네이버

갈릴레오의 저서 중 <두 가지 새로운 과학>에는 아리스토텔레스가 제시한 바퀴역설문제가 나타나있다. 위의 그림과 같이 중심을 O로 하는 반지름이 다른 두 개의 바퀴를 생각하자. 중심이 같은 원을 동심원이라고 하는데, 이 동심원의 바퀴를 평면상에서 1회전 시키면 O, A, B가 각각 O', C, D의 위치로 굴러간다. 여기서 작은 바퀴와 큰 바퀴는 모두 정확하게 1회전했다. 아래 그림에서 선분 AC의 길이는 작은 바퀴의 둘레의 길이이고, BD의 길이는 큰 바퀴의 둘레의 길이다. 이 그림에서 보는 것과 같이 AC=BD 이므로 큰 바퀴와 작은 바퀴의 둘레의 길이는 같아 보인다. 그렇다면 바퀴는 반지름의 길이에 관계없이 항상 같은 거리를 움직일까? 과연 어디가 잘못된 것일까? 이는 큰 원과 작은 원의 둘레의 길이는 다르지만, 두 원 위의 점들의 집합 사이에는 일대일 대응이 존재한다는 사실에 일어난 착각이다. 그러나 아래 그림처럼 모든 점이 일대일 대응이 된다고 해서, 원의 둘레 길이와 수직선의 길이는 다르다. 즉 두원의 모든 점들이 일대일 대응이 되지만, 두 곡선의 길이가 모두 동일해야 하는 것은 아니다. 칸토어는 모든 선분을 이루는 모든 점들의 수의 카디널리티는 모두 동일하다는 것은 증명했다. 예를 들어 0부터 1을 잇는 한 선분의 모든 점을 한 무한한 선의 모든 점과 일대일대응 시키는 것도 가능하다. 이 문제를 해결하기 위하여 갈릴레오는 ...

투명한 물컵 속에 빨대를 놓았을 때, 꺾여 보인다. 수영장에 가보면 물 속에 있는 내 다리가 그렇게 짧아보일 수 없다. 이것은 바로 빛의 굴절현상때문이다. 빛이 공기에서 물의 경계를 통과하면서 경로를 바꾸는 현상, 즉 빛이 서로 다른 물질 둘의 경계를 통과하면서 경로의 방향을 바꾸는 현상인 빛의 굴절 현상은 일상생활에서도 쉽게 관찰할 수 있다. 이 굴절현상에 대하여 설명하는 법칙이 바로 스넬의 법칙이다. p는 공기에서 물로 빛이 진행할 때의 빛의 경로이다. 굴절 법칙에는 굴절률 n, 빛의 속도 v, 입사각 등이 서로 관련되어 있다. 서로 다른 두 매질이 맞닿아 있을 때 매질을 통과하는 빛의 경로는 매질마다 광속이 다르므로 휘게 되는 것이다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같다. 빛의 굴절현상을 수학적으로 연구한 사람은 대표적으로 철학자 데카르트와 페르마가 있다. 철학자 데카르트의 저서 '방법서설'의 부록으로 '광학'이 있었다. 빛의 반사의 문제는 예전부터 알려져 있었고, 빛이 반사할 때 같은 각도로 꺾인다는 것도 알려져 있었다. 문제는 빛이 공기에서 물 같은 다른 매질로 들어갈 때 나타나는 현상인 굴절이었는데, 굴절 현상에 어떤 종류의 수학적 규칙성이 있다는 것은 고대부터 알려져 있었지만, 그 규칙성이 무엇인가는 발견되지 않은 채로 남아 있었다. 데카르트는 '굴절광학'에서 이 굴절의 법칙(우리에게 통상 스넬의 법칙 Snell's law...

데카르트(1596~1650)의 대표저서 [방법서설]에는 부록으로 [굴절광학], [기상학], [기하학]이 실려있다. 그의 수학적 재능이 최고조로 발휘된 책 [기하학]에서 데카르트는 대수학과 기하학을 하나로 통합했다는 점에서 의의가 있다. 기하학은 3권으로 이루어져 있으며, 1권에서는 직선과 원으로만 구성할 수 있는 곡선에 대한 문제들을 다루고, 2권에서는 곡선의 본질을, 3권에서는 입체와 초입체문제들의 구성에 대하여 다룬다. 일반적으로 데카르트는 해석기하학의 창안 과정을 포함하고 있다고 알려져 있다. 하지만 일반적으로 알려진 것과는 다르게 [기하학]에는 카테시안 좌표도 사용하지 않았으며 직선이나 원 또는 원추곡선에 대한 해석기하학적 접근이 이루어지고 있는 것도 아니다. 다만 특정한 규칙에 따라 기술적인 도구를 써서 그려나감으로써 구성가능한 곡선을 다루고 있을 뿐이다. 게다가 해석기하학이란 용어도 전혀 사용하고 있지 않다. 단지 오래된 문제를 기하학적 작도를 할 수 있도록 새로운 방법을 찾을 뿐인데, 이 방법이 혁명적이었다. (해석기하학을 체계화시킨 수학자로는 얀 더 비트(1625~1665)를 들 수 있다. 그가 남긴 <곡선 원론>에서는 원추곡선을 방정식으로부터 구성하는 내용이 실려있다. 반면 페르마 또한 해석기하학에 관하여 많은 업적을 남겼지만 1670년대까지는 발표된 것이 없었다. 판 슈텐의 데카르트 주해서는 윌리스와 뉴턴에게도 지대...

카르다노가 1545년에 출판한 아르스 마그나는 삼차방정식의 풀이법을 최초로 공개한 책이며, 아르스 마그나의 제 30장에서 카르다노는 오늘날 할선법(secant method)라 부르는 방법을 제시하였다. 할선법은 방정식 f(x)=0의 해를 구하기 위하여 두 점을 지나는 할선이 x축과 만나는 교점을 구하는 방식이다. 예를 들어 아래의 4차방정식을 푼다고 해보자. x에 대한 4차 방정식을 예로 들어보자. 이 방정식은 인수분해 등이 되지 않으므로 쉽게 해를 구할 수 없다. 반면 함수로 바꾸어 x축 과의 교점을 찾아보며 해를 구할 수 있다. 아래는 함수의 그래프이다. f(2)=-60, f(3)=62이므로 해는 2와 3 사이에 존재함을 알 수 있다. (사잇값 정리) (2,f(2))와 (3,f(3))을 지나는 할선의 방정식을 구해보자. 이 때, x축과의 교점은 식을 바꾸어 아래처럼 구할 수 있다. 이처럼 위와 같은 방식으로 몇번 진행하면 보다 가까운 근사해를 얻을 수 있다. 이 방정식의 정확한 해는 약 2.612로 위와 같이 계산했을 때, 좀 더 가까운 근사해를 얻을 수 있다.

뉴턴법(Newton's method)은 방정식 f(x) = 0의 해를 정확하게 구하기 어려울 때, 근사적으로 찾을 수 있는 방법이다. x에 대한 4차 방정식을 예로 들어보자. 이 방정식은 인수분해 등이 되지 않으므로 쉽게 해를 구할 수 없다. 반면 함수로 바꾸어 x축과의 교점을 찾아보며 해를 구할 수 있다. 함수미분을 이용하여 아래처럼 그래프의 개형을 그릴 수 있지만, x축의 교점이 정확히 무엇인지 알 수 없다. 이럴 때 사용해 볼 수 있는 방법이 뉴턴법이다. 뉴턴법은 기본적으로는 f'(a)가 x = a에서의 접선의 기울기라는 미분의 기하학적 해석을 이용한다. f(x) = 0인 x를 찾고 싶은데 그러한 해를 전혀 모른다고 하자. 그럴 땐, 일단은 아무값이나 x = a를 넣고 f(a)의 값을 살펴본다. 만일 f(a)>0이고 f'(a)>0라면 f(x) = 0이 되는 x는 a보다 작은 값일 것이다. 따라서 다음에는 a보다 작은 값을 넣고 함수값을 살펴본다. 그런데, 해가 a보다 작은 곳에 있다는 것은 알겠는데 얼마나 값을 줄여야 하는 걸까? 뉴턴법(Newton's method)은 현재 x값에서 접선을 그리고 접선이 x축과 만나는 지점으로 x를 이동시켜 가면서 점진적으로 해를 찾는 방법이다. f(2)=-60, f(3)=62이므로 해는 2와 3 사이에 존재함을 알 수 있다. (사잇값 정리) (3,f(3))을 지나는 접선의 방정식을 구해보자. ...

국회의원 선거에서 당선인을 추측하기 위해 선거 후 출구조사를 한다. "출구조사 결과, ○○○ 후보가 지지율 45%로 당선이 유력시되고 있습니다. 이번 출구조사는 선거 당일 오전 6시부터 오후 5시까지 전국 투표소에서 유권자 8만명을 대상으로 했으며, 응답률 69%, 신뢰 수준 95%, 오차 범위 ±0.9%입니다." 이것은 무슨 뜻일까? 통계에서 용어와 그 뜻을 살펴보자. '모집단'은 투표한 사람들을 뜻하며 투표한 사람들 중 출구조사한 사람들은 '표본'이라한다. 표본의 크기가 커지면 표본평균의 분포는 정규분포와 가까워진다. 모집단의 평균이 m, 모 표준편차가 시그마인 모집단에서 크기가 n인 표본의 표본평균에 대하여 모집단이 정규분포를 따르든, 따르지 않든 표본평균은 아래의 정규분포를 따른다. 정규분포의 넓이를 계산하여 확률을 계산할 수 있는데, 실제로 적분을 이용하여 넓이를 구하는 것은 굉장히 어렵기 때문에 표준정규분포로 바꾸어준다. Z는 표준정규분포 N(0,1)을 따른다. 표준정규분포표를 가지고 확률 계산을 할 수 있는데, 대표적으로 많이 사용하는 확률은 아래와 같다. 반면 표본을 조사해 얻은 정보를 이용하여 모평균, 모표준편차와 같이 모집단의 특성을 나타내는 값을 추측하는 것을 '추정'이라고 한다. 표준정규분포표로부터 아래의 확률을 얻을 수 있다. 이것을 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이라고 한다. 표본과 모집단 사이 차...

1) 미적분법의 역사 고대 그리스 철학에서 추구된 연속인 양, 무한과 무한소 및 변동에 대한 분석적 논의는 미적분법의 기원이라 할 수 있다. 피타고라스 학파의 통약불가능한 선분의 발견으로 당시 그리스 수학자들의 연속인 선분의 비와 비례관계의 개념에서 불연속의 수를 발견했다. 이는 에우독소스의 비례론으로 통약불가능하다라는 개념을 받아들였다. 이때 아리스토텔레스는 잠재적 무한만을 수용하고 실무한인 무한대와 무한소를 배제함으로써 그리스 수학자들은 운동의 문제를 다루지 않았고, zenon의 역설을 다루지 않았다. 그들은 수학은 운동을 포함하지 않는 것과 관련된다고 보았다. 미적분법을 탄생시킨 연속적 변화와 운동개념, 무한과 무한소개념은 이러한 이유로 그리스 수학에서 다루어지지 않았다. 현대 수학의 모태가 된 그리스 수학의 맥은 두 갈래이다. 하나는 진리의 모습을 추구한 이론 수학으로, 학문의 전형이 된 유클리드 원론을 나은 수학의 맥이다. 또 다른 하나는 아르키메데스로부터 비롯된 실제수학의 맥으로, 그는 원주율의 근삿값으로 원의 넓이를 계산하였고 실진법과 구분구적법을 사용하여 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하였으며, 무한소 방법을 이용하여 구의 부피를 구함으로써 적분법의 원리를 직관적으로 구사하였다. 그리고 아르키메데스는 역학적 관점에서 곡선을 생성하는 점의 순각적 운동 방향을 결정하는 속도 평행사변형을 적용하여 나선형 곡선의 접선을 ...

1) 고대 그리스의 기하 메소포타미아 지방에서 출토되 진흙판에는 지름을 이용하여 원주가 6등분 된다는 것을 알고 있었다. 이집트의 아메스 파피루스에는 비록 정리는 없지만 문제를 통하여 정사각형, 직사각형, 이등변 삼각형 사다리꼴의 넓이가 다루어진다. 또한 원주율을 (16/9)^2=3.16...으로 계산하였다. 고대 이집트인들은 변의 길이의 비가 3:4:5인 직각삼각형의 성질을 알고 이를 건축에 이용하였다. 고대 이집트의 기하는 나일강의 잦은 범람으로 비롯된 토지 측량에 그 기원이 있으며 주로 넓이를 다루는 경험적인 실제기하였다. 기원전 7세기 경 고대 그리스와 이집트 사이에 성업적 교류는 물론 지적인 교류가 활발히 일어나 탈레스, 피타고라스, 플라톤 등 그리스의 학자들이 이집트를 방문하여 이집트 승려들로부터 가르침을 받았다. 그리스인들은 실제적인 필요성에 기인한 문제 해결 기법을 초월하여 사물의 이상적인 관계를 찾는 학문 연구에 심취하게 되었다. 그리스에서의 기하 연구는 탈레스(기원전 640~546 )에 의해 시작되었다. 탈레스는 상업적인 일로 이집트를 방문하였다가 지적인 추구를 위해 잠시 머물렀다. 탈레스의 지식은 곧 이집트의 승려를 능가하게 되었고 수직인 막대와 피라미드의 그림자를 이용하여 피라미드의 높이를 측정하여 이집트 왕을 깜짝 놀라게 하였다고 한다. 탈레스는 수직각의 상등, 이등변삼각형의 양 밑각의 상등, 지름에 의한 원의...

현재 중고등학교 수학에서 가장 중요한 개념으로 뽑는다면 그것은 바로 '미분과 적분'이다. 미적분을 뜻하는 영단어 calculus는 조그만 돌을 뜻하는 라틴어에서 유래했다. 돌멩이 같은 조그만 물건은 간단한 산수를 하는데 종종 활용된다. 시간이 지나면서 'calculus'는 수학에 도움이 되는 편리한 장치등을 의미했고, 1700년대 이후로 미적분이 개발되자, calculus는 미적분만을 가리키게 되었다. 미적분은 개발된 이후로 수학적 사회적 경제적 과학적으로 굉장히 그 활용도가 높았다. 이제 미적분의 시작과 역사, 활용을 살펴보겠다. 함수 개념의 발달의 후에야 미적분의 발달이 있었다. 기하학적인 그리스 수학과는 무관하게 바빌로니아와 인도에서 계산수학이 발달하였으며, 아라비아 사람들이 문화적 전통의 수호자가 되었던 중세에 두 종류의 수학이 융합되기 시작하였다. 16세기에는 수학 문화의 주도권이 아라비아에서 유럽으로 넘어가게 되었는데 viete에 의해 대수학이 발달하고, decartes에 의해 해석기하학이 발달하게 되면서 그리스 기하의 많은 부분이 계산되었다. 사실 적분의 개념을 굉장히 오래 되었다. 아르키메데스는 포물선과 같이 곡선으로 이뤄진 영역의 넓이를 구하는 방법을 알아 냈다. 구할 수 있는 삼각형으로 나눠 넓이를 구하는 방법이다. 먼저 포물선으로 이뤄진 부분의 양쪽 끝점과 가운데 점을 이어 삼각형을 만든다. 그런 다음 남은 두 부...

대수라는 단어는 아라비아 수학자 알콰리즈미가 방정식을 풀기위해 사용한 조작법에서 나왔다. 그 당시 대수학자는 방정식을 풀기위하여 도형을 이용하였고, 대수학자들은 각 도형의 변을 조작하는 사람이다. 가장 간단한 대수방정식을 일차방정식이다. 이 경우 대수학자들은 이항을 이용하여 풀었다. 다음으로 이차방정식은 정사각형을 만들며 풀었다. 이렇듯 그리스와 아라비아 수학자들은 이미 이차방정식을 풀 줄 알았다. 그들은 3차 방정식도 만났지만 그에 대한 일반적인 풀이법은 그들의 후손인 이탈리아 르네상스 시대에 대수학자들이 만들어냈다. 대수적 방법으로 3차 방정식을 푸는 것은 16세기 수학자들사이의 도전과제였다. 그러는 와중 니콜로 폰타나,일명 타르탈리아 tartaglia(말더듬이) 란 별명은 가진 수학자가 나타난다. 16세기 초, 이탈리아 브레시아라는 마을에 프랑스군이 침입하였다. 마을 사람들은 모두 교회안으로 피했으나 군인들은 교회 안까지 들어와 죄 없는 사람들을 학살하였다. 그 중 구사일생으로 생명을 건진 니콜로 폰타나라는 6살 짜리 꼬마는 군인들의 칼에 베인 얼굴의 상처로 인해 말을 더듬게 되었다. 전쟁으로 아버지까지 잃은 타르탈리아는 학비가 없어서 학교에 다닐 수도 없었고, 책을 보며 혼자서 공부를 했다. 그 당시 수학경기라는 것이 유행하였는데 두 수학자는 공증인에게 각각 30개의 문제를 제출한 다음, 상대방이 낸 문제를 40일 안에 풀어야...

나 역시도 공부를 잘 하고 싶었고, 좋은 성적을 받아 좋은 대학교에 입학하고 싶었다. 그를 위해선 공부를 열심히 할 수 밖에 없었다. 그러나 이정도면 충분히 노력한거 같은데, 충분한 시간을 쏟은 것 같은데 서울대 가기에는 부족했나 보다. 결국 못갔다. 선생님으로서 공부를 열심히 하는 학생들을 보며 이들이 최종적으로 어떻게 하면 자신들의 목표를 이루게 할 수 있도록 도움을 주고, 조언을 줄 수 있을까 생각을 한다. 학생들의 목표는 사람마다 다르며 그 목표에 도달하는 하나의 관문인 대학을 갈 때는 수시든 정시든 논술이든 학생들이 공부를 하는 양에 대하여 합격, 불합격을 통보받는다. 굳이 서울대가 아니더라도 어떻게 하면 자신이 원하는 대학에 합격할 수 있을까? 그래서 생각한 수식이 아래의 수식이다. 서울대에 합격하기 위해 채워야 달성해야하는 공부량이 100이라면 아래와 같은 식이 100이 넘으면 합격할 수 있을 것 같다. 대학을 가고자하는 모든 학생들은 기본적으로 초1부터 고3까지 12년을 공부한다. 공부의 난이도는 해가 갈수록 증가하며, 그것을 이해하기 위하여 학생들이 해야하는 공부량은 비례하여 늘어난다. 그에 해당하는 지식을 습득하기 위해서는 지식을 습득하고자 하는 학생들의 노력이 필요하다. 이때, 공부의 효율이 높을 수록, 노력을 덜 해도 빠르고 쉽게 해당 학년의 공부량을 달성할 수 있으며, 공부 효율이 낮을 수록 책상에 앉아있는 시...

1. e의 시작 역사적으로 e는 연속복리의 원리합계를 구하는 문제와 더불어 등장하였다. 로그가 발명되던 시기는 상업이 발달하고 금융거래가 활발히 이루어지던 때였으며, 복리계산법에 관심이 컸다. 18세기 초 johan bernouilli는 이와 관련하여 '매 순간마다 연리의 비례부분이 원금에 붙는다는 조건으로 돈을 빌려준 채권자는 무한히 많은 금액을 받을 수 있는 행운을 가지겠는가?'와 같은 문제를 제시하였다. 기대한 바와 같이 n이 증가할 때 s_n도 증가하지만 서서히 증가하면 이 값이 3을 넘을 것인지 3을 넘는다면 무한히 커질 것인지, 아니면 3미만에 머물것인가? 2. 무리수 e 수열 e_n은 단조증가하고 유계이므로 수렴한다. 따라서 아래 식이 성립한다. 이때 이 수열의 극한값이 존재하며 그 값이 무리수임을 증명하고 그 수를 e라고 나타낸 수학자는 바로 18세기 스위스의 대수학자 오일러였다. e가 무리수인 이유 3. 자연로그 고등학교 미적분에 무리수 e를 도입하는 가장 큰 이유는 지수함수의 미분과 적분, 로그함수의 미분과 적분에서 그 힘을 발휘하기 때문이다. 1) 미분에서 이용하는 극한값 2) 지수함수의 미분 반면 밑이 e가 아닌 경우 3) 로그함수의 미분 반면 밑이 e가 아닌 경우 4. e와 삼각함수의 관계 오일러는 지수함수를 다항식으로 적겠다는 직관을 발휘했다. 이 때 항을 무한대로 지니기 떄문에 엄격한 의미에서 다항식이 아니...

랑콤의 제니피끄 제품들을 화장품에서 노화방지로 유명하다. 이 광고 사진의 수치가 보이는가? 광채가 52% 증가하였고, 주름이 46% 감소하였고, 부드러움이 43% 증가하였다고 한다. 광고주들은 충분히 매력적인 수치를 발견하면, 일반적으로 그것을 두드러지게 내세운다. 광고에 수치를 하나 추가하면 설득력이 크게 높아지고, 광고주의 주장에 큰 힘이 실린다. 통계 수치는 증거의 역할을 한다. 전에 랑콤은 이러한 광고 제니피끄 제품을 아래의 수치를 가지고 광고하였다. 제품을 사용하고 나서 겨우 일주일 만에 소비자 중 85%는 피부에서 완벽하게 광채가 나고, 82%는 놀랍도록 고른 피부를 얻었으며, 91%는 피부가 부드럽게 변했다! 그러나 이 수치들이 나온 연구를 조금만 자세히 살펴보자. 연구에 참여한 여성들은 제품을 하루에 두 번 사용한 뒤 여러 가지 항목에 느낀 대로 대답하라는 요청을 받았다. 제시된 항목에는 다음과 같은 것들이 포함돼 있었다. 피부에서 광채가 더 많이 나는 것 같다.' 1~9, 피부톤이 고르게 변한것 같다. 1~9, 피부가 더 부드러워졌다. 1~9 참여자들은 피부의 광채나 부드럽거나 고른 정도를 평가해달라는 요청은 받지 않은 것이다. 이 조사결과를 보면 전체 여성 중 82%가 일주일 뒤에 피부가 더 고르게 변한 것 같다는 데 동의하긴 했지만 (6~9점) 완전히 동의한 비율은 30% 미만이었다. 이와 비슷하게 피부에서 광채가...

이번 포스팅에서는 뉴스, 기사 등에서 다루어지는 사건들의 확률이나 통계에서의 오류를 지적하고 바른 해석방법에 대하여 논의해 보고자 한다. 2017년 5월 22일 밤, 영국 맨체스터의 맨체스터 아레나에서 열린 팝가수 아리아니그란데의 3집 투어 공연이 있어다. 공연이 끝나고 관객들이 나갈 때 복도에서 테러리스트가 사제 못 폭탄을 터트려 자폭했다. 관객들을 노린 것이라 그란데와 스태프들은 무사했으나, 범인 포함 23명이 사망하고 64명이 부상을 입는 참사가 벌어졌다. 테러리스트가 폭탄에 볼트와 너트 등의 금속 이물질을 넣어 터트려 파편이 많이 퍼지는 바람에 중경상을 입은 부상자가 많이 생겼고, 관객 중에 아이들을 데리고 나온 가족이 많아서 희생자의 대부분은 어린이들이었다. 그 배후에는 ISIL(이라크 거점의 테러단체)이 자신들이 배후에 있다고 자처하고 있다. 당시 테러리스트는 23세 살만 아베디로 그는 이슬람교도의 리비아계 청년이었다. 이때 미국 대통령 도널드 트럼프의 부보좌관이던 서배스천 고카가 올른 트윗에는 이런말이 써져 있었다. '맨체스터 폭발은 기관총병 리 리그비가 공공장소에서 살해된 지 4주기 되는 날에 일어났다. 지하디 테러리스트는 날짜를 중시한다.' 그는 두 테러 공격 날짜가 일치한다는 사실에 주목했다. 이사건은 2013년 5월 22일에 일어난 테러 사건으로 기독교에서 이슬람으로 개종한 두 나이지리아계 청년들이 영국 육군의 기...

통계를 볼 때 우리가 흔히 하는 착각과 오류를 대하여 생각해보자. 1. 생물학적 오류 1) 평균과 중앙값 평균 기대 수명이 남자의 78.8세이고, 전체 인구 집단의 기대 수명이 81세라 하자. 아래의 문장은 맞는 말인가? '대다수 남성이 81세보다 더 오래살 것이다.' 처음에는 이 말이 모순처럼 들릴 수 있다. 사실은 이 데이터를 요약한ㄴ 데 사용하는 통계 자료의 불일치 때문에 이런 일이 일어나는 데, 전체 인구 집단에 비하면 적지만 그래도 많은 사람들이 어린 나이에 죽는다. 이들은 평균 수명을 많이 끌어내린다. 남성의 사망 나이의 중앙값은 82세인데 이것은 전체 남성 중 절반은 적어도 이보다 더 오래산다는 뜻이다. 키부터 IQ에 이르기까지 일상적인 데이터 집합의 특징을 알려주는 데 쓸 수 있는 정규분포는 데이터 중 절반은 평균에서 왼쪽에, 나머지 절반은 오른쪽에 위치한 아름다운 대칭적 곡선이다. 정규 분포가 나타나는 특징은 평균과 중앙값이 일치한다. 하지만 앞서 평균과 중앙값이 다른 치우친 분포도 있다. 예를 들어 가계 소득 분포는 중앙갓과 평균이 큰 차이를 보이는 하나의 통계자료이다. ' 거리를 걸어가다가 다음전에 만나는 사람의 다리가 평균보다 많을 확률은 얼마일까? ' 그 답은 거의 100퍼센트이다. 다리가 없거나 하나뿐인 극소수 사람들이 평균을 약간 낮추기 때문에, 다리가 2개인 사람은 모두 평균보다 많은 다리를 가진 셈이다....