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학생들은 초등학교때 수학을 꽤 좋아하는 것 같다. 하지만 중학교에 입학하면서 점차 수학을 어려워하다가, 고등학교에서는 진도를 따라가지 못해 '수포자'의 길을 걷는다. 그러한 아이들은 수학을 공부하는 그 필요성도 이유도 찾지 못한다. 그리고 선생님을 원망스럽게 쳐다보며, 말한다. 이렇게 어려운 수학, 왜 해야해요? 수학교사가 되자 나는 그 질문에 고민을 해야 했다. 공부잘하는 아이들은 수능을 보고 좋은 대학교에 가야하니까, 내신이 중요하니까 공부를 잘해야 한다고 넘어갈 수 있다. 이 답은 대학교를 가고 싶은 아이들까지도 확장할 수 있다. 그러면 수학을 못 하는 아이들은? 대학입시에 수학이 필요없는 아이들은 왜 수학을 공부해야 하지? 한때 나는 이 질문에 답을 하지 못하여 수학을 포기한 아이들을 포기했다. 이런 생각은 수학은 왜 공통과목이지? 선택과목이어야 하는 거 아닌가? 라는 생각에 이르기도 하였다. 나의 마음속에는 항상 고민이 있었다. 손흥민도 수학을 공부해야 하나요? 나의 답은... 안해도 된다! 사실 수학을 떠나 공부를 하냐 안하냐는 학생 본인의 선택의 문제이다. 공부라는 건 누가 시켜서 하는 것도 하니고, 스스로가 선택해서 할 수 것이다. 물론 주변인들(부모님, 선생님)등이 물리적 압박을 가할 수 있으나 하는 척은 누구나 할 수 있다. 하지만 사고를 하면 공부하는 것은 학생 본인의 의지인 것이다. 사람은 자신의 선택에 대한 결...

고대 그리스 시대에 천문학 연구에 필요한 '현의 표'가 작성되고 중세의 인도, 아라비아로 이어져 사인표에 해당하는 '반현표'가 작성되었다. 그리고 삼각법이 유럽에 전해지면서 현의 길이를 구하기 보다는 직각삼각형의 각에 대응하는 변의 길이의 비에 초점을 맞추어 삼각비가 정의되고 체계화되어 독립된 분야로 발전하게 되었다. 17세기 초에는 소수와 로그의 발명으로 보다 상세한 삼각비 표가 만들어지고 지리상의 발견과 항해술, 지동설에 따른 천문학적 연구를 통해 많은 발전을 하게 되었다. 미적분법이 발견되면서 삼각비는 삼각함수로 발전하고 그 무한급수 표현이 등장하였으며 직각삼각형과의 연관성에서 벗어서 원함수로 정의되면서 그 해석학적인 성질이 연구되었다. 특히 19세기 초 푸리에 급수이 발견 이후 삼각함수는 주기현상을 탐구하는 데 중요한 역할을 하게 되었으며, 오늘날 삼각함수는 수학은 물론 물리학, 공학 등 여러 분양의 이해를 돕는 데 널리 사용되고 있다. 1) 삼각법과 '현의 표' 바빌로니아의 천문학자들로부터 영향을 받은 고대 그리스인들은 행성의 위치와 운동을 연구하기 위하여 중심각과 현과의 관계를 연구하였다. 위의 그림과 같이 천체운동을 측정하기 위해서는 원에서의 호의 길이나 현의 길이를 측정하여야 했다. 원에서 호의 길이나 현의 길이를 결정하는 요소는 각이었고, 하늘에 보이는 천체의 크기, 혹은 천체 사이의 거리를 나타내는 데는 오래 전부터...

수학은 역사적으로 현실에 대한 어려움을 겪을 때 이를 해결하기 위하여 발전한 학문이다. 고대에 신을 경배하기 위한 재단의 측정한다던가, 강의 범람에 대한 토지를 개량한다던가, 세금을 징수한다던가에 대하여 왕족이나 귀족이 필요에 의해 그 방법을 간구하기 위하여 수학을 사용했다. 따라서 수학은 선택받은 사람만이 할 수 있는 학문이었다. 수학은 효율적인 방법과 완전무결함을 보여주었다. 피타고라스 학파는 이러한 완전함에 매료되어 수학의 아름다움을 느꼈고, 심지어 수를 만물의 근원이라는 생각을 하게 되었다. 철학자이자 수학자들은 효율적인 방법과 완전무결함을 더욱 더 추구하기 위하여 왜? 라는 질문을 던지기 시작했다. 문제에 대한 해결책을 제시할 때 왜 이것이 효율적이고, 완전한가에 대한 이야기를 하기 위하여 논리적으로 생각을 전개하였다. 역사적으로 최초의 철학자 탈레스로부터 수학의 논증적인 방법이 발현되기 시작했다. 따라서 서양세계에서의 수학은 실제적인 활용인 기하학과 이유에 대한 논증, 철학이 발전하였고 이를 중요시여겠다. 상대적으로 동양세계에서는 장사, 세금 징수 등 실질적인 계산을 중요시여겼고, 수의 개념과 계산이 발전되었다. 래서 우리나라의 수학도 상대적으로 계산의 정확성을 중시여기는 지도 모른다. 특히 이슬람, 인도 문화권은 인도 아라비아 숫자등이 발전하였고, 이는 르네상스에 영향을 주기도 하였다. 사실 수학은 허락된 사람만 누릴 수...

수학사상 가장 유명한 정수 패턴 중 하나로 파스칼의 삼각형을 꼽을 수 있다. 비록 이 패턴은 페르시아의 시인이자 수학자인 오마르 카이얌이 일찍이 1100년 부터 세상에 알렸고, 인도와 고대 중국의 수학자들은 그것을 그 전부터 알고 있었지만, 블레즈 파스칼이 1654년에 발표한 논문은 이것을 다룬 논문으로는 최초였다. 파스칼은 1642년 18살 때, 회계사인 아버지의 수고를 덜어들이기위해 덧셈, 뺄셈이 가능한 최초의 계산기 만들었다. (그 후 1671년 라이프니츠가 사칙연산이 가능한 계산기를 발명했다. ) 파스칼은 수학자, 과학자로 많이 알려져 있지만, 사실 철학과 신학에 더 많은 시간을 투자했다고 한다. 종교적인 이유로 수학, 과학 연구 활동을 몇 년동안 끊기도 했기 때문에 이러한 이유로 '수학사에서 가장 위대한 인물이 될 뻔 한 사람'이라는 별명이 붙었다. 그는 말년에 지독한 치통에 시달렸는데 치통을 잊기 위해 사이클로이드를 연구했고 사이클로이드 관련 중요한 성질을 증명했다고 한다. 본격적으로 파스칼의 삼각형에 대해 알아보자. 삼각형의 양쪽 모서리는 모두 1이고 좌우로 접한 정육각형의 안의 두 수의 합이 아래 접한 정육각형 안의 수가된다. 수학자들은 파스칼의 삼각형의 확률 이론과 (x+y)의 거듭제곱의 이항식을 전개하는 문제, 그리고 정수론에 어떤 의미를 갖는가를 놓고 오랫동안 논쟁을 벌여 왔다. 1) 다항식의 전개 이 삼각형을 이...

중학교 3학년에서 인수분해란 단원은 다항식의 인수분해를 다루고 있다. 예를 들어 의 경우 로 만드는 것을 말한다. 이와 반대로 을 로 만드는 것은 전개(expansion)라고 한다. 앞서 우리는 이차방정식의 역사를 통하여 방정식의 해를 찾기 위한 수학자들의 노력을 보았다. 특히 여기에서 다룰 수학자는 젋은 나이에 요절한 비운의 수학자 갈루아이다. 프랑스과학원에 제출했던 갈루아의 논문 내용은 기존의 방정식의 풀이를 수나 함수에게 벗어나 수학적 구조에 초점을 둔 이론으로서 갈루아 군이라는 개념을 세웠고, 이는 현대 대수학의 핵심내용이다. 중학교 1학년 들어와서 처음 접하는 수학단원은 '소인수분해'이다. 주어진 수를 몇 개의 수의 곱으로 나타낼 때, 그 몇 개의 수들이 주어진 수의 인수라 한다. 영어로 인수란 'factor'로 수의 구성'요소'라는 뜻으로 해석할 수 있다. 그렇다면 인수분해란 수를 곱셈으로 나타낼 수 있을 때 어떤 수를 2개 이상의 인수의 곱의 꼴로 나타내는 것으로, 인수들로 그 수를 분해한다는 의미이다. 인수분해의 영어는 'factorization'으로 수를 factor화 한다는 뜻이다. 이를 다항식에 그대로 적용해 보면, 주어진 다항식을 몇 개의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 그 몇 개의 다항식들을 주어진 다항식의 인수라 한다. 인수분해란 주어진 다항식을 그보다 작은 차수들의 곱셈으로 나타낼 수 있을 때 2개 이상의 다항...