것을 알고 있었다. 이집트의 아메스 파피루스에는 비록 정리는 없지만 문제를 통하여 정사각형, 직사각형, 이등변 삼각형 사다리꼴의 넓이가 다루어진다. 또한 원주율을 (16/9)^2=3.16...으로 계산하였다. 고대 이집트인들은 변의 길이의 비가 3:4:5인 직각삼각형의 성질을 알고 이를 건축에 이용하였다. 고대 이집트의 기하는 나일강의 잦은 범람으로 비롯된 토지 측량에 그 기원이 있으며 주로 넓이를 다루는 경험적인 실제기하였다. 기원전 7세기 경 고대 그리스와 이집트 사이에 성업적 교류는 물론 지적인 교류가 활발히 일어나 탈레스, 피타고라스, 플라톤 등 그리스의 학자들이 이집트를 방문하여 이집트 승려들로부터 가르침을 받았다. 그리스인들은 실제적인 필요성에 기인한 문제 해결 기법을 초월하여 사물의 이상적인 관계를 찾는 학문 연구에 심취하게 되었다. 그리스에서의 기하 연구는 탈레스(기원전 640~546 )에 의해 시작되었다. 탈레스는 상업적인 일로 이집트를 방문하였다가 지적인 추구를 위해 잠시 머물렀다. 탈레스의 지식은 곧 이집트의 승려를 능가하게 되었고 수직인 막대와 피라미드의 그림자를 이용하여 피라미드의 높이를 측정하여 이집트 왕을 깜짝 놀라게 하였다고 한다. 탈레스는 수직각의 상등, 이등변삼각형의 양 밑각의 상등, 지름에 의한 원의...
2다면체는 다각형을 면으로 이루어진 입체도형이다. 중학교 1학년에서 배우는 다면체로는 크게 정다면체, 각기둥, 각뿔, 각뿔대로 나뉜다. 우선 정다면체의 구조를 파악해보자. 정다면체에 사용된 각각의 정다각형, 한점에 모인 면의 개수, 면의 수, 모서리의 수, 꼭짓점의 개수를 정리하면 아래와 같다. 특히 모서리의 개수를 일일히 세다보면 굉장히 헷갈리다. 이를 면의 모양과 면의 수를 이용하여 쉽게 계산할 수도 있다. 정십이면체의 모서리 개수는 정오각형의 변의 수가 5개이고, 총 면의 수 12개 이고, 겹치는 모서리의 수 2개 이므로 5*12/2=30으로 총 모서리수의 수는 30개이다. 이와 같이 정이십면체의 모서리의 개수는 정이십면체의 꼭짓점의 개수는 정삼각형의 변의 수 3 총 면의 수 20 한 꼭짓점에 모이의 면의 개수 5 이므로 3*20/5=12이다. 반면 n각기둥, n각뿔대, n각뿔의 총모서리개수와 총 꼭짓점수, 총 면의 수를 정리하면 아래와 같다. 우리는 이렇게 총 8가지의 다면체의 모서리 개수와 면의 수, 꼭짓점수를 알아보았다. 그렇다면 이 세개의 항목을 이용하여 덧셈 뺄셈을 이용하여 상수를 만들 수 있다. 어떤 공식을 만들 수 있을까? 혹시 오일러 공식을 들어보았는가? (꼭짓점의 개수) + (면의 개수)-(모서리의 개수)=2 라는 것을 우리는 쉽게 확인 할 수 있다. 오일러는 꼭짓점의 개수는 v(vertex)라 하고, 모서리의 수...
24수학교육을 전공한 나에게도 현대수학이란 정말 어려운 과목이다. 정수론, 선형대수학에서 추상대수학, 위상수학, 실해석학을 거쳐 복소함수론, 미분기하학까지 배웠지만, 어느 것하나 쉬운게 없었다. 누군가 그래서 이 과목이 뭘 하는 과목인데? 라고 물어보면 나는 한마디로 뭐라 간단히 설명 할 수 없었다. 임용고사을 위한 문제 풀이에 익숙해진 나에게 이 과목의 의의와 어떤 특징을 가지고 있는지 정의내리기란 너무 어려웠다. 그래서 요즘 다시 현대수학 공부를 해보고싶다는 생각을 하고 있다. 시험을 떠나서 내가 공부해왔던 것은 무엇인가, 수학을 좋아하는 나에게 현재 수학의 정점은 어느것을 목표로 하고 있나라는 생각하고 싶었다. 보통 사람으로서, 전공수학지식이 있는 나로서도 이 책이 엄청 쉽게 다가오지는 않았다. 과연 이 책은 보통 사람을 위한 건가 싶을 정도로 어렵다. 그나마 나는 배경지식이 있고, 이 책을 읽고 이렇게 독후감상문을 쓰면서 개념에 대해 다시 한번 찾아보고, 정리하면서 읽으니까 겨우 다 읽었다. 이 책을 읽으면서 아 맞아, 이런걸 배웠지, 아, 이렇게도 설명을 하는구나. 라는 느낌이 들었다. 이것을 시작으로 조금씩 현대 수학에 빠져보려 한다. 이 책의 목차는 다음과 같다. 1장. 수학 일반 2장. 움직임 없는 운동 3장. 고급 연산으로 가는 지름길 4장. 집합의 언어 5장. 함수란 무엇인가? 6장. 추상대수학 7장. 대칭과 군 8장....
520. 수학을 보았던 사람, 오일러 1707년 스위스 바젤에서 18세기의 대수학자 오일러가 태어났다. 그는 수학의 모든 분야에서 수학 연구에 매진하였다. 기하학 분야에는 삼각형과 관련하여 오일러 점, 오일러 직선, 오일러 원, 삼각형의 외접선과 원에서 오일러 관계등이 있다. 수론의 경우, 오일러 기준, 오일러 지수, 오일러 항등식, 오일러 가설 등이 있다. 역학에는 오일러의 각이 있다. 논리학에는 오일러 벤 다이어그램이라는 것이 있다.그래프 이론 분야에는 오일러 관계라는 것이 있다. 대수학에에는 사차 방정식의 해법에 관한 오일러 방법이라는 것이 있다. 미분법에는 미분 방정식과 관련한 오일러 방법이 있다. 법선에 관한 오일러 방정식과 변분법에 관한 오일러 방정식, 다면체, 그래프, 면적, 미분 다양체 등이 있다 .다시 그래프에 오일러 관계과 삼각형에서의 오일러 관계가 있다.편도 함수에 관한 오일러 변환과 수열에 관한 오일러 변환도 있다. 오일러 장교 36인에 관한 문제, 완전수에 관한 오일러 정리, 이항공식의 조합에 관한 오일러 정리, 연결 그래프에 관한 오일러 정리, 위상수학의 기초가 된 다면체에 관한 오일러의 정리들이 있다. 오일러의 원과 오일러의 그래프, 2차 공간의 오일러 함수 혹은 베타 함수, 2차 공간의 오일러 함수 혹은 감마 함수, 만곡이 없는 그래프의 오일러 사슬, 조합론에서 오일러의 수, 복소수의 사인과 코탄젠트에서 오...
4프랙탈이란 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조로 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 자기 유사성 개념을 기하학적으로 푼 구조이다. 자연계의 리아스식 해안선, 동물혈관 분포형태, 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라는 모습, 산맥의 모습도 모두 프랙탈이며, 우주의 모든 것이 결국은 프랙탈 구조로 되어 있다. 이 용어는 프랑스 수학자 만델브로트 박사가 1975년 ‘쪼개다’라는 뜻을 가진 라틴어 ‘프랙투스(frāctus)’에서 따와 처음 만들었다. 만델브로트 박사는 저서 <the Nature of Geometry Fractal>에서 “영국의 해안선 길이가 얼마일까?”라는 물음을 던지고 있다. 리아스식 해안선에는 움푹 들어간 해안선 안에 굴곡진 해안선이 계속되었고, 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라졌고 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 되는 것이다. 그는 이처럼 같은 모양이 반복되는 구조를 ‘프랙탈’이라고 부르기 시작하였다. 0) 코흐 눈송이는 수학의 역사에서 가장 초기에 설명된 프랙탈물체이다. 이는 1906년에 스웨덴의 수학자 코흐가 구성한 곡선으로, 유한의 넓이를 둘러싸는 무한대 길이의 곡선의 예이다. 코흐 눈송이를 그리려면 1. 먼저 정삼각형을 그리고, 2. 그 다음 각 변을 3등분해서 한 변의 길이가 이 3등분의 길와 같은 정삼각형을 붙이고, 3. 2...
5피타고라스(B.C. 569～B.C. 475)는 정다각형으로 면을 채우는 테셀레이션을 평면 위에서가 아니라 구면 위에서 하여 규칙적인 다면체를 만들었는데 이것이 바로 정다면체이다. 정다면체의 진가는 100년 뒤 플라톤의 시대에 꽃을 피운다. 플라톤은 피타고라스에게 영감을 받아 기하학이 실체의 근원적인 본질을 나타내는 신성한 진리라고 여겼다. 기원전 387년 아테네에 세운 학교 아카데미아에서는 건물 현관 위에 '기하학학 모르는 사람을 출입을 금한다' 는 문구를 새길 정도로 수학은 아카데미아 교육과정의 중요 과목이었다. 아카데미아에서는 학생들의15년 과정 중 처음 10년 동안 수학을 배우도록 하였다. 아카데미아의 졸업생들 중에는 유클리드처럼 그리스 시대의 위대한 수학자들이 많이 포함되어 있다. 이탈리아의 화가 라파엘로가 그린 '아테나 학당' 그림에서 가운데에 있는 두 인물은 플라톤과 아리스토텔레스이다. 이 때 플라톤의 손가락은 위를 향하고 있다. 그의 뜻은 참으로 실재하는 것은 경험 세계의 바깥, 즉 플라톤적인 '형상(이데아)'의 세계에 존재한다는 것이라고 한다. 반면, 오른쪽에 있는 아리스토텔레스의 손은 허리 정도 높이에서 땅을 향해 있는데, 그것은 자신이 '실체' 라고 부른 진정한 존재자들이 이 세계에 우리와 함께 실재한다는 그의 생각을 나타낸 것이라 한다. 플라톤의 생각에 대한 예를 들어보자. 우리는 진정한 원을 그릴 수 있을까? 원...
