노르웨이 수학자인 아벨(Abel, 1802~1829)이 중학교 때의 수학 선생님에게 보낸 편지의 날짜가 세제곱근수로 되어 있다. 이것은 몇년 몇월 몇일일까? (계산기를 이용하시오.) 계산기를 이용하면 1823.590828.. 나온다. 1823년도 편지라는 것을 알 수 있다. 그렇다면 몇 월 몇일 일까? 365 * 0.590828.. = 215.65... 일 1월 31일 2월 28일 3월 31일 4월 30일 5월 31일 6월 30일 7월 31일이므로 8월 3.65...일 즉, 8월 4일임을 알 수 있다. 3차 방정식과 4차 방정식의 해법은 이미 16세기 중반에 해결되었다. 따라서 맣은 수학자가 5차 이상의 방정식 해법에 도전했지만 누구도 성공하지했다. 그런데 약 300년이 지나서 젊은 수학자 아벨이 5차 이상의 방정식은 대수적으로 풀 수 없다는 것으 증명한 것이다. 아벨은 이외에도 타원함수 등에 대해서 뛰어난 업적이 있지만 빈곤과 병마로 고생해서 26세의 젊은 나이에 죽었다. 아벨 이상으로 불행한 수학자 갈루아(Galois, 1811~1832)는 방정식이 해석적으로 풀리는 조건을 군의 생각으로부터 명확히 규정하여 현대 대수의 출발점이 되었다. 그러나 갈루아는 학교를 그만 두고, 정치활동에 참가하여 투옥되었다가 20세의 젊음에도 불구하고 결투에서 져서 쓰러지고 만다.
고대 그리스 시대에 천문학 연구에 필요한 '현의 표'가 작성되고 중세의 인도, 아라비아로 이어져 사인표에 해당하는 '반현표'가 작성되었다. 그리고 삼각법이 유럽에 전해지면서 현의 길이를 구하기 보다는 직각삼각형의 각에 대응하는 변의 길이의 비에 초점을 맞추어 삼각비가 정의되고 체계화되어 독립된 분야로 발전하게 되었다. 17세기 초에는 소수와 로그의 발명으로 보다 상세한 삼각비 표가 만들어지고 지리상의 발견과 항해술, 지동설에 따른 천문학적 연구를 통해 많은 발전을 하게 되었다. 미적분법이 발견되면서 삼각비는 삼각함수로 발전하고 그 무한급수 표현이 등장하였으며 직각삼각형과의 연관성에서 벗어서 원함수로 정의되면서 그 해석학적인 성질이 연구되었다. 특히 19세기 초 푸리에 급수이 발견 이후 삼각함수는 주기현상을 탐구하는 데 중요한 역할을 하게 되었으며, 오늘날 삼각함수는 수학은 물론 물리학, 공학 등 여러 분양의 이해를 돕는 데 널리 사용되고 있다. 1) 삼각법과 '현의 표' 바빌로니아의 천문학자들로부터 영향을 받은 고대 그리스인들은 행성의 위치와 운동을 연구하기 위하여 중심각과 현과의 관계를 연구하였다. 위의 그림과 같이 천체운동을 측정하기 위해서는 원에서의 호의 길이나 현의 길이를 측정하여야 했다. 원에서 호의 길이나 현의 길이를 결정하는 요소는 각이었고, 하늘에 보이는 천체의 크기, 혹은 천체 사이의 거리를 나타내는 데는 오래 전부터...
5tv n프로그램인 문제적 남자의 문제 하나를 소개하겠다. 종이상자에 동전을 넣은 방법은 간단히 말해서 직사각형에 원을 배치하는 방법을 의미한다. 직사각형에 원을 넣는 방법은 동전의 크기, 가로와 세로의 길이, 배열방법 등에 영향을 받는다. 배열방법에는 위 그림처럼 나란히 배열하는 방법도 있지만 첫번째 줄 5개, 두번째 중 4개, 세번째 줄 5개 등으로 교차하여 배열할 수 있다. 실제로 위 상황에서는 교차하여 배열하는 방법을 요구하고 있다. 이 때 동전 세 개의 모양에서 정삼각형의 나오며, 정삼각형의 높이를 이용하거나, 직각삼각형의 높이를 구하는 방법을 통하여 총 동전의 세로길이를 구할 수 있다. 이 방법을 이제 평면에서 공간으로, 2차원에서 3차원으로 확장시켜 보자. 커다란 상자에 가능한 많은 골프공을 채우는 것을 목표라고 생각해보자. 다 채웠으면 뚜껑을 단단히 닫는다. 공으로 채워진 이 상자의 밀도는 공들 하나한가 차지하는 부피와 상자의 부피에 대한 비율을 바탕으로 결정된다. 공을 가능한 많이 상자에 채워 넣으려면 밀도를 가장 높일 수 있는 배치를 찾아내야 한다. 이 문제는 오렌지나 사과를 팔아본 과일장수라면 누구도 경험적으로 대답을 할 것이다. 하지만 수학자라면 정색하며 고민을 할 것이다. 독일의 천재 수학자이자 천문학자인 요하네스 케플러(1571~1630)도 두 손을 들었던 문제이기 때문이다. 1590년대 말, 영국의 항해가인 ...
3원뿔형의 갓을 가진 전등을 벽에 비춰보자. 벽과 전등의 빛이 직각을 이루었을 때, 발산된 빛줄기는 '원'을 이룬다. 전등을 기울이면 불빛으로 벽에 생긴 점이 길어지면서 원이 '타원'으로 바뀐다. 계속 기울이다 보면 타원이 점점 길어지다 타원이 조각난 후, 벽에 생긴 점이 열린 상태로 한없이 퍼져나가는 '포물선'으로 바뀐다. 포물선이 점점 넓게 벌어지다가 순간 반대쪽 벽에 제 2의 점이 생긴다. 바로 '쌍곡선'이다. 이 네개의 도형을 '원뿔곡선'이라 하며, 그리스 수학자인 메나이크모스가 발견한 후, 2세기 지나 아폴로니우스가 이 학문을 발전시켜 '원뿔곡선론'이라는 책을 편찬했다. 이러한 원뿔곡선은 이차곡선이라 불리기도 한다. 후에 이 곡선들을 식으로 나타냈을 때 모두 이차식에 관련하여 나오기 때문이다. 우리가 원뿔 곡선 중 원(Circle)을 제외한 나머지 원뿔 곡선을 일컫는 용어인 타원 (Ellipse, '부족하다'는 뜻의 그리스어), 포물선 (Parabola, '일치한다'는 뜻의 그리스어), 쌍곡선 (hyperbola, '초과한다'는 뜻의 그리스어)을 바로 아폴로니우스가 만들었다. 아폴로니우스의 원뿔 곡선을 설명하면 아래와 같다. 원 : 원뿔의 바닥면과 평행하게 자를 때 나타나는 곡선 타원 : 원뿔을 비스듬히 자를 때 나타나는 곡선. 단 자르는 각도는 원뿔의 빗면의 각도보다는 작다. 포물선 : 원뿔의 빗면에 평행하도록 자를 때 나타...
자연 현상 중에는 시간의 흐름에 따라 규칙적으로 변하는 것이 많으며, 일상생활에서도 두 양이 일정한 관계를 가지면서 변하는 현상을 많이 볼 수 있다. 실생활이나 자연에서 일어나는 현상들을 관찰해 규칙성을 찾고, 그 규칙성을 연구하는 것은 여러 가지 변화를 설명하고 예측하는 데 반드시 필요한 일이었다. 이처럼 규칙적으로 변화하는 두 양 사이의 관계를 나타내기 위해 함수의 개념이 필요했고, 발전해왔다. 처음으로 필요성을 느끼게 된건 천체의 움직임을 기록하려는 시도였을 것이다. 고대 그리스의 천문학자 프톨레마이오스는 현재의 개념으로 삼각함수의 표를 만들었고, 현재의 사인표라고 볼 수 있다. 천체의 움직임을 기록하여 미래를 예측하는데 이는 반드시 필요한 일이었다. 르네상스 이후 과학혁명기의 과학자들은 운동이나 무한 등을 다루면서 상관관계 대하여 파악하고자 하는 요구가 있었다. 실험이나 관찰을 통하여 두 양사이의 관계를 나타내기 위한 도구가 필요했다. 잎서 언급했듯이 데카르트와 페르마는 식을 좌표평면에서 그래프로 나타내기를 시도하였다. . 그는 창조적인 아이디어로 기하학과 해석학을 하나로 묶는 오늘날의 해석기하학을 창시했다. 그들의 아이디어는 기하학적 내용을 대수적 방정식으로 나타내어 그 결과를 기하학적으로 다시 번역하는 것이다. 예를 들어 곡선을 식으로 표현해보고, 그래프로 다시 표현해 보는 방식이다. 또한 함수의 개념을 명확히 곡선의 방정...
2샘로이드 퍼즐을 풀다가 이차방정식과 관련한 퀴즈가 있어 소개한다. 문제를 좀더 간단하게 답도 쉽게 나올 수 있도록 변형시켰다. 1번과 2번은 이차식(xy)가 들어간 식을 이용한 연립방정식 문제이고, 3번은 이차방정식문제이다. 1. 양계장을 운영하는 부부는 남아 있는 닭 사료와 닭을 보며 닭을 살지 팔지 고민하고 있다. 만약 닭 75마리를 판다면 가지고 있는 사료로 20일은 더 버틸 수 있지만, 닭 100마리를 더 산다면 닭 사료는 15일 일찍 떨어진다. 닭은 몇 마리일까? 답: 닭 x마리가 y일간 먹을 수 있는 사료가 있다고 하자. 닭 300마리와 60일간 먹일 수 있는 사료의 양이 있다. 식을세워보니 위처럼 나오기 분배법칙을 이용하여 다항식을 전개해보면 연립일차방정식을 얻을 수 있다. 연립방정식을 풀면 답이 나온다. 2. 설에 할머니댁에 방문하니 할머니께서 온 가족에게 용돈을 나눠주셨다. 만약 5명이 덜 왔으면 이천원씩 더 주실 수 있다고 하셨다. 다음 설에는 지난 설에 못 왔던 이모네 가족 4명이 더 왔다. 그랬더니 할머니께서 지난 설보다 천원을 덜 주셨다. 할머니께서 작년 올해 설에 동일한 액수의 용돈을 나눠줬다고 한다면, 그 액수가 얼마일까? 답 : 6천원씩, 20명 총 12만원 3. 농사를 짓고 있는 엄마는 올해에는 작년보다 더 큰 정사각형 양배추밭을 만들어 양배추 211포기를 더 기를 것이라고 한다. 엄마가 올해 기르게 될...
59세기 전반 바그다드에서 활동하던 수학자 무하마드 이븐 무사 알 콰리즈미는 큰 영향력을 떨친 대수학 교과서를 썼으며 여기에는 현대의 '이항'개념을 이용한 방정식의 풀이가 나온다. 이 책에서는 이차방정식의 풀이가 나오는데, 고대 바빌로니아와 이집트, 그리스, 중국, 인도의 학자들도 이미 면적이나 비율을 다루는 건축이나 기하학문제에서 종종 나타나는 이차방정식문제를 풀려 애썼다. 알콰리즈미는 아래와 같은 이차방정식을 제시하였다. 기본적으로 방정식의 각 항을 기하학적으로 해석해보자. 예를 들어 x의 제곱을 아래처럼 정사각형의 넓이라고 생각하는 것이다. 아래의 그림처럼 10x는 직사각형으로 그릴 수 있고, 넓이가 5x인 직사각형으로 쪼개보자. 새로생긴 직사각형 2개를 처음을 정사각형에 이어붙여 직각자모양으로 만들수 있다. 이 넓이가 바로 39이다. 우리는 본능적으로 정사각형을 만들고 싶어한다.(나만 그런가?) 이 부분을 채워보면 정사각형의 넓이가 64가 된다. 따라서 이 정사각형의 한 변의 길이는 8이고, x는 3임을 알 수 있다. 물론 현대의 풀이에는 이 답이 맞지 않다. 음수의 근인 -13을 말하지 않기 때문이다. 이는 도형의 길이로 표현했기 때문인데, 당시에는 음수를 인정하지 않았으므로 3으로도 충분한 답이었다. 그리고 이것을 일반화하여 나타는 것이 바로 근의 공식이다. 근의 공식의 놀라운 점은 분명하고 포괄적이라는 것이다. 공식에 계수...
31. 몬드리안 검정색 수직선과 수평선으로 구획을 나눈 단순한 구성에 빨강, 노랑, 파랑 등 색의 삼원색만을 사용한 회화 작품. 굳이 미술 교과서에 실린 작품이라고 말하지 않아도 누구나 알 법한 이 작품은 네덜란드의 화가 피에트 몬드리안(Piet Mondrian, 1872~1944)의 대표작이다. 몬드리안은 1872년 3월 7일, 네덜란드 아메르푸르트에서 태어났다.그의 아버지는 초등학교의 교장이자 아마추어 소묘 화가였다. 그의 숙부 역시 사실주의 경향을 가진 헤이그파의 화가로, 어린 몬드리안에게 회화를 가르쳐 주었다. 몬드리안에게는 어린 시절부터 그림을 그릴 수 있는 환경이 주어졌던 것이다. 몬드리안이 그린 추상화는 일반적으로 사물이나 풍경을 그대로 묘사하는 구상화와는 다르다. 추상화는 순수한 점, 선, 면, 색채에 의한 표현을 목표로 한 그림이라고 할 수 있다.대상의 형태를 해체하고 작가의 방식으로 재구성해 표현한 입체파 등도 포함된다. 몬드리안은 1917년 선과 색채로 순수한 추상적 조형을 나타내자는 ‘신조형주의(Neo Plasticism)’를 주창했다. 이후 그는 모든 대상을 수평선과 수직선으로 극단화시켜 화면을 구성했다.그는 수직선, 수평선, 원색, 무채색 만으로 표현되는 자신의 작품들에 대해 진리와 근원을 추구한 것이라고 밝혔다. 이를 위해 그림을 기하학적으로 단순화했다는 것이다. 그는 우리가 사는 세상을 단순화해 바랍면 점과...
10중학교를 통틀어 기억에 남는 기하학 정리가 있다면 그것은 단연 피타고라스 정리이다. 직각삼각형의 빗변의 길이를 c라고 할 때, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 하자. 그 때 아래와 같은 등식이 성립한다. 피타고라스는 직각삼각형의 주목할 만한 이 성질을 알게 된 후 감사의 뜻으로 신에게 황소를 제물로 바쳤다고 일화가 전해내려온다. 피타고라스 정리는 중세에는 'Magister matheseos(수학 명장)'이라는 명예 칭호를 받았다. 기원전 5세기 경 피타고라스는 에게 해에 있는 사모스섬(현재 지중해의 터키근처 그리스 식민지)에서 태어났으며, 피타고라스는 어떠한 책도, 기록도 남기지 않았다. 탈레스의 문하생으로 몇 년간 학문을 닦고, 이집트 등 여러 신관들에게 가르침을 받은 후 사모스 섬으로 돌아가 피타고라스 학파를 창설한다. 피타고라스 학파는 150여년에 걸쳐 그 명맥을 유지하였고, 구전과 기억력으로 그 내용이 전수되었다. 피타고라스 학파에 의해 수학의 영역은 좀 더 확대되었는데 바로 증명이라는 것을 시도하였기 때문이다. 피타고라스는 '만물의 근원은 수이다.' 라며 수에 대한 연구를 했다. 피타고라스 학파는 자연수에 신성한 의미를 부여하는 수비주의를 신봉하였고, 친화수, 완전수등의 성질을 찾아냈다. 그들은 수에 대한 신비주의적인 해석으로 산술을 만들었으며, 그들에게 수는 정수의 비로 나타낼 수 있다(통약가능)고 생각했다. 피타고라스 ...
7삼각비란 삼각형의 길이의 비를 의미한다. 이 삼각비는 사인, 코사인, 탄젠트라는 어려운 이름을 가진 길이의 비를 의미하며 각자 sin, cos, tan 기호로 쓴다. 그렇다면 왜 삼각비는 필요한 것일까? 예로부터 천체에 대한 연구는 농경사회에서 필수적이었다. 그들은 미래의 날씨와 날짜를 예측하기 위해 많은 학자들은 천체운동을 관찰했다. 천문학이란 둥그런 천체의 움직임을 연구하는 학문이다. 그렇다면 연구활동의 결과로 별들의 운동을 어떻게 기록할 수 있을까? 달의 크기를 측정하거나 별들의 움직인 거리를 측정하는 것은 천체운동 연구에 반드시 필요한 것이었다. 위의 그림과 같이 천체운동을 측정하기 위해서는 원에서의 호의 길이나 현의 길이를 측정하여야 했다. 원에서 호의 길이나 현의 길이를 결정하는 요소는 각이었고, 하늘에 보이는 천체의 크기, 혹은 천체 사이의 거리를 나타내는 데는 오래 전부터 각도가 쓰였다. 즉 각에 의하여 길이를 잴 수 있는 삼각법이 발달하게 되었다. 삼각법(trigonometry)은 그리스어 삼각(trigonon)과 측량(metron)을 합친 단어이다. 단위원에서 삼각비를 이야기하는 이유는 삼각비의 발생배경이다. 여기에서 바로 아래 그림과 같이 sin, cos, tan의 개념이 나왔다. 그러나 사람의 눈으로 별이 움직인 거리등을 측정하기에는 한계가 있었다. 예를 들어 별과 별 사이의 간격을 눈으로 바라보며 두 팔을 벌려...
중학교 들어와서 처음 접하는 수학단원은 '소인수분해'이다. 이 때 '소수'와 '인수'라는 개념을 배운다. 초등학교 때는 약수라 했던 것을 중학교 에서는 인수라고 한다. 인수와 약수는 정말 같은 걸까? ‘약수’에서의 약(約)은 ‘간략히 한다’는 뜻과 ‘묶고 다발 짓는다’라는 뜻이 있다. ‘묶고 다발 짓는다’라는 말을 잘 생각해보면 ‘귤 12개를 3개씩 나누어 주면 몇 사람에게 줄 수 있는가?’라는 문제에서 힌트를 얻을 수 있다. 3개씩 준다는 말은 곧 3개씩 묶어 준다는 말과 같은 뜻이므로 12÷3=4이다. 따라서 약(約)이라는 한자어에는 ‘나눗셈하다’라는 뜻이 있음을 알 수 있다. 그래서 약수를 영어로는 ‘divisor’라고 하고 ‘나누는 수’인 나눔 수를 뜻한다. 즉 약수란 어떤 수를 나머지 없이 나눌 수 있는 수를 원래의 수에 대하여 이르는 말이다. 예를 들어 15의 약수를 구해보자. 15÷1=15, 15÷3=5, 15÷5=3, 15÷15=1의 나눗셈으로 부터 15의 양의 약수인 1, 3, 5, 15를 구할 수 있다. 나눗셈은 곱셈의 역연산이므로 15÷1=15, 15÷3=5, 15÷5=3, 15÷15=1의 나눗셈식을 15=15×1, 15=3×5, 15=5×3과 같은 곱셈식으로 바꾸어 표현 할 수 있다. 이렇게 곱셈식으로 표현할 때 1, 3, 5를 15의 인수(因數)라고 한다. 예를 들어 24=1×24=2×12=3×8=4×6이므로 ...
지식의 구조와 교과, 이홍우 저, 교육과학사 처음 교직에 들어서면서도 수학은 브루너의 의견대로 지식의 구조를 학생들에게 가르쳐야 한다고 생각을 하고, 기본이 중요하고, 원리가 중요하다라고 생각했었다. 교사를 하면서 어느새 그런 초심은 없어진듯 하고,,, 사실 지식의 구조란 무엇인가에 대한 의문도 들었다. 이 책을 읽는다고 해서 내가 브루너의 생각을 모두 이해할 수도, 동감할 수도 없겠지만 나의 앞으로의 교직인생에서의 수학을 왜 가르쳐야 하는가에 대한 의의에 도움을 줄 수 있을것 같아 읽게 되었다. 제 1장 '수업한다'는 것 제 2장 교과란 무엇인가 제 3장 나선형 교육과정 제 4장 교과의 심리학 제 5장 교과의 사회적 의의 제 6장 듀이와 브루너 제 7장 소크라테스의 교육방법 제 8장 교육내용으로서의 충효 제 9장 교육과정 운영 제 10장 재는 학력과 가르치는 학력 부록 : 부루너 교육의 과정 제 1장 '수업한다'는 것 '교과'란 무엇일까? 관념적인 개념을 규정할 수도 있으나, 실제적으로 교사가 교과를 조직하고 학생에게 제시한다. 수업이란 교과의 의미나 교과를 잘 가르치는 방법이라 할 때, 교사가 당면하는 수업사태 속에서 교사는 실제로 어떤 일을 하고 있는지에 대한 사례를 통해 살펴보겠다. 1. 중학교 사회과 수업 도입 : 지난시간에 대한 퀴즈 (간단한 주관식) 전개 : 교과서 읽기 (질문과 대답, 교과서의 내용을 중점적으로) 마무리...
아무도 의심하지 않는 일곱가지 교육미신, 데이지 크리스토둘루 지음( 김승호 역), 페이퍼로드 는 부제목으로 학생 주도의 수업이 효과적이다? NO! 창의교육이 창의력 망친다 라는 다소 충격적인 제목을 가지고 있다. Ⅰ. 서론 모든 사범대생과 교육관계자가 보편적으로 믿고 있는 교육적 사실들을 제시하고, 그것이 미신 즉 옳지 않은 방법임을 시사한다. 일곱가지 교육미신은 아래와 같다. 1. 첫 번째 미신 : 지식보다 역량이 중요하다. 2. 두 번째 미신 : 학생 주도의 수업이 효과적이다. 3. 세 번째 미신 : 21세기는 새로운 교육을 요구한다. 4. 네 번째 미신 : 인터넷에서 모든 것을 찾을 수 있다. 5. 다섯번째 미신 : 전이 가능한 역량을 가르쳐야 한다. 6. 여섯 번째 미신 : 프로젝트와 체험 활동이 최고의 학습법이다. 7. 일곱 번째 미신 : 지식을 가르치는 것은 의식화 교육이다. 모든 장은 1. 이론적 배경과 2. 적용 사례, 3. 왜 미신인가? 라는 순서로 이루어져 있고, 1. 이론적 배경에는 유명한 인사들이 내세우는 이론과 배경 ( 저자가 생각하는 잘못된 생각의 이론도 있으며, 동의하는 이론과 배경이 있다.) 을 제시하며, 이를 토대로 교육당국이 내세운 적용사례에 대하여 2. 적용 사례에서 이야기한다. 여기에서는 주로 교육계에서 저자의 기준에서 잘못된 생각을 가지고 적용한 사례에 대해 소개하며, 왜 미신인지에 대한 논의는 ...
유클리드의 제 5공리 1. To draw a straight line from any point to any point. 임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그릴 수 있다. 즉, 두 점이 있으면 그 두 점을 끝점으로 하는 선분을 그릴 수 있다는 것이고, 이는 교과서에서 두 점을 지나는 직선은 유일하다로 표현된다. 2. To produce a finite straight line continuously in a straight line. 선분을 이어서 직선을 만들 수 있다. 3. To describe a circle with any center and radius. 임의의 중심과 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다. 4. That all right angles equal one another. 모든 직각은 서로 같다. 5. That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. 두 직선과 한 직선이 만날 때 있는 두 직선을 한없이 늘리면 같은 쪽에 있는...
2산쥬산겐도는 교토의 1001개의 천수관음상으로 유명한 사찰이다. 이름처럼 33개의 칸으로 이루어진 긴 모양의 건출물이다. 천수관음상은 1000개의 손을 가진 불상이라는 뜻인데 실제로 팔은 42개(양팔 2개, 주변의 팔 40개)를 가진다. 40개의 팔로 25개의 존재계인 세상을 구제한다라는 뜻에서 팔이 1000개이다. 고통받는 인간들을 보다 잘 살피기 위해 머리가 11개이며 인간들이 고통을 잘 헤쳐 나갈 수 있도록 도움을 주고자 1000개의 팔을 가졌다고 한다. 25*40=1000에서 25와 40은 1000의 인수이다. 수학에서 '인수(factor)'란 어떤 정수를 몇 개의 정수의 곱으로 나타낼 때, 그 정수들을 본래의 것의 인수라고 한다. 이는 '약수(divisor)'와는 다른 개념인데 약수는 어떤 정수를 나머지 없이 나눌 수 없는 정수를 의미한다. 중1에서는 약수와 인수를 동일한 개념으로 받아들인다. '인수분해'란 어떤 정수를 인수로 분해(곱으로 나타낸다.)한다는 뜻이고, '소인수분해'는 어떤 정수를 '소인수'로 분해(곱으로 나타낸다.)는 뜻이고, '소인수'란 소수인 인수를 의미한다. 예를 들어 1000 = 1*1000 = 2*500 = 2*2*250 = 2*2*2*5*5*5=... 등 많은 방법으로 나타낼 수 있고, 인수의 종류가 무척 많고, 인수분해의 방법도 많지만 그 중 1000 = 2*2*2*5*5*5 로 소인수 2와 5 만...
역사시간에 아이들은 중2때 선사시대를 배우고, 중3때 조선후기를 배운다고 한다. 교과서에는 아래와 같이 조선시대에서의 학자들의 수학에 대한 관심이 수록되어 있다. 특히, 영조, 정조시절 실학사상이 발전했을 때, 그 중 지금의 수학으로 볼 수 있는 산학도 발전을 했다. 그 당시 수학책 '이수신편'에는 연립방정식문제가 수록되어 있는 그 중 유명한 문제가 바로 '계토산'문제이다. • 닭과 토끼가 모두 100마리인데, 다리를 세어보니 272개 였다. 닭과 토끼는 각각 몇 마리인가? 이 문제의 풀이는 실로 참신한데, 소리를 질러라. 놀라서 닭과 토끼가 모두 다리의 절반을 들것이다. 닭은 다리가 하나, 토끼는 다리가 둘이 되고, 그 수는 모두 136이 된다. 여기서 다리 수와 총 마리 수의 차이, 곧 36은 토끼의 마리 수가 된다. 이것을 식으로 나타냈을 때, 지금의 가감법에 해당되는 풀이라 볼 수 있다. 닭과 토끼가 모두 100마리인데, 다리를 세어보니 272개 였다. 닭과 토끼는 각각 몇 마리인가? -> x: 닭의 마리수, y: 토끼의 마리수 풀이. 소리를 질러라. 놀라서 닭과 토끼가 모두 다리의 절반을 들것이다. 닭은 다리가 하나, 토끼는 다리가 둘이 되고, 그 수는 모두 136이 된다. 여기서 다리 수와 총 마리 수의 차이, 곧 36은 토끼의 마리 수가 된다. 가감법은 두 일차방정식의 한 미지수의 계수를 맞추기 위해 한 방정식에 적당한 ...
2(x+a)*(x+b)=x^2+(a+b)x+ab는 중3인수분해에서 적용되는 중요한 공식 중 하나이다. 그러나 (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd는 교과서에서 곱셈공식으로 소개되어 있으나, 인수분해 할 때, 외움으로써 사용되는 것이 아니기 때문에 중요하다고 생각지 않아서 아이들에게는 전개만 하라고 할뿐 강조하지는 않는다. ebs math의 '농부의 손가락 곱셈'방법 영상이 있다. 12*13을 계산하기 위하여 12-10인 2를 왼쪽 수의 락을 펴게 하고, 13-10을 오른쪽 손가락으로 하여 두 수의 합, 곱을 이용하여 계산을 하는 내용이다. 아이들은 (10+2)*(10+3)= 10^2+(2+3)*10+2*3의 원리임을 쉽게 찾아내었다. 예전에 마리텔에서 지주연탤런트가 '베다수학'을 소개했었다. -문제적남자에서도 나왔다. 우리나라 곱셈방법이 직사각형을 4조각으로 나누어 더하는 반면에 베다수학은 사각형을 옮겨 두조각으로 나누어 더하는 방법이다. 예를 들어 12*17은 12와 7읠 합은 19를 190으로 만들고, 2와 7의 곱인 14를 더하면 190+14=204로 계산한다. 13*19는 13과 9의 합인 22를 220으로 만들고, 3와 9의 곱인 27을 더하면 220+27=247으로 계산한다. 모든 아이들이 사각형을 4조각으로 쪼개는 것까지는 생각하지만 저렇게 사각형을 옮기는 생각까지 하는 아이는 반에서 1/3정도 였다. 신...
네이버 밴드에서 체험수학밴드가 있다. 거기에서 얻은 파일로 수업한 '한 명이 사라지는 퍼즐'이다. 처음에 봤을 때는 너무너무 신기했던거 같다. 유투브의 '초콜릿 한 조각의 기하학'이 있는데 이 영상으로 중2 1학기 함수 기울기에 관련한 수업을 했었는데 큰 범주의 한 명이 사라지는 퍼즐의 일부이다. '인수'의 원리가 들어가 있어, 중1 소인수분해나 중3인수분해시 수업자료로 이용 가능할듯 하다. 파일을 첨부하기에는 제작자 선생님께 실례인거 같아 링크를 첨부한다. https://band.us/band/57566088 한 명이 사라진다~.exe 내 컴퓨터 저장 네이버 클라우드 저장
우리는 앞서 고대에서부터 제곱근 2의 자릿수를 발견했으며, 피타고라스 정리를 통해 무리수를 발견했음을 이야기했다. 또한 16세기 방정식의 발전을 통하여 제곱근, 세제곱근을 발견했다. 그렇다면 무리수는 방정식에서만 발견할 수 있을까? 파이(원주율)은 대표적인 무리수이다. 사실 무리수는 쉽게 만들 수 있다. 0.101001000100001 ..... 은 분명 규칙이 있지만 순환마디가 없기 때문에 무리수이다. 또한 챔퍼나운수라고 알려진 0.12345678910111213.... 도 역시 무리수이다.( 사실 둘 다 초한수이다.) 그렇다면 우리가 아는 무리수 중 제곱근과 같은 방정식에서 나타날 수 있는 무리수와 파이같이 특수한 무리수를 구분할 수 있을까?1761년 독일의 물리학자 요한 하인리히 람베르트는 원주율이 순환마디도 없이 무한히 계속되는 무리수라는 것을 증명해냈고, 이어 1882년 독일의 수학자 페르디난트 폰 린데만은 원주율이 무리수인 동시에 ‘초월수’라는 것을 밝혀냈다. 폰 린데만이 증명한 초월수는 원주율이 어떤 방정식의 근이 될 수 없다는 것을 의미한다. 즉, 어떤 초월수는 단순히 숫자 몇 개를 더하고 빼고 곱하고 나누고 혹은 루트를 씌우는 것으로는 값을 계산할 수 없다는 이야기다. 예를 들어보자. 즉, 아래의 3차방정식의 해처럼 방정식의 해로 나타낼 수 있는것 과 없는것이 있고, 없는 것을 초월수라 한다. 그러나 무리수가 소수로 ...
3수직선에 제곱근을 표시하기 위한 방법을 무엇이 있을까? 제곱근 2의 발견은 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선에서 찾을 수 있다. 이 대각선을 수직선 위에 옮겨 놓으면 제곱근 2를 수직선에 표시할 수 있다. 즉, 수직선 위에 정사각형을 올린 후, 회전하면 된다. 제곱근 2 뿐만 아니라, 정사각형을 이용하면 다른 제곱근들도 역시 표현할 수 있다. 위 그림은 정삭가형의 넓이가 5이므로, 한 변의 길이는 제곱근 5이며, 이를 회전하여 제곱근 5의 위치를 확인 할 수 있다. 또한 사각형의 꼭짓점의 위치에 따라 수직선 위에 (유리수) + (제곱근) 형태를 표현 할 수 있다. 중학교 3학년에서는 수직선에 점을 표시하고, 두 수의 크기를 비교해 보는 활동을 한다. 유리수와 마찬가지로 실수가 오른쪽에 위치해 있을 수록 그 수는 더 크다. 물론 부등호를 성질을 이용할 수도 있을 것이다. 그렇다면 무리수의 꽃 파이(원주율)을 수직선에 표시할 수 있을까? 원주율은 3.14 .. 값을 가지므로, 3과 4 사이의 수라는 것을 알 수 있다. 제곱근처럼 어떤 무리수도 수직선 상에 표현할 수 있다는 점을 생각해보고, 제곱근이 정사각형을 돌렸으면, 원주율을 구하기 위해서는 어떤 도형을 이용해야 할까? 그렇다. 바로 원이다. 반지름이 0.5인 원을 회전시키면 원주만큼 회전하기 때문에 파이(원주율)를 구할 수 있다. 위의 그림은 원이 회전하는 궤도이다. 사실 이 ...