계속해서 물고기를 잡는다면 바다에 물고기가 없을 때까지 얼마나 걸릴까? 이 문제는 어업이 얼마나 이루어지고 있는가 혹은 물고기가 얼마나 있는가에 따라 달라진다. 바닷속 물고기 수를 p(t)라고 하자. 물고기는 계속 증가할 것이므로, 아래와 같이 식을 세울 수 있다. 하지만 물고기 수가 커진다면 사람들이 물고기를 잡는 수도 커지므로 일정한 증가율 a가 아니라 a-bp(t)로 증가한다. 즉, 물고기수가 많아지면 증가율은 낮아지게 된다. 처음에 있는 물고기 수를 p_0라 하면, 미분방정식을 풀면, 물고기 수는 결국 극한값인 a/b까지 증가한다. 게다가 물고기 수는 극한값의 절반인 a/2b가 될 때까지는 점점 빠른 비율로 증가하다가, 그 후에는 점점 느린 비율로 증가한다. 인구수의 성장, 전염병의 확진 등 개체군의 증가에 따른 연구에서는 증가율이 기하급수적으로 증가한다고 생각하였다. 그러나 현실적으로 환경이나 한정된 자원에서는 출생률의 감소 혹은 사망률의 증가로 개체군의 성장은 점차 감소하게 되어 증가폭은 둔화되고 결국 증가가 멈춘다. pierre francois verhulst가 1838년 개체군성장의 식을 아래와 같이 발명한다. y: 인구수, k : 자연성장률, L : 수용용량 이를 우리는 로지스틱 함수이라 한다. 이 방정식에서는 초기 조건에 상관없이 로지스틱 함수는 시간이 지남에 따라 수용용량 L에 수렴한다. 로지스틱 함수의 가장 기본...

1. e의 시작 역사적으로 e는 연속복리의 원리합계를 구하는 문제와 더불어 등장하였다. 로그가 발명되던 시기는 상업이 발달하고 금융거래가 활발히 이루어지던 때였으며, 복리계산법에 관심이 컸다. 18세기 초 johan bernouilli는 이와 관련하여 '매 순간마다 연리의 비례부분이 원금에 붙는다는 조건으로 돈을 빌려준 채권자는 무한히 많은 금액을 받을 수 있는 행운을 가지겠는가?'와 같은 문제를 제시하였다. 기대한 바와 같이 n이 증가할 때 s_n도 증가하지만 서서히 증가하면 이 값이 3을 넘을 것인지 3을 넘는다면 무한히 커질 것인지, 아니면 3미만에 머물것인가? 2. 무리수 e 수열 e_n은 단조증가하고 유계이므로 수렴한다. 따라서 아래 식이 성립한다. 이때 이 수열의 극한값이 존재하며 그 값이 무리수임을 증명하고 그 수를 e라고 나타낸 수학자는 바로 18세기 스위스의 대수학자 오일러였다. e가 무리수인 이유 3. 자연로그 고등학교 미적분에 무리수 e를 도입하는 가장 큰 이유는 지수함수의 미분과 적분, 로그함수의 미분과 적분에서 그 힘을 발휘하기 때문이다. 1) 미분에서 이용하는 극한값 2) 지수함수의 미분 반면 밑이 e가 아닌 경우 3) 로그함수의 미분 반면 밑이 e가 아닌 경우 4. e와 삼각함수의 관계 오일러는 지수함수를 다항식으로 적겠다는 직관을 발휘했다. 이 때 항을 무한대로 지니기 떄문에 엄격한 의미에서 다항식이 아니...

역사적으로 지수와 로그는 십진기수법의 성립으로부터 탄생된 것으로, (상용)로그는 십진기수법의 자릿값에서 10의 거듭제곱의 지수에 해당하는 것이다. 곧 아래와 같이 로그와 지수의 관계를 알 수 있다. 여기서 자릿값의 곱은 10의 거듭제곱의 지수의 합에 대응하므로 log ab= log a + log b이다. 그리고 로그 눈금으로 100은 2, 10은 1, 1은 0, 0.1은 -1, 0.01은 -2등과 같이 나타내어 지므로 다른 2~9까지 로그 눈금은 2는 0.3010, 3은 0.4771 ... 9는 0.9542로 나타내어진다. 인류가 개발한 계산법의 놀랄만한 힘은 세 가지 발명, 곧 인도-아라비아 기수법, 소수, 로가리즘에 기인한다. 로가리즘은 근대 물리학과 천문학이 발전하던 17세기 초반에 천문학과 측지학에서 큰 수의 복잡한 계산을 단순화하는 방법이 질실해짐에 따라 계산 도구로서 Napier에 의해 발명되었다. 그의 연구의 목적은 산술, 대수, 삼각법의 단순화와 체계화였다. 그의 저서 '경이로운 로그법칙의 기술'은 1614년에 발간됐다. 여기서 그는 로그의 본질을 설명하였으며 1도부터 90도까지 분 단위로 구한 사인값의 로그표를 제시하였다. 오늘날에는 컴퓨터의 발달로 인하여 계산도구로서의 로그는 그 의미가 없어졌지만 20세기 중반까지도 로그계산자는 과학과 공학 연구에 널리 이용되었다. kepler는 로그표를 이용하여 행성운동에 관한 k...

우리가 학교에서 배우는 함수는 식이 있고, 계산이 가능하다. 하지만 함수의 정의는 변수x가 주어짐에 따라 y값이 정해지는 대응관계로 자동판매기와 같은 예시로 배운다. 실제로 배우는 예들은 대수적이고, 식에 의존하지만, 왜 정의는 이렇듯 집합의 개념을 이용하게 된 것일까? 함수 개념의 발달을 알아보자. 1) 표를 통한 함수의 사용 '표'를 함수라 본다면 기원전 2000년 경에 고대 바빌로니아 사람들은 천문학 연구에서 사용하던 수표가 기록된 진흙판에서 그 기원을 찾을 수 있다. 그들은 연속적으로 변하는 천체의 위치의 주기성을 발견하고 경험적 자료를 바탕으로 천체의 운동을 나타내는 경로를 원운동 모델로 추정하여 표로 나타내었다. 이를 현대적으로 해석하면 천체의 운동을 삼각함수로 기술한 것이다. 그리스 기하에서는 정적인 도형의 성질에 관심을 두었기 때문에 동적인 변수나 함수관념이 함수관념이 발생하지 못하였다. 그런데 그리스 천문학자 Ptolemy(프톨레마이오스)의 책(알마게스트) 속에는 '현의 표'가 나온다. 그는 0도에서 90도까지 15분 간격으로 사인값은 표기한 표가 있고 사인법칙과 배각과 반각의 성질들와 일치하는 정리들도 다루고 있다. 이 책은 유클리드 원론과 나란히, 가장 오랫동안 사용된 과학 교과서라는 영예를 차지한다. 2) 기하학적 함수개념 Galilei, Cavalieri, Barrow에게서 이미 기하학적인 함수관념의 싹을 찾아...

1) 고대 그리스의 기하 메소포타미아 지방에서 출토되 진흙판에는 지름을 이용하여 원주가 6등분 된다는 것을 알고 있었다. 이집트의 아메스 파피루스에는 비록 정리는 없지만 문제를 통하여 정사각형, 직사각형, 이등변 삼각형 사다리꼴의 넓이가 다루어진다. 또한 원주율을 (16/9)^2=3.16...으로 계산하였다. 고대 이집트인들은 변의 길이의 비가 3:4:5인 직각삼각형의 성질을 알고 이를 건축에 이용하였다. 고대 이집트의 기하는 나일강의 잦은 범람으로 비롯된 토지 측량에 그 기원이 있으며 주로 넓이를 다루는 경험적인 실제기하였다. 기원전 7세기 경 고대 그리스와 이집트 사이에 성업적 교류는 물론 지적인 교류가 활발히 일어나 탈레스, 피타고라스, 플라톤 등 그리스의 학자들이 이집트를 방문하여 이집트 승려들로부터 가르침을 받았다. 그리스인들은 실제적인 필요성에 기인한 문제 해결 기법을 초월하여 사물의 이상적인 관계를 찾는 학문 연구에 심취하게 되었다. 그리스에서의 기하 연구는 탈레스(기원전 640~546 )에 의해 시작되었다. 탈레스는 상업적인 일로 이집트를 방문하였다가 지적인 추구를 위해 잠시 머물렀다. 탈레스의 지식은 곧 이집트의 승려를 능가하게 되었고 수직인 막대와 피라미드의 그림자를 이용하여 피라미드의 높이를 측정하여 이집트 왕을 깜짝 놀라게 하였다고 한다. 탈레스는 수직각의 상등, 이등변삼각형의 양 밑각의 상등, 지름에 의한 원의...

다면체는 다각형을 면으로 이루어진 입체도형이다. 중학교 1학년에서 배우는 다면체로는 크게 정다면체, 각기둥, 각뿔, 각뿔대로 나뉜다. 우선 정다면체의 구조를 파악해보자. 정다면체에 사용된 각각의 정다각형, 한점에 모인 면의 개수, 면의 수, 모서리의 수, 꼭짓점의 개수를 정리하면 아래와 같다. 특히 모서리의 개수를 일일히 세다보면 굉장히 헷갈리다. 이를 면의 모양과 면의 수를 이용하여 쉽게 계산할 수도 있다. 정십이면체의 모서리 개수는 정오각형의 변의 수가 5개이고, 총 면의 수 12개 이고, 겹치는 모서리의 수 2개 이므로 5*12/2=30으로 총 모서리수의 수는 30개이다. 이와 같이 정이십면체의 모서리의 개수는 정이십면체의 꼭짓점의 개수는 정삼각형의 변의 수 3 총 면의 수 20 한 꼭짓점에 모이의 면의 개수 5 이므로 3*20/5=12이다. 반면 n각기둥, n각뿔대, n각뿔의 총모서리개수와 총 꼭짓점수, 총 면의 수를 정리하면 아래와 같다. 우리는 이렇게 총 8가지의 다면체의 모서리 개수와 면의 수, 꼭짓점수를 알아보았다. 그렇다면 이 세개의 항목을 이용하여 덧셈 뺄셈을 이용하여 상수를 만들 수 있다. 어떤 공식을 만들 수 있을까? 혹시 오일러 공식을 들어보았는가? (꼭짓점의 개수) + (면의 개수)-(모서리의 개수)=2 라는 것을 우리는 쉽게 확인 할 수 있다. 오일러는 꼭짓점의 개수는 v(vertex)라 하고, 모서리의 수...

수학교육을 전공한 나에게도 현대수학이란 정말 어려운 과목이다. 정수론, 선형대수학에서 추상대수학, 위상수학, 실해석학을 거쳐 복소함수론, 미분기하학까지 배웠지만, 어느 것하나 쉬운게 없었다. 누군가 그래서 이 과목이 뭘 하는 과목인데? 라고 물어보면 나는 한마디로 뭐라 간단히 설명 할 수 없었다. 임용고사을 위한 문제 풀이에 익숙해진 나에게 이 과목의 의의와 어떤 특징을 가지고 있는지 정의내리기란 너무 어려웠다. 그래서 요즘 다시 현대수학 공부를 해보고싶다는 생각을 하고 있다. 시험을 떠나서 내가 공부해왔던 것은 무엇인가, 수학을 좋아하는 나에게 현재 수학의 정점은 어느것을 목표로 하고 있나라는 생각하고 싶었다. 보통 사람으로서, 전공수학지식이 있는 나로서도 이 책이 엄청 쉽게 다가오지는 않았다. 과연 이 책은 보통 사람을 위한 건가 싶을 정도로 어렵다. 그나마 나는 배경지식이 있고, 이 책을 읽고 이렇게 독후감상문을 쓰면서 개념에 대해 다시 한번 찾아보고, 정리하면서 읽으니까 겨우 다 읽었다. 이 책을 읽으면서 아 맞아, 이런걸 배웠지, 아, 이렇게도 설명을 하는구나. 라는 느낌이 들었다. 이것을 시작으로 조금씩 현대 수학에 빠져보려 한다. 이 책의 목차는 다음과 같다. 1장. 수학 일반 2장. 움직임 없는 운동 3장. 고급 연산으로 가는 지름길 4장. 집합의 언어 5장. 함수란 무엇인가? 6장. 추상대수학 7장. 대칭과 군 8장....

20. 수학을 보았던 사람, 오일러 1707년 스위스 바젤에서 18세기의 대수학자 오일러가 태어났다. 그는 수학의 모든 분야에서 수학 연구에 매진하였다. 기하학 분야에는 삼각형과 관련하여 오일러 점, 오일러 직선, 오일러 원, 삼각형의 외접선과 원에서 오일러 관계등이 있다. 수론의 경우, 오일러 기준, 오일러 지수, 오일러 항등식, 오일러 가설 등이 있다. 역학에는 오일러의 각이 있다. 논리학에는 오일러 벤 다이어그램이라는 것이 있다.그래프 이론 분야에는 오일러 관계라는 것이 있다. 대수학에에는 사차 방정식의 해법에 관한 오일러 방법이라는 것이 있다. 미분법에는 미분 방정식과 관련한 오일러 방법이 있다. 법선에 관한 오일러 방정식과 변분법에 관한 오일러 방정식, 다면체, 그래프, 면적, 미분 다양체 등이 있다 .다시 그래프에 오일러 관계과 삼각형에서의 오일러 관계가 있다.편도 함수에 관한 오일러 변환과 수열에 관한 오일러 변환도 있다. 오일러 장교 36인에 관한 문제, 완전수에 관한 오일러 정리, 이항공식의 조합에 관한 오일러 정리, 연결 그래프에 관한 오일러 정리, 위상수학의 기초가 된 다면체에 관한 오일러의 정리들이 있다. 오일러의 원과 오일러의 그래프, 2차 공간의 오일러 함수 혹은 베타 함수, 2차 공간의 오일러 함수 혹은 감마 함수, 만곡이 없는 그래프의 오일러 사슬, 조합론에서 오일러의 수, 복소수의 사인과 코탄젠트에서 오...

프랙탈이란 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조로 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 자기 유사성 개념을 기하학적으로 푼 구조이다. 자연계의 리아스식 해안선, 동물혈관 분포형태, 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라는 모습, 산맥의 모습도 모두 프랙탈이며, 우주의 모든 것이 결국은 프랙탈 구조로 되어 있다. 이 용어는 프랑스 수학자 만델브로트 박사가 1975년 ‘쪼개다’라는 뜻을 가진 라틴어 ‘프랙투스(frāctus)’에서 따와 처음 만들었다. 만델브로트 박사는 저서 <the Nature of Geometry Fractal>에서 “영국의 해안선 길이가 얼마일까?”라는 물음을 던지고 있다. 리아스식 해안선에는 움푹 들어간 해안선 안에 굴곡진 해안선이 계속되었고, 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라졌고 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 되는 것이다. 그는 이처럼 같은 모양이 반복되는 구조를 ‘프랙탈’이라고 부르기 시작하였다. 0) 코흐 눈송이는 수학의 역사에서 가장 초기에 설명된 프랙탈물체이다. 이는 1906년에 스웨덴의 수학자 코흐가 구성한 곡선으로, 유한의 넓이를 둘러싸는 무한대 길이의 곡선의 예이다. 코흐 눈송이를 그리려면 1. 먼저 정삼각형을 그리고, 2. 그 다음 각 변을 3등분해서 한 변의 길이가 이 3등분의 길와 같은 정삼각형을 붙이고, 3. 2...

체감하긴 쉽지 않지만 인간의 뇌는 잠을 자는 도중에도 계속 활동한다. 그 증거 중 하나가 바로 꿈이다. 일반적으로 수면 단계 중에서도 두뇌 활동이 가장 활발한 기간을 ‘렘(Rapid Eye Movement, REM)수면’이라고 한다. 렘수면(REM sleep)의 렘은 급속 안구 운동을 지칭하는 용어로, 수면 중에 몸은 움직이지 않고 눈꺼풀 아래에서 안구가 활발하게 움직이는 상태를 말한다. 대부분의 사람은 잠자리에 들면 50~70분 내로 렘수면 상태에 접어들고, 본격적으로 잠을 자면 논렘수면 상태로 들어간다. 그 후로는 약 90분 주기로 논렘수면과 렘수면이 반복된다. 이때 단계 4에서 기상을 하게 되면 기상 후에도 잠에 빠져 있는 상태가 되기 때문에 단계 1이나 렘 수면 상태에서 기상하는 것이 좋다. 따라서 수면주기에 맞춰 6시간, 7시간 반 등 수면 시간을 90분의 배수로 설정하는 것도 한 방법이다. 주기가 90분인 함수의 그래프는 위의 식처럼 삼각함수로 표현할 수 있다. 위의 식의 최댓값0, 최솟값-4, 주기1.5인 함수이다.

준비물 : 칼, 물티슈, 이면지(깨끗한 종이), 크리스피롤(소세지로 바꿔도 괜찮다.) 1) 종이에 크리스피롤을 김밥말듯이 말은다. 2) 칼로 종이에 싼 크리스피롤을 반으로 자른다. (이 때, 김밥 자르듯이가 아니라 사선으로 잘라야 한다.) 3) 크리스피롤은 먹고 나서, 잘린 종이를 펼치면 예쁜 주기 곡선이 나온다. 이 그래프는 대표적인 주기함수그래프인 사인함수 그래프이다. 그렇다면 이런 모양의 그래프가 나올까? 원통형을 빨간색 선을 따라 잘랐다. 위의 그림을 좀 더 보기 편하게 그려보았다. 이때 칼로 자른 각도를 알파(상수)로 두었다. 그렇다면 이것을 펼쳤을 때의 가로와 세로는 무엇을 의미하는가? 바로 그림처럼 원통의 밑면의 호의 길이(x)가 가로가 되고, 단면에서의 높이(y)가 세로가 된다. x와 y 사이의 관계를 구하기 위하여 아래처럼 보조 삼각형들을 그려보자. 결과적으로 y는 x에 대한 사인함수며, 주기는 원기둥의 밑면의 둘레가 된다. (사실 이는 매우 당연한데, 원기둥을 종이로 감싼 후 자르기 때문에 원기둥의 한번 돌릴때마다 반복되는 주기함수가 될 수 밖에 없다.)

로또 복권에 사용된 숫자는 모두 몇 개이며 어떻게 만들어질까? - 1에서 45까지의 숫자 중 소비자가 선택 또는 자동 발급된 6개의 서로 다른 숫자로 구성하여 만든다. 이 때, 로또 복권 1등 당첨은 어떻게 정해지는가? - 뽑는 6개의 숫자가 모두 일치하면 1등 당첨이다. 그렇다면 로또 복권의 1등 확률은 얼마인가? 아래는 수업에 사용한 학습지이다. 이것은 조합과 관련된 내용이다. 쉽게 접근하기 위하여 학생들과 로또게임을 하며 확률을 구하였다. 랜덤뽑기에서 결과누적표시를 이용하면 원하는 조작을 할 수 있었다. http://classtrip.mireene.com/everyselection_random.php 모두의 뽑기대장 랜덤뽑기 뽑기 결과: *뽑기결과 클릭시 큰 화면 보이기 + 글자 사운드(영어 Only) 글자 사운드재생 결과 누적표시 중복허용 효과음 입력내용 복사 자료 초기화 불러오기 저장하기 total: 0 개 일괄 입력가능 ,(쉼표)로 구분 Add 뽑을 개수 추첨시작 대용량 자료 엑셀 입력 양식 대용량 자료 엑셀 업로드 * 접속자 통계 : [오늘: 927] [어제: 1,588] [최대:6,324] [전체:896,564] classtrip.mireene.com 1) 1에서부터 26까지의 26개 숫자에서 하나의 숫자를 맞추면 당첨된다. 당첨확률은 얼마인가? 2) 1에서부터 26까지의 26개 숫자에서 두 개의 숫자를 맞추면 당첨된다...

삼각형의 무게중심을 알지오매스로 함께 찾고, 그 성질도 확인하는 시간을 가졌다. 각의 이등분선, 변의 수직이등분선, 중선의 차이점을 눈으로 보여주니, 외심과 내심, 무게중심이 서로 다르다는 것을 확인할 수 있다. 하지만 정삼각형의 내심, 외심, 무게중심은 일치하게 되는데, 그 이유를 생각해 보는 과제를 주었다.

항상 닮은 도형에 대하여 16칸을 작성하고, 두 줄을 완성하며 승리인 빙고를 하였다. 다들 하나 두개 차이이기 때문에 흥미롭고 간단하게 게임할 수 있다. 중간고사에서 아래 문제를 냈었다. 색칠된 두 반원의 넓이의 합을 구하시오. 이 문제는 피타고라스 정리와 관련된 문제로 풀 수도 있지만, 닮음을 활용하여 풀 수도 있다. 색칠된 반원의 넓이를 식으로 나타내서 풀어보자. 이제 이 문제를 닮음을 이용하여 풀어보자. 반원은 항상 닮은 도형이므로 닮음비는 아래와 같다. 반원의 넓이비는 닮음비의 제곱에 비례하므로, 피타고라스정리와 함께 이용하여 두 반원의 넓이 합을 구해보자. 색칠된 반원의 넓이의 합은 변 BC를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같게된다. 따라서 8파이이다. 이와 같은 원리로 직각삼각형의 둘레에 항상 닮은 평면도형으로 둘러싸여 있다면, 빗변을 한 변으로 하는 닮은 도형의 넓이는 다른 두 변을 한 변으로 하는 닮은 도형의 넓이의 합과 같다.

평행사변형의 성질과 조건, 직사각형의 성질과 조건, 마름모의 성질과 조건을 배운상태인 학생들과 함께 알지오매스를 이용하여 다양한 사각형을 작도해보고, 그 관계를 관찰해보는 활동을 하였다. (실제 수업은 1차시로 진행하였으나, 양을 고려할 때 평행사변형의 조건 1차시, 직사각형, 마름모의 조건 1차시로 진행함이 더 좋을 듯 하다.) 평행사변형의 조건에는 다섯가지가 있다. 1) 두 쌍의 대변이 평행하다. 2) 두 쌍의 대각의 크기가 같다. 3) 두 쌍의 대변의 길이가 같다. 4) 대각선의 서로 다른것을 이등분한다. 5) 한쌍의 대변의 길이가 같고, 평행하다. 1)의 작도가 가장 쉽지만, 학생들과 함께 5)의 작도를 했다. 이 경우 같은 길이를 옮겨야 하므로 컴퍼스가 필요한 데, 1학년에 알지오매스를 접한 학생들이 아니기 때문에 컴퍼스 기능을 이용한 작도를 어려워했다. 평행사변형을 함께 작도한 다음, 평행사변형을 어떻게 움직이면 직사각형이나 마름모를 만들 수 있을 지 생각해 보았다. 평행사변형의 한 각만 90도로 변화시키더라도 평행사변형을 유지하면서 변화하기 때문에 직사각형으로 변할 수 있다. 또한 대각선의 길이를 조정하여 직사각형을 만들 수 있다. 한편 평행사변형의 이웃한 변의 길이를 같게끔 만들면 평행사변형을 유지하면서 변화하기 때문에 마름모로 변할 수 있다. 또한 대각선이 서로 수직이 되도록 조정하여 마름모를 만들 수 있다. 이제 평...

알지오매스로 여러 가지 사각형 성질을 발견하는 활동을 하였다. '모둠' 속 '과제'를 통하여 학생들이 여러가지 사각형들 속 변의 길이나, 각의 크기, 대각선의 길이 등을 측정하며 특징을 정리하는 활동을 하였다. 알지오매스가 익숙해지니 측정활동등을 아주 쉽게 했다. 평행사변형을 예시로 보여주고, 마름모, 직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴의 특징을 차례로 과제를 통하여 스스로 측정해보고, 특징을 정리해보았다.

학생들이 디벗기기가 있으니까 통계 프로그램을 접해도 좋을 듯 했다. 중학-이지통계 (ebsmath.co.kr) 중학-이지통계 시작하기 자료 입력 줄기와 잎 그림 도수분포표 통계 그래프 처음부터 다시하기 새로운 통계 불러오기 자료 입력 입력도구 통곗값 설정 저장 No. 자료 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 합계 www.ebsmath.co.kr 반마다 예시를 든 자료가 달랐는데, 발사이즈나 하루에 자는 시간을 자료수집을 하였다. 그리고 나서 차례로 줄기와 잎그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형을 안내하였다. 이 후 학생들에게는 자유주제로 조사하게끔 하였다. 다만 중1 통계에서는 변량을 다루기 때문에 숫자로 답할 수 있는 것을 조사하게끔 하였다. 내 통계 수업에서는 통계자료의 결론이다. 앞서 하루에 자는 시간을 학생들에게 조사하였다면 '대부분 6~8시간을 자는데, 2~3시간을 자는 학생들이 가끔 있다. 이 학생들은 주로 게임이나 휴대폰 사용시간때문에 그러하므로 핸드폰 사용시간설정 혹은 컴퓨터 사용시간 설정등이 필요하다.' 등의 결론을 내릴 수 있다. 학생들의 실습 결과물을 보니 태어난 달, 용돈, 휴대폰 사용시간 ...

그냥 컴퍼스 사용도 어려운데 알지오매스 컴퍼스는 원으로 나오기 때문에 중학교의 작도과정을 알지오매스로 수업하기는 어렵다고 생각한다. 그래도 도형을 알지오매스로 다뤄보는 것은 의미가 있다고 생각하여 수업을 진행하였다. 학생들이 각도를 측정할 때 힘들어 하였는데, 디벗에 마우스를 도입하면 더 좋을 듯 하다. 알지오매스의 최대 장점을 수직이등분선과 각의 이등분선을 따로 작도하지 않고 그릴 수 있다는 점이 아닐까? 다음 차시에는 삼각형의 외심, 내심을 찾아보는 활동을 할 예정이다.

https://www.algeomath.kr/algeo/main.do Algeomath 안녕하세요, 알지오매스(Algeomath) 입니다. www.algeomath.kr 디벗이 도입된 후, 1학년 수업을 하면서 그래프 수업을 알지오매스로 하겠다는 목표를 가졌다. 하지만 10-11월달에 디벗이 배부되었기 때문에 현실적으로 불가능 했고, 대신 모든 진도가 끝난 후, 디벗을 중점적으로 사용하여 수업을 진행하였다. (당시 수업을 진행할 때는 과학창의재단 통합로그인을 통하여 회원가입 되었기 때문에 미성년자인 아이들을 가입시키고, 모둠으로 진행하는 것이 불가능했다. 하지만 얼마전부터는 공지사항을 보니 지금은 이메일 인증을 통한 통합회원 가입 시 제한없이 모든 이메일이 사용가능하다 하니, 학교 아이디를 통하여 아이들과 모둠수업을 할 수 있을 거 같다. 이러한 불편사항이 빨리 개선되어서 다행이다. 하지만 올해는 그렇게 하지 못해서 너무 아쉽다.) 내가 앞에서 수업을 진행하고, 아이들이 그것을 따라하는 방식으로 진행했다. 아이들이 곧잘 따라했다. (아이들이 터치스크린이라 하더라도 화면의 점을 선택할 때나 움직일 때 너무 불편했다. 이 수업은 아이들에게 마우스를 제공해서 하는 것이 훨씬 좋을 듯 하다.) 중2, 중3에서 배우는 일차함수, 이차함수 그래프도 그려보았다. 학생들이 수월하게 따라오는 수업이었다. 디벗수업을 한 후 느낀점! 1) 마우스 배부를...

정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체이다. 정n각형의 한 내각의 크기가 이고, 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 m이라고 하자. 정다면체를 만들기 위해서는 각 꼭짓점에 모인 면들의 내각들의 합이 360도를 넘어서는 안되므로 부등식을 세울 수 있다. 부등식 : 그리고 이를 만족하는 순서쌍 (n,m)를 구하면 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) 이다. 이는 각각 어떤 정다면체를 의미한다. 따라서 정다면체는 이 5개 뿐이다.

다음 표를 채우고, 입체도형의 성질을 찾아보세요! n각기둥 n각뿔 n각뿔대 면의 개수 모서리의 개수 꼭짓점의 개수 (면의 개수) +(꼭짓점의 개수) -(모서리의 개수) 다면체에서 (면의 개수)+(꼭짓점의 개수)-(모서리의 개수)는 항상 로 일정합니다. 이를 오일러의 법칙이라고 합니다. 아이들에게 각뿔, 각기둥, 각뿔대를 넘어 모든 다면체에서 2로 일정하다고 말해주고, 오일러의 법칙에 대해 검색해 보라고 하였다.

갈릴레오의 저서 중 <두 가지 새로운 과학>에는 아리스토텔레스가 제시한 바퀴역설문제가 나타나있다. 위의 그림과 같이 중심을 O로 하는 반지름이 다른 두 개의 바퀴를 생각하자. 중심이 같은 원을 동심원이라고 하는데, 이 동심원의 바퀴를 평면상에서 1회전 시키면 O, A, B가 각각 O', C, D의 위치로 굴러간다. 여기서 작은 바퀴와 큰 바퀴는 모두 정확하게 1회전했다. 아래 그림에서 선분 AC의 길이는 작은 바퀴의 둘레의 길이이고, BD의 길이는 큰 바퀴의 둘레의 길이다. 이 그림에서 보는 것과 같이 AC=BD 이므로 큰 바퀴와 작은 바퀴의 둘레의 길이는 같아 보인다. 그렇다면 바퀴는 반지름의 길이에 관계없이 항상 같은 거리를 움직일까? 과연 어디가 잘못된 것일까? 이는 큰 원과 작은 원의 둘레의 길이는 다르지만, 두 원 위의 점들의 집합 사이에는 일대일 대응이 존재한다는 사실에 일어난 착각이다. 그러나 아래 그림처럼 모든 점이 일대일 대응이 된다고 해서, 원의 둘레 길이와 수직선의 길이는 다르다. 즉 두원의 모든 점들이 일대일 대응이 되지만, 두 곡선의 길이가 모두 동일해야 하는 것은 아니다. 칸토어는 모든 선분을 이루는 모든 점들의 수의 카디널리티는 모두 동일하다는 것은 증명했다. 예를 들어 0부터 1을 잇는 한 선분의 모든 점을 한 무한한 선의 모든 점과 일대일대응 시키는 것도 가능하다. 이 문제를 해결하기 위하여 갈릴레오는 ...

투명한 물컵 속에 빨대를 놓았을 때, 꺾여 보인다. 수영장에 가보면 물 속에 있는 내 다리가 그렇게 짧아보일 수 없다. 이것은 바로 빛의 굴절현상때문이다. 빛이 공기에서 물의 경계를 통과하면서 경로를 바꾸는 현상, 즉 빛이 서로 다른 물질 둘의 경계를 통과하면서 경로의 방향을 바꾸는 현상인 빛의 굴절 현상은 일상생활에서도 쉽게 관찰할 수 있다. 이 굴절현상에 대하여 설명하는 법칙이 바로 스넬의 법칙이다. p는 공기에서 물로 빛이 진행할 때의 빛의 경로이다. 굴절 법칙에는 굴절률 n, 빛의 속도 v, 입사각 등이 서로 관련되어 있다. 서로 다른 두 매질이 맞닿아 있을 때 매질을 통과하는 빛의 경로는 매질마다 광속이 다르므로 휘게 되는 것이다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같다. 빛의 굴절현상을 수학적으로 연구한 사람은 대표적으로 철학자 데카르트와 페르마가 있다. 철학자 데카르트의 저서 '방법서설'의 부록으로 '광학'이 있었다. 빛의 반사의 문제는 예전부터 알려져 있었고, 빛이 반사할 때 같은 각도로 꺾인다는 것도 알려져 있었다. 문제는 빛이 공기에서 물 같은 다른 매질로 들어갈 때 나타나는 현상인 굴절이었는데, 굴절 현상에 어떤 종류의 수학적 규칙성이 있다는 것은 고대부터 알려져 있었지만, 그 규칙성이 무엇인가는 발견되지 않은 채로 남아 있었다. 데카르트는 '굴절광학'에서 이 굴절의 법칙(우리에게 통상 스넬의 법칙 Snell's law...

데카르트(1596~1650)의 대표저서 [방법서설]에는 부록으로 [굴절광학], [기상학], [기하학]이 실려있다. 그의 수학적 재능이 최고조로 발휘된 책 [기하학]에서 데카르트는 대수학과 기하학을 하나로 통합했다는 점에서 의의가 있다. 기하학은 3권으로 이루어져 있으며, 1권에서는 직선과 원으로만 구성할 수 있는 곡선에 대한 문제들을 다루고, 2권에서는 곡선의 본질을, 3권에서는 입체와 초입체문제들의 구성에 대하여 다룬다. 일반적으로 데카르트는 해석기하학의 창안 과정을 포함하고 있다고 알려져 있다. 하지만 일반적으로 알려진 것과는 다르게 [기하학]에는 카테시안 좌표도 사용하지 않았으며 직선이나 원 또는 원추곡선에 대한 해석기하학적 접근이 이루어지고 있는 것도 아니다. 다만 특정한 규칙에 따라 기술적인 도구를 써서 그려나감으로써 구성가능한 곡선을 다루고 있을 뿐이다. 게다가 해석기하학이란 용어도 전혀 사용하고 있지 않다. 단지 오래된 문제를 기하학적 작도를 할 수 있도록 새로운 방법을 찾을 뿐인데, 이 방법이 혁명적이었다. (해석기하학을 체계화시킨 수학자로는 얀 더 비트(1625~1665)를 들 수 있다. 그가 남긴 <곡선 원론>에서는 원추곡선을 방정식으로부터 구성하는 내용이 실려있다. 반면 페르마 또한 해석기하학에 관하여 많은 업적을 남겼지만 1670년대까지는 발표된 것이 없었다. 판 슈텐의 데카르트 주해서는 윌리스와 뉴턴에게도 지대...

큐브는 6면의 정육면체 모양이면 6면의 색이 모두 다르다. 보통 흰색과 노란색이 마주보고 있으며, 흰색을 윗면으로 오른쪽으로 빨-파-주- 초-빨의 색깔로 옆면이 이루어져 있다. 큐브를 맞추는 공식은 초급자, 중급자, 고급자용으로 나뉘는데, 이 블로그는 초급자용을 다루려고 한다. 0. 기본자세 1) 오른손 엄지를 앞면의 9개의 정사각형 중 밑의 4개의 정사각형 가운데에 두고, 중지를 뒷면 그 자리에 대고 두 손가락으로 잡는다. 검지는 움직여야 되는 손이므로 자유롭게 두고, 큐브를 돌리때는 검지를 이용하여 돌린다. 공식을 오른손을 많이 쓰는 편이다. 1) 왼손 엄지를 앞면의 9개의 정사각형 중 밑의 4개의 정사각형 가운데에 두고, 중지를 뒷면 그 자리에 대고 두 손가락으로 잡는다. 검지는 움직여야 되는 손이므로 자유롭게 두고, 큐브를 돌리때는 검지를 이용하여 돌린다. 공식은 오른손으로 많이 쓰므로 기본으로 왼손으로 큐브를 잡으면 오른손으로 더 많은 동작들을 할 수 있다. 단계는 7단계이다. 1. 1단계 - 흰색 십자가 맞추기 1) 큐브의 한 면은 9개의 정사각형으로 이루어져 있고, 그 중 한 가운데의 정사각형이 그 면의 색깔을 결정한다. ( 그 이유는 이 한 가운데는 항상 고정인 색깔로 바꿀 수 없는 부분이다. ) 따라서 가장 먼저 흰색 십자가를 맞추기 위하여 한 가운데의 정사각형이 있는 면을 바라본다. 2) 정사각형의 4모서리에는 8개...

수학사랑에서 구매한 '요시모토 큐브 만들기' 키트를 사용하여 요시모토큐브를 만들어 보았다. 우선 사각뿔 3개로 사각기둥을 만들어 보고, 그 조각을 이용하여 요시모토 큐브의 한 유닛을 만들어 보았다. 이 모양은 키트의 한 조각과 같은데, 색깔별로 8개씩 두세트 총 16개의 유닛이 필요하다. 16개의 유닛이 준비되면 설명서대로 이어 붙여나가면 되는데, 아래와 같이 스티커를 붙인 부분에 테이프를 붙여가면 된다. 뒷면도 꼼꼼히 붙여야 안떨어진다. 이렇게 두세트를 만들어 조합하면 된다.

소마큐브 교사용.hwp 내 컴퓨터 저장 네이버 클라우드 저장 올 초 소마큐브를 지원받아서 교수학습자료를 만들어 보았다. 실제로 영재수업이나 수업에 적용하려면 조금더 수정해야겠지만, 수학런닝맨을 통해 소마큐브로 정육면체를 만들게 했을 때, 아이들이 재미있게 하는 모습이 인상깊어서 올해 2학기에 수업을 잡아 해보고 싶다.

6개의 면에 네 가지 색(초록 , 빨강, 보라, 노랑) 중 하나가 칠해진 정육면체 4개가 있다. 이 퍼즐의 목표는 네 정육면체들을 한 줄로 늘어 놓아 직육면체를 만드는데, 직육면체의 각 옆면의 색깔이 서로 다른 정육면체 면 4개로 이루어지게 하는 것이다. 이는 언뜻보면 쉬운 퍼즐같지만, 쉽게 풀리지 않은 재미있는 퍼즐이다. 몇 번 시도하다 보면 이 퍼즐은 결코 몇번의 시도만으로는 풀리지 않으리라 예상할 수 있다. 사실 이것을 실제로 하기에는 경우의 수가 엄청나다. 각 정육면체는 24가지( 윗면의 색깔 정하면 6가지, 아랫면의 색깔이 정해져서 1가지, 옆면의 색깔 정해지는 방법 4가지) 방향이 있다. 따라서 4개의 서로 다른 정육면체를 늘어놓아 직육면체를 만드는 방법은 4! * 24^4 이다. 그러나 실제로 이 퍼즐의 목표는 옆면의 색깔이 다르기만 하면 되므로, 4개의 정육면체의 순서를 늘어 놓는 것은 중요하지 않기 때문에 24^4이다. 그리고 만들어진 직육면체의 앞면을 어느 면으로도 정할 수 있으므로 4를 나눈다. 또한 직육면체의 위, 아랫면을 서로 바꿀 수 있으므로 2를 나눈다. 따라서 이 큐브 게임의 경우의 수는 총 서로 다른 방법은 4만 1472가지이다. 결론적으로 말하자면 이 중 큐브게임의 답은 2개 밖에 되지 않는다. 우선 퍼즐을 시도해보면서 발견할 수 있는 규칙을 살펴보자. 1. 모든 색은 한 옆면에 한번씩 옆면에 총 4번...

6개의 면에 네 가지 색(초록 , 빨강, 보라, 노랑) 중 하나가 칠해진 정육면체 4개가 있다. 이 퍼즐의 목표는 네 정육면체들을 한 줄로 늘어 놓아 직육면체를 만드는데, 직육면체의 각 옆면의 색깔이 서로 다른 정육면체 면 4개로 이루어지게 하는 것이다. 이는 언뜻보면 쉬운 퍼즐같지만, 쉽게 풀리지 않은 재미있는 퍼즐이다. 몇 번 시도하다 보면 이 퍼즐은 결코 몇번의 시도만으로는 풀리지 않으리라 예상할 수 있다. 사실 이것을 실제로 하기에는 경우의 수가 엄청나다. 각 정육면체는 24가지( 윗면의 색깔 정하면 6가지, 아랫면의 색깔이 정해져서 1가지, 옆면의 색깔 정해지는 방법 4가지) 방향이 있다. 따라서 4개의 서로 다른 정육면체를 늘어놓아 직육면체를 만드는 방법은 4! * 24^4 이다. 그러나 실제로 이 퍼즐의 목표는 옆면의 색깔이 다르기만 하면 되므로, 4개의 정육면체의 순서를 늘어 놓는 것은 중요하지 않기 때문에 24^4이다. 그리고 만들어진 직육면체의 앞면을 어느 면으로도 정할 수 있으므로 4를 나눈다. 또한 직육면체의 위, 아랫면을 서로 바꿀 수 있으므로 2를 나눈다. 따라서 이 큐브 게임의 경우의 수는 총 서로 다른 방법은 4만 1472가지이다. 결론적으로 말하자면 이 중 큐브게임의 답은 2개 밖에 되지 않는다. 우선 퍼즐을 시도해보면서 발견할 수 있는 규칙을 살펴보자. 1. 모든 색은 한 옆면에 한번씩 옆면에 총 4번...

정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체이다. 정n각형의 한 내각의 크기가 이고, 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 m이라고 하자. 정다면체를 만들기 위해서는 각 꼭짓점에 모인 면들의 내각들의 합이 360도를 넘어서는 안되므로 부등식을 세울 수 있다. 부등식 : 그리고 이를 만족하는 순서쌍 (n,m)를 구하면 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) 이다. 이는 각각 어떤 정다면체를 의미한다. 따라서 정다면체는 이 5개 뿐이다.

다음 표를 채우고, 입체도형의 성질을 찾아보세요! n각기둥 n각뿔 n각뿔대 면의 개수 모서리의 개수 꼭짓점의 개수 (면의 개수) +(꼭짓점의 개수) -(모서리의 개수) 다면체에서 (면의 개수)+(꼭짓점의 개수)-(모서리의 개수)는 항상 로 일정합니다. 이를 오일러의 법칙이라고 합니다. 아이들에게 각뿔, 각기둥, 각뿔대를 넘어 모든 다면체에서 2로 일정하다고 말해주고, 오일러의 법칙에 대해 검색해 보라고 하였다.

지구가 완전한 구라고 할 때, 지구의 대원을 두를 수 있는 긴 밧줄이 있다고 하자. 이 밧줄보다 10m 더 긴 밧줄로 지구와 일정한 간격으로 띄워 돌려보자. 다음 보기 중 지구와 밧줄 사이의 틈 사이로 지나갈 수 있는 것 중 가장 큰 것은 무엇일까? ① 개미 ② 야구공 ③ 강아지 ④ 어린이 ⑤ 기린 이 문제는 대부분의 아이들이 풀지 못했다. 아마 아주 작은 틈이 생길테니까 개미지 않냐고 말하면서 지구의 반지름이 주어지지 않았는데, 어떻게 풀 수 있느냐 반문한다. 그 중 오직 한 아이만이 풀이를 가져왔다. 지구의 반지름의 길이를 r이라 하자. 지구의 둘레를 감싸는 밧줄의 길이는 2파이r 이다. 밧줄을 10만큼 더 늘이면 밧줄의 길이는 2파이r+10이 된다. 지구의 밧줄사이의 틈을 구하기 위하여 밧줄이 만든 원의 반지름을 구하면 r +10/2파이 가 된다. 따라서 반지름의 지구보다 10/2파이 만큼 늘어나게 되는 것이다. 파이는 3.14정도이므로 10/2파이는 1.6m정도가 된다. 보기 중 1.6m보다 작은 것 중 가장 큰 것은 어린이이다.

이 문제는 교과서에 나온 문제인데 다양한 방법으로 풀이하는 것이 좋을 것 같아 도전문제로 학생들에게 냈다. 과연 기대대로 굉장히 다양한 답을 가지고 왔다. 아래 그림과 같이 육각형의 각 꼭짓점에서 대각선을 2개씩 그었을 때, 색칠한 각의 크기의 합을 구하시오. 답안1) 육각형 내각의 합에서 삼각형 2개의 내각의 합을 빼면 360도가 나온다. 답안2) 삼각형의 두 내각의 합은 다른 각의 외각의 크기와 같으므로 6개의 삼각형 안의 각의 합은 내부의 육각형의 외각의 합과 같으므로 360도이다. 답안3) 그림과 같이 내부의 육각형의 내각과 맞꼭지각이 삼각형 내부의 한 각이므로 삼각형 6개의 내부의 합에서 육각형 내각의 합을 빼면 360도가 나온다. 답안4) 그림과 같이 색칠된 각 4개씩 포함하는 세개의 삼각형에서 빨간색의 삼각형 1개의 내각의 합을 빼면 되므로 360도가 나온다. 답안 5) 삼각형의 외각은 다른 두 내각의 합과 같다는 성질을 이용하여 파란색 각의 합이 빨간색 각의 합이다. 이를 이용하여 검은색 각들의 합은 아래의 과정의 의하여 360도이다.

아래와 같은 그림에서 각A + 각B + 각C + 각D + 각E 의 값을 구하면? 내가 생각한 답은 아래와 같이 삼각형의 외각을 이용한 답이었는데, 생각보다 아이들이 다양한 답을 주어서 너무 뿌듯했다. 답안1) 답안2) 어떤 학생은 선분 DE와 선분 BD가 평행하므로 엇각을 이용해서 풀었는데, 평행이라는 조건을 사용할 수없다. 아래는 보조선 DE를 그어서 바르게 풀이한 풀이 답안3) 답안4) 이 답안4)를 이용하면 별다각형의 내각의 합을 구할 수 있다. 별n각형(단, 한붓그리기로 가능해야 하므로 n은 홀수)의 내각의 합은 180*(n-2)=180*n-2*(별n각형의 내각의 합) 이므로 (별n각형의 내각의 합)=180이다.

tv n프로그램인 문제적 남자의 문제 하나를 소개하겠다. 종이상자에 동전을 넣은 방법은 간단히 말해서 직사각형에 원을 배치하는 방법을 의미한다. 직사각형에 원을 넣는 방법은 동전의 크기, 가로와 세로의 길이, 배열방법 등에 영향을 받는다. 배열방법에는 위 그림처럼 나란히 배열하는 방법도 있지만 첫번째 줄 5개, 두번째 중 4개, 세번째 줄 5개 등으로 교차하여 배열할 수 있다. 실제로 위 상황에서는 교차하여 배열하는 방법을 요구하고 있다. 이 때 동전 세 개의 모양에서 정삼각형의 나오며, 정삼각형의 높이를 이용하거나, 직각삼각형의 높이를 구하는 방법을 통하여 총 동전의 세로길이를 구할 수 있다. 이 방법을 이제 평면에서 공간으로, 2차원에서 3차원으로 확장시켜 보자. 커다란 상자에 가능한 많은 골프공을 채우는 것을 목표라고 생각해보자. 다 채웠으면 뚜껑을 단단히 닫는다. 공으로 채워진 이 상자의 밀도는 공들 하나한가 차지하는 부피와 상자의 부피에 대한 비율을 바탕으로 결정된다. 공을 가능한 많이 상자에 채워 넣으려면 밀도를 가장 높일 수 있는 배치를 찾아내야 한다. 이 문제는 오렌지나 사과를 팔아본 과일장수라면 누구도 경험적으로 대답을 할 것이다. 하지만 수학자라면 정색하며 고민을 할 것이다. 독일의 천재 수학자이자 천문학자인 요하네스 케플러(1571~1630)도 두 손을 들었던 문제이기 때문이다. 1590년대 말, 영국의 항해가인 ...

원뿔형의 갓을 가진 전등을 벽에 비춰보자. 벽과 전등의 빛이 직각을 이루었을 때, 발산된 빛줄기는 '원'을 이룬다. 전등을 기울이면 불빛으로 벽에 생긴 점이 길어지면서 원이 '타원'으로 바뀐다. 계속 기울이다 보면 타원이 점점 길어지다 타원이 조각난 후, 벽에 생긴 점이 열린 상태로 한없이 퍼져나가는 '포물선'으로 바뀐다. 포물선이 점점 넓게 벌어지다가 순간 반대쪽 벽에 제 2의 점이 생긴다. 바로 '쌍곡선'이다. 이 네개의 도형을 '원뿔곡선'이라 하며, 그리스 수학자인 메나이크모스가 발견한 후, 2세기 지나 아폴로니우스가 이 학문을 발전시켜 '원뿔곡선론'이라는 책을 편찬했다. 이러한 원뿔곡선은 이차곡선이라 불리기도 한다. 후에 이 곡선들을 식으로 나타냈을 때 모두 이차식에 관련하여 나오기 때문이다. 우리가 원뿔 곡선 중 원(Circle)을 제외한 나머지 원뿔 곡선을 일컫는 용어인 타원 (Ellipse, '부족하다'는 뜻의 그리스어), 포물선 (Parabola, '일치한다'는 뜻의 그리스어), 쌍곡선 (hyperbola, '초과한다'는 뜻의 그리스어)을 바로 아폴로니우스가 만들었다. 아폴로니우스의 원뿔 곡선을 설명하면 아래와 같다. 원 : 원뿔의 바닥면과 평행하게 자를 때 나타나는 곡선 타원 : 원뿔을 비스듬히 자를 때 나타나는 곡선. 단 자르는 각도는 원뿔의 빗면의 각도보다는 작다. 포물선 : 원뿔의 빗면에 평행하도록 자를 때 나타...

미적분을 공부하면서 미적분이 실생활 어디에 사용될까라는 고민을 하게 된다. 이 책은 일과 속에서 미적분이 어디에 사용되는지 설명한다. 미적분을 공부한 학생들이 읽기에 좋은 책이고, 미분방정식에 대한 기초가 있다면 3장부터는 이해가 수월할 것이다. 목차 1장 일어나서 함수의 냄새를 맡아보자! (함수는 수학의 구성 요소로 어디에서나 찾아볼 수 있다.) 삼각 함수가 여러분의 아침과 무슨 상관이 있을까? 어떻게 유리 함수가 토머스 에디슨을 좌절하게 했을까? 어떻게 전자기 유도가 세상에 동력을 제공할까? 공기 중에 숨어 있는 로그 삼각 함수의 주파수 갈릴레오의 포물선 -선형함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 2장 뉴턴의 집에서 아침 식사를 하자 (미분은 변화를 설명하기 때문에 변화가 있는 모든 곳에서 도함수를 찾을 수 있다.) CNBC 방식으로 알아보는 미적분 커피에도 극한이 있다 하루에 종합 비타민 하나면 건강 걱정 끝 도함수는 변화를 설명한다 - 기울기와 변화율, 극한과 도함수, 함수의 연속성 3장 도함수로 이루어진 모든 것 (문제를 수학화하면 더 잘 이해된다.) 어떻게 비 오는 날 살아남을 수 있는 걸까? 정치에도 도함수가 있는 걸까 아니면 도함수에 정치가 포함된 걸까? 실업률을 통해 그래프의 곡률을 배워보자 폭증하는 미국의 인구 도함수를 느껴보자 시간 여행의 미적분 -2계도 함수, 선형 근사법 4장 미적분으로 연결된 모든 ...

카르다노가 1545년에 출판한 아르스 마그나는 삼차방정식의 풀이법을 최초로 공개한 책이며, 아르스 마그나의 제 30장에서 카르다노는 오늘날 할선법(secant method)라 부르는 방법을 제시하였다. 할선법은 방정식 f(x)=0의 해를 구하기 위하여 두 점을 지나는 할선이 x축과 만나는 교점을 구하는 방식이다. 예를 들어 아래의 4차방정식을 푼다고 해보자. x에 대한 4차 방정식을 예로 들어보자. 이 방정식은 인수분해 등이 되지 않으므로 쉽게 해를 구할 수 없다. 반면 함수로 바꾸어 x축 과의 교점을 찾아보며 해를 구할 수 있다. 아래는 함수의 그래프이다. f(2)=-60, f(3)=62이므로 해는 2와 3 사이에 존재함을 알 수 있다. (사잇값 정리) (2,f(2))와 (3,f(3))을 지나는 할선의 방정식을 구해보자. 이 때, x축과의 교점은 식을 바꾸어 아래처럼 구할 수 있다. 이처럼 위와 같은 방식으로 몇번 진행하면 보다 가까운 근사해를 얻을 수 있다. 이 방정식의 정확한 해는 약 2.612로 위와 같이 계산했을 때, 좀 더 가까운 근사해를 얻을 수 있다.

뉴턴법(Newton's method)은 방정식 f(x) = 0의 해를 정확하게 구하기 어려울 때, 근사적으로 찾을 수 있는 방법이다. x에 대한 4차 방정식을 예로 들어보자. 이 방정식은 인수분해 등이 되지 않으므로 쉽게 해를 구할 수 없다. 반면 함수로 바꾸어 x축과의 교점을 찾아보며 해를 구할 수 있다. 함수미분을 이용하여 아래처럼 그래프의 개형을 그릴 수 있지만, x축의 교점이 정확히 무엇인지 알 수 없다. 이럴 때 사용해 볼 수 있는 방법이 뉴턴법이다. 뉴턴법은 기본적으로는 f'(a)가 x = a에서의 접선의 기울기라는 미분의 기하학적 해석을 이용한다. f(x) = 0인 x를 찾고 싶은데 그러한 해를 전혀 모른다고 하자. 그럴 땐, 일단은 아무값이나 x = a를 넣고 f(a)의 값을 살펴본다. 만일 f(a)>0이고 f'(a)>0라면 f(x) = 0이 되는 x는 a보다 작은 값일 것이다. 따라서 다음에는 a보다 작은 값을 넣고 함수값을 살펴본다. 그런데, 해가 a보다 작은 곳에 있다는 것은 알겠는데 얼마나 값을 줄여야 하는 걸까? 뉴턴법(Newton's method)은 현재 x값에서 접선을 그리고 접선이 x축과 만나는 지점으로 x를 이동시켜 가면서 점진적으로 해를 찾는 방법이다. f(2)=-60, f(3)=62이므로 해는 2와 3 사이에 존재함을 알 수 있다. (사잇값 정리) (3,f(3))을 지나는 접선의 방정식을 구해보자. ...

나 역시도 공부를 잘 하고 싶었고, 좋은 성적을 받아 좋은 대학교에 입학하고 싶었다. 그를 위해선 공부를 열심히 할 수 밖에 없었다. 그러나 이정도면 충분히 노력한거 같은데, 충분한 시간을 쏟은 것 같은데 서울대 가기에는 부족했나 보다. 결국 못갔다. 선생님으로서 공부를 열심히 하는 학생들을 보며 이들이 최종적으로 어떻게 하면 자신들의 목표를 이루게 할 수 있도록 도움을 주고, 조언을 줄 수 있을까 생각을 한다. 학생들의 목표는 사람마다 다르며 그 목표에 도달하는 하나의 관문인 대학을 갈 때는 수시든 정시든 논술이든 학생들이 공부를 하는 양에 대하여 합격, 불합격을 통보받는다. 굳이 서울대가 아니더라도 어떻게 하면 자신이 원하는 대학에 합격할 수 있을까? 그래서 생각한 수식이 아래의 수식이다. 서울대에 합격하기 위해 채워야 달성해야하는 공부량이 100이라면 아래와 같은 식이 100이 넘으면 합격할 수 있을 것 같다. 대학을 가고자하는 모든 학생들은 기본적으로 초1부터 고3까지 12년을 공부한다. 공부의 난이도는 해가 갈수록 증가하며, 그것을 이해하기 위하여 학생들이 해야하는 공부량은 비례하여 늘어난다. 그에 해당하는 지식을 습득하기 위해서는 지식을 습득하고자 하는 학생들의 노력이 필요하다. 이때, 공부의 효율이 높을 수록, 노력을 덜 해도 빠르고 쉽게 해당 학년의 공부량을 달성할 수 있으며, 공부 효율이 낮을 수록 책상에 앉아있는 시...

넷플릭스 시리즈 ‘흑백요리사’를 너무 재미있게 봤다. 요리라는 작업이 이렇게 예술적이었나. 요리라는 하나의 작품을 만들기 위한 요리사의 장인정신이 돋보였다. 요리사라는 직업이 새삼 대단해보인다. 취미로 요리를 배우러 다니기 시작했는데, 배우면 배울수록 나의 실력이 점차 높아짐이 느껴진다. 이 참에 한식조리사 취득을 해볼까 해서 요리학원을 알아보기 시작했다. 요리학원하면 당연 처음으로 생각하는 장소가 바로 ‘한솔요리학원’이다. 이사오기 전 한솔요리학원 구로디지털점에서 가끔씩 요리클래스를 듣기도 했는데, 좋은 기억이 있어서 이번에는 지금 집과 가까운 한솔요리학원 종로점에 방문하였다. 한솔요리학원 종로점은 종각역과 종로3가역 사이에 위치해 있다. 한솔요리학원 종로점 서울특별시 종로구 삼일대로 395 종로빌딩 6,7,8,9,10층 학원이 큰 대로변에 위치해 있어서 찾기가 무척 쉬웠다. 한솔요리학원 종로점은 이 건물 8, 9층에 위치해 있다. 한솔요리학원에는 여러 가지 커리큘럼이 있었는데, 크게 요리교육, 제과제빵교육, 바리스타교육이 있었다. 요리를 취미로도 할 수도 있지만 다양한 자격증 취득, 취업, 창업 등을 위하여 많은 분들이 학원을 다니는 것 같았다. 더군다나 직장인과 실업자를 위한 다양한 국비 지원 과정을 운영하기 때문에 지원을 받을 수 있다는 점이 큰 장점이 있었다. 학원에서 조리실을 견학할 수 있게 해주었다. 미래의 셰프분들께서 ...

넷플릭스 시리즈 ‘흑백요리사’를 너무 재미있게 봤다. 요리라는 작업이 이렇게 예술적이었나. 요리라는 하나의 작품을 만들기 위한 요리사의 장인정신이 돋보였다. 요리사라는 직업이 새삼 대단해보인다. 취미로 요리를 배우러 다니기 시작했는데, 배우면 배울수록 나의 실력이 점차 높아짐이 느껴진다. 이 참에 한식조리사 취득을 해볼까 해서 요리학원을 알아보기 시작했다. 요리학원하면 당연 처음으로 생각하는 장소가 바로 ‘한솔요리학원’이다. 이사오기 전 한솔요리학원 구로디지털점에서 가끔씩 요리클래스를 듣기도 했는데, 좋은 기억이 있어서 이번에는 지금 집과 가까운 한솔요리학원 종로점에 방문하였다. 한솔요리학원 종로점은 종각역과 종로3가역 사이에 위치해 있다. 한솔요리학원 종로점 서울특별시 종로구 삼일대로 395 종로빌딩 6,7,8,9,10층 학원이 큰 대로변에 위치해 있어서 찾기가 무척 쉬웠다. 한솔요리학원 종로점은 이 건물 8, 9층에 위치해 있다. 한솔요리학원에는 여러 가지 커리큘럼이 있었는데, 크게 요리교육, 제과제빵교육, 바리스타교육이 있었다. 요리를 취미로도 할 수도 있지만 다양한 자격증 취득, 취업, 창업 등을 위하여 많은 분들이 학원을 다니는 것 같았다. 더군다나 직장인과 실업자를 위한 다양한 국비 지원 과정을 운영하기 때문에 지원을 받을 수 있다는 점이 큰 장점이 있었다. 학원에서 조리실을 견학할 수 있게 해주었다. 미래의 셰프분들께서 ...

넷플릭스 시리즈 ‘흑백요리사’를 너무 재미있게 봤다. 요리라는 작업이 이렇게 예술적이었나. 요리라는 하나의 작품을 만들기 위한 요리사의 장인정신이 돋보였다. 요리사라는 직업이 새삼 대단해보인다. 취미로 요리를 배우러 다니기 시작했는데, 배우면 배울수록 나의 실력이 점차 높아짐이 느껴진다. 이 참에 한식조리사 취득을 해볼까 해서 요리학원을 알아보기 시작했다. 요리학원하면 당연 처음으로 생각하는 장소가 바로 ‘한솔요리학원’이다. 이사오기 전 한솔요리학원 구로디지털점에서 가끔씩 요리클래스를 듣기도 했는데, 좋은 기억이 있어서 이번에는 지금 집과 가까운 한솔요리학원 종로점에 방문하였다. 한솔요리학원 종로점은 종각역과 종로3가역 사이에 위치해 있다. 한솔요리학원 종로점 서울특별시 종로구 삼일대로 395 종로빌딩 6,7,8,9,10층 학원이 큰 대로변에 위치해 있어서 찾기가 무척 쉬웠다. 한솔요리학원 종로점은 이 건물 8, 9층에 위치해 있다. 한솔요리학원에는 여러 가지 커리큘럼이 있었는데, 크게 요리교육, 제과제빵교육, 바리스타교육이 있었다. 요리를 취미로도 할 수도 있지만 다양한 자격증 취득, 취업, 창업 등을 위하여 많은 분들이 학원을 다니는 것 같았다. 더군다나 직장인과 실업자를 위한 다양한 국비 지원 과정을 운영하기 때문에 지원을 받을 수 있다는 점이 큰 장점이 있었다. 학원에서 조리실을 견학할 수 있게 해주었다. 미래의 셰프분들께서 ...

넷플릭스 시리즈 ‘흑백요리사’를 너무 재미있게 봤다. 요리라는 작업이 이렇게 예술적이었나. 요리라는 하나의 작품을 만들기 위한 요리사의 장인정신이 돋보였다. 요리사라는 직업이 새삼 대단해보인다. 취미로 요리를 배우러 다니기 시작했는데, 배우면 배울수록 나의 실력이 점차 높아짐이 느껴진다. 이 참에 한식조리사 취득을 해볼까 해서 요리학원을 알아보기 시작했다. 요리학원하면 당연 처음으로 생각하는 장소가 바로 ‘한솔요리학원’이다. 이사오기 전 한솔요리학원 구로디지털점에서 가끔씩 요리클래스를 듣기도 했는데, 좋은 기억이 있어서 이번에는 지금 집과 가까운 한솔요리학원 종로점에 방문하였다. 한솔요리학원 종로점은 종각역과 종로3가역 사이에 위치해 있다. 한솔요리학원 종로점 서울특별시 종로구 삼일대로 395 종로빌딩 6,7,8,9,10층 학원이 큰 대로변에 위치해 있어서 찾기가 무척 쉬웠다. 한솔요리학원 종로점은 이 건물 8, 9층에 위치해 있다. 한솔요리학원에는 여러 가지 커리큘럼이 있었는데, 크게 요리교육, 제과제빵교육, 바리스타교육이 있었다. 요리를 취미로도 할 수도 있지만 다양한 자격증 취득, 취업, 창업 등을 위하여 많은 분들이 학원을 다니는 것 같았다. 더군다나 직장인과 실업자를 위한 다양한 국비 지원 과정을 운영하기 때문에 지원을 받을 수 있다는 점이 큰 장점이 있었다. 학원에서 조리실을 견학할 수 있게 해주었다. 미래의 셰프분들께서 ...