1) 원금 P이고, 연이율 r 일 때, 1년 뒤 만기금액 2) 원금 P이고, 연이율 r 일 때, t년 뒤 만기금액 3) 원금 P이고, 연이율 r 일 때, 1년 뒤 만기금액(단, 이자를 1년에 n번 분할지급) 3) 원금 P이고, 연이율 r 일 때, t년 뒤 만기금액(단, 이자를 1년에 n번 분할지급) 5) 원금 P이고, 연이율 r 일 때, 1년 뒤 만기금액(단, 이자를 1년동안 무한지급) 5) 원금 P이고, 연이율 r 일 때, t년 뒤 만기금액(단, 이자를 t년동안 무한지급) 원금이 P이고, 시간에 따라 복리로 인해 변하는 금액을 P(t)라 하면, 변화율은 r이므로 미분방정식을 세울 수 있다. 미분방정식을 풀면, 아래와 같이 구할 수 있다.
미적분을 공부하면서 미적분이 실생활 어디에 사용될까라는 고민을 하게 된다. 이 책은 일과 속에서 미적분이 어디에 사용되는지 설명한다. 미적분을 공부한 학생들이 읽기에 좋은 책이고, 미분방정식에 대한 기초가 있다면 3장부터는 이해가 수월할 것이다. 목차 1장 일어나서 함수의 냄새를 맡아보자! (함수는 수학의 구성 요소로 어디에서나 찾아볼 수 있다.) 삼각 함수가 여러분의 아침과 무슨 상관이 있을까? 어떻게 유리 함수가 토머스 에디슨을 좌절하게 했을까? 어떻게 전자기 유도가 세상에 동력을 제공할까? 공기 중에 숨어 있는 로그 삼각 함수의 주파수 갈릴레오의 포물선 -선형함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 2장 뉴턴의 집에서 아침 식사를 하자 (미분은 변화를 설명하기 때문에 변화가 있는 모든 곳에서 도함수를 찾을 수 있다.) CNBC 방식으로 알아보는 미적분 커피에도 극한이 있다 하루에 종합 비타민 하나면 건강 걱정 끝 도함수는 변화를 설명한다 - 기울기와 변화율, 극한과 도함수, 함수의 연속성 3장 도함수로 이루어진 모든 것 (문제를 수학화하면 더 잘 이해된다.) 어떻게 비 오는 날 살아남을 수 있는 걸까? 정치에도 도함수가 있는 걸까 아니면 도함수에 정치가 포함된 걸까? 실업률을 통해 그래프의 곡률을 배워보자 폭증하는 미국의 인구 도함수를 느껴보자 시간 여행의 미적분 -2계도 함수, 선형 근사법 4장 미적분으로 연결된 모든 ...
카르다노가 1545년에 출판한 아르스 마그나는 삼차방정식의 풀이법을 최초로 공개한 책이며, 아르스 마그나의 제 30장에서 카르다노는 오늘날 할선법(secant method)라 부르는 방법을 제시하였다. 할선법은 방정식 f(x)=0의 해를 구하기 위하여 두 점을 지나는 할선이 x축과 만나는 교점을 구하는 방식이다. 예를 들어 아래의 4차방정식을 푼다고 해보자. x에 대한 4차 방정식을 예로 들어보자. 이 방정식은 인수분해 등이 되지 않으므로 쉽게 해를 구할 수 없다. 반면 함수로 바꾸어 x축 과의 교점을 찾아보며 해를 구할 수 있다. 아래는 함수의 그래프이다. f(2)=-60, f(3)=62이므로 해는 2와 3 사이에 존재함을 알 수 있다. (사잇값 정리) (2,f(2))와 (3,f(3))을 지나는 할선의 방정식을 구해보자. 이 때, x축과의 교점은 식을 바꾸어 아래처럼 구할 수 있다. 이처럼 위와 같은 방식으로 몇번 진행하면 보다 가까운 근사해를 얻을 수 있다. 이 방정식의 정확한 해는 약 2.612로 위와 같이 계산했을 때, 좀 더 가까운 근사해를 얻을 수 있다.
3뉴턴법(Newton's method)은 방정식 f(x) = 0의 해를 정확하게 구하기 어려울 때, 근사적으로 찾을 수 있는 방법이다. x에 대한 4차 방정식을 예로 들어보자. 이 방정식은 인수분해 등이 되지 않으므로 쉽게 해를 구할 수 없다. 반면 함수로 바꾸어 x축과의 교점을 찾아보며 해를 구할 수 있다. 함수미분을 이용하여 아래처럼 그래프의 개형을 그릴 수 있지만, x축의 교점이 정확히 무엇인지 알 수 없다. 이럴 때 사용해 볼 수 있는 방법이 뉴턴법이다. 뉴턴법은 기본적으로는 f'(a)가 x = a에서의 접선의 기울기라는 미분의 기하학적 해석을 이용한다. f(x) = 0인 x를 찾고 싶은데 그러한 해를 전혀 모른다고 하자. 그럴 땐, 일단은 아무값이나 x = a를 넣고 f(a)의 값을 살펴본다. 만일 f(a)>0이고 f'(a)>0라면 f(x) = 0이 되는 x는 a보다 작은 값일 것이다. 따라서 다음에는 a보다 작은 값을 넣고 함수값을 살펴본다. 그런데, 해가 a보다 작은 곳에 있다는 것은 알겠는데 얼마나 값을 줄여야 하는 걸까? 뉴턴법(Newton's method)은 현재 x값에서 접선을 그리고 접선이 x축과 만나는 지점으로 x를 이동시켜 가면서 점진적으로 해를 찾는 방법이다. f(2)=-60, f(3)=62이므로 해는 2와 3 사이에 존재함을 알 수 있다. (사잇값 정리) (3,f(3))을 지나는 접선의 방정식을 구해보자. ...
한계효용의 체감의 법칙에서 효용이란 재화나 서비로부터 얻는 만족감인데, 첫번째 것이 가장 효용이 높고 곗속될수록 점점 한계 효용이 떨어지는 것을 설명하는 법칙이다. 한계(marginal)은 미미하다라는 의미로, 변화를 내포하고 있다. 수학에서는 델타를 사용하요 변화량을 나타내지만, 경제학에서는 종종 M을 써서 표현한다. 배가 고플 때 피자 한 조각을 먹으면 그렇게 맛있을 수가 벗다. 이때 한계효용은 최고치가 된다. 그러나 피자를 한 조각씩 더 먹을 때마다 한계효용은 점점 떨어진다. 하지맘ㄴ 한계효용은 감소하더라도 총 효용은 계속 증가한다. 즉 총 효용은 한계효용을 적분한 것이고 총 효용을 미분한 것이 한계효용이다. 처음에는 총 효용이 급격히 증가하다가 한계효용이 감소하면서 총 효용의 증가율은 둔화된다. 한계효용과 달리 평균효용은 총 효용을 전체 비용으로 나눈 값으로, 총 효용 곡선에서 두 점을 잇는 평균 기울기에 해당한다. 반면 한계효용은 접선 기울기에 해당한다. 평균효용이란 총 비용 대비 충분히 배부르고 만족한 수준, 즉 가성비에 해당한다. 한계효용 체감의 법칙은 금전 문제에도 적용된다. 어쩌다 공돈이 생기면 기쁘지만, 그런 공돈이 계속 생기다 보면 좋으면서도 당연한 것으로 여기게 된다. 코로나 재난지원금도 마찬가지다. 1차 지원금은 너무 감사하게 잘 썼지만 4차 재난 지원금까지 간 상황에서 우리는 우리의 손실액에 비해 미치지 못한...
공학자들은 물리현상을 규명하고 공학적 해결ㄹ방안을 검증하기 위해 시뮬레이션을 수행한다. 통상적인 시뮬레이션은 과학 원리에 따라서 관련 지배 방정식을 유도하고 수학적으로 또는 수치해석적으로 해를 구하는 과정을 통해 이루어진다. 우주선의 궤적을ㄹ 구하기 위해 쥬턴의 가속도법칙을 적용하고, 전자기장의 흐름을 파악하기 위해 맥스웰 방정식을 적용하는 식이다. 이렇게 유도된 방정식은 문제가 간단한 경우에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등의 대수방정식 형태로 주어지기도 하지만 대부분은 미분방정식 형태로 주어진다. 미분방정식은 현재의 상태와 변화율의 관계를 연관 짓는 방정식이다. 예를 들어 시간 경과에 따라 커피가 식는 문제는 현재 온도와 냉각 속도, 즉 온도의 변화율 사이의 관계를 나타낸다. 외부로 빼앗기는 열량은 커피의 현재 온도에 따라 결정되고, 빼앗긴 열량만큼 커피의 온도는 내려간다. 커피 온도가 내려가면 빼앗기는 열량은 감소하고 그만큼 냉각 속도는 점점 느려진다. 커피가 처음에는 빨리 시가닥 점점 식는 속도가 둔화되는 이융다. 냉각 과정을 설명하는 미분방정식을 풀면 커피 온도를 시간의 함수로 구할 수 있다. 맥스웰 전자기 방정식은 전자기장의 발산과 회전을 나타내는 네 개의 편미분 방정식이다. 이것은 기존의 가우스 법칙, 가우스 자기법칙, 패러데이 전자기 유도법칙, 앙페르-맥스웰 회로법칙을 조합하여 하나의 현태로 일관성 있게 표현한 것이다. ...
2적분의 개념은 아르키메데스로부터 시작했다. 적분의 개념을 많이 사용하는 기술 중 하나는 CT(computer tomography)이다. tomography는 단층이라는 tomos와 새기다라는 graphy의 합성어로 단층촬영이란 뜻이다. 계산량이 많아 컴퓨터는 써서 분석하는데 이게 바로 CT이다. 일반인에게 CT는 주료 의료 분야의 용어로 익숙하지만 고고학, 양자정보학, 재료공학, 지구물리학 등 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다. 엑스선 촬영은 광선을 투과시켜 3차원 대상 물체로부터 2차원 이미지를 구현한다. 방향을 바꿔가면서 얼마든지 원하는 만큼 여러 장의 이미지를 얻을 수 있다. CT는 환자가 침상 위에서 위아래로 이동하느 동안 엑스선 촬영기기가 링을 따라 회전하면서 여러 각도에서 사진을 촬영한다. 하지만 이렇게 촬영된 여러 장의 2차원 이미지로부터 거꾸로 3차원 정보를 계산하는 것은 수학적으로 그리 간단하지 않다. (1895년 독일의 물리학자 빌헬름 뢴트겐은 전자가 빠른 속도로 물체에 충돌하면서 의문의 복사선이 방출되는 것을 발견했다. 그러고는 이 복사선에 전기장이나 자기장에서 휘어지지 않는 의문의 복사선이라는 의미로 엑스선X-ray이라 이름 붙였다. 알파벳 X는 미지수나 X세대, X파일과 같이 알려지지 않은 것을 명명할 때 종종 이용된다. 뢴트겐은 강한 투과성을 가지는 엑스선의 특성을 이용하여 결혼반지가 끼워진 아내의 손을 찍...
여러 선택지 중에서 한 가지를 선택해야 할 경우, 어떤 선택이 최적의 선택인지 수학공식을 이용해 알아낸느 것을 최적화라고 한다. 주로 제조, 물류, 교통, 마케팅 등 수학적으로 표현이 가능하고 최적의 해결책이 필요한 분야에서 가장 적합한 타협점을 찾는에 사용한다. 최적화 문제는 결국 함수의 극댓값 또는 극솟값을 구하는 문제로 귀결된다. 함수에서 낮춰야 하는 비용이나 시간을 구해야 한다면 극솟값 문제이고, 높여야 하는 이윤이나 성능을 구해야 한다면 극댓값 문제이다. 함수가 우리가 흔히 하는 다항함수, 지수함수, 삼각함수 등이면 좋겠지만 실제 일상생활에서는 이런 정형화된 함수는 아니다. 뉴턴의 방법 극점을 찾는 것은 도함수값이 0이 되는 점을 찾는 일이다. 함수 그래프에 빗대어 설명하자면 접선 방향으로 연장하면서 극값에 점차 가까이 다가가는 방법이다. 현실에서 종속변수는 다양할 수 있으므로 다변수함수가 나오는데, 이때도 각 변수에대하여 기울기가 모두 0인 점을 찾으면 된다. 그러나 이 때 극대점이나 극소점이 아닌 경우가 있는데, 한쪽으로는 최대가 되고, 다른쪽으로는 최소가되는 경우이다. 이러한 점을 안장점이라고 하는데, 이는 쌍곡포물면에서 볼 수 있다. 쌍곡포물면은 프링글스 모양이다. 확률적 경사하강법 경사하강법은 수학자 코시가 천체의 움직임을 계산하기 위하여 개발한 것인데, 경사가 진 방향으로 한 발 한 발 내디디며 극소점을 찾아가는 ...
뉴턴은 '왜 달은 하늘에 계속 떠 있는데 사과는 지면에 떨어질까?' 라는 질문을 했다. 이후 그는 '프린키피아'에서 달과 사과가 똑같은 물리법칙에 적용되는 것을 발견하였다. 그렇다면 태양과 행성 사이에는 어떤 힘이 존재하는 가? 돌멩이를 줄에 매달아 돌리면 원운동을 한다. 줄이 돌멩이를 중심으로 당기고 있기 때문이다. 이를 구심력이라 하는데, 이 힘 때문에 돌멩이가 계속 속도의 방향을 바꾸면서 원운동을 한다. 줄이 끊어지면 돌멩이는 접선 방향으로 직진하면서 떨어져 나간다. 뉴턴은 만유인력의 법칙을 설명할 때 오늘날의 미적분과 같은 수식이나 기호를 사용하지 않았다. 곡선에 접하는 접선을 통해 미분의 개념을 기하학적으로 제시했다. 이를 유율법이라 한다. 뉴턴은 움직이는 점의 속도를 흐르는 양이라는 의미에서 유량, 유량의 변화를 유율이라 했다. 그리고 매우 짧은 시간 동안 행성이 움직인 자취는 엄밀하게는 곡선이지만 극한의 개념을 써서 짧은 직선으로 간주했다. 이는 행성운동의 진행 방향과 같으며 곡선의 접선과도 같다. 뉴턴은 독립변수를 시간으로 한정하여 행성의 속도와 가속도를 연구하여 시간에 따른 변화를 기술하였다. 로켓이 그리는 궤적 역시 행성과 마찬가지로 뉴턴의 가속도 법칙에 따라 해석된다. 지구상에서 발사되는 포탄은 공기저항력을 무시하면 포물서 궤적을 그린다. 수평방향 속도는 그대로 유지되면서 수직 방향으로 끊임없이 중력을 받아서 궤적...
이 책의 작가인 한화택교수님은 평생 미적분을 다뤄온 기계공학자로서 서울대학교 기계공학과를 졸업하고, 같은 대학원에서 공학석사, 미국 미네소타대학교에서 공학박사 학위를 받았다. 현재는 국민대학교 기계공학부 교수로 재직 중이다. 《공대생이 아니어도 쓸데있는 공학 이야기》 《공대생도 잘 모르는 재미있는 공학 이야기》를 집필하기도 하였고, 《너도 엔지니어가 되고 싶니?》 등을 번역했다. 미적분이 공학분야에서 어떻게 사용되는지 이 책에서 서술하고 있다. 과학저술가인 카 ㄹ세이건은 수학이란 우주 어디에나 통용될 수 있는 보편적인 언어라고 했다. 그중에서도 미적분은 세상의 변화를 설명하는 언어다. 특히 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현상, 사회의 변화까지 선명하게 드러난다. 미분을 통해서 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분을 통해서 작은 변화들이 누적되어 나타나느 상태를 이해할 수 있다. 과거를 적분하면 현재를 이해할 수있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다. 이 책은 경제학, 금융공학, 기하학, 의료공학, 항공우주공학, 천체물리학 등 다양한 분야에서 미적분이 어떻게 활용되고 있는지 보여준다. 수식이 있으나 이해하는데 불편한 정도는 아니었고, 미적분의 아이디어가 현대 삶과 기술에 어떻게 녹여있는지 잘 서술된 책이다. 미적분의 개념을 알고 있는 사람이 읽는 것이 좋다. 목차 I. 혁명의 시작, 순간 속도를 계...
옛날부터 수학과 과학은 하나였다. 아이작 뉴턴은 역사가 자신을 과학자로 분류할지, 수학자로 분류할지를 두고 걱정하지 안았다. 그는 불가분의 관계로 수학자이자 과학자였다. 갈릴레오, 케플러, 코페르니쿠스 등 그의 선배들도 마찬가지였다. 그들에게 과학과 수학은 완전히 서로 얽혀 있어 분리할 수 없는 존재였다. 그들의 핵심적인 통찰은 물리적 우주가 수학적 방침을 따른다는 것이었다. 수학가 물리학은 함께 연구되었다. 특히 갈릴레이는 당시에 물리학을 수학적으로 처리하는 것에 관심을 가지기 시작했다. '철학은 우리 눈앞에 끊이없이 펼쳐지는 거대한 책, 즉 우주에 적혀 있다. 하지만 철학은 일단 그 언어를 이해하지 못하면, 그리고 철학이 쓰인 글자를 모르면 파악할 수 없다. 그런데 이 철학은 수학적 언어로 적혀있다.' 그는 자신의 방법을 소개하며 ’측정할 수 있는 것은 측정하고, 측정할 수 없는 것은 측정할 수 있도록 만들어라'며 자유낙하 운동에 대해 기울어진 평면에서의 낙하 측정된 것들 사이에 연관을 지어 법칙을 끌어냈다. 하지만 17세기가 지나면서 과학과 수학은 서로 갈라져 나왔다. 현대 과학과 수학의 시점은 다르다. 과학의 눈으로 바라보면 과학은 수학을 도구 상자로 본다. 과학은 현실을 이해하려는 학문이다. 모든 것은 예측하고 분류하고 설명하는 것을 목표로 하는 과학에서 수학은 과학의 언어이고, 과학을 하는 데 도와주는 부차적인 요소이다. ...
201) 미적분법의 역사 고대 그리스 철학에서 추구된 연속인 양, 무한과 무한소 및 변동에 대한 분석적 논의는 미적분법의 기원이라 할 수 있다. 피타고라스 학파의 통약불가능한 선분의 발견으로 당시 그리스 수학자들의 연속인 선분의 비와 비례관계의 개념에서 불연속의 수를 발견했다. 이는 에우독소스의 비례론으로 통약불가능하다라는 개념을 받아들였다. 이때 아리스토텔레스는 잠재적 무한만을 수용하고 실무한인 무한대와 무한소를 배제함으로써 그리스 수학자들은 운동의 문제를 다루지 않았고, zenon의 역설을 다루지 않았다. 그들은 수학은 운동을 포함하지 않는 것과 관련된다고 보았다. 미적분법을 탄생시킨 연속적 변화와 운동개념, 무한과 무한소개념은 이러한 이유로 그리스 수학에서 다루어지지 않았다. 현대 수학의 모태가 된 그리스 수학의 맥은 두 갈래이다. 하나는 진리의 모습을 추구한 이론 수학으로, 학문의 전형이 된 유클리드 원론을 나은 수학의 맥이다. 또 다른 하나는 아르키메데스로부터 비롯된 실제수학의 맥으로, 그는 원주율의 근삿값으로 원의 넓이를 계산하였고 실진법과 구분구적법을 사용하여 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하였으며, 무한소 방법을 이용하여 구의 부피를 구함으로써 적분법의 원리를 직관적으로 구사하였다. 그리고 아르키메데스는 역학적 관점에서 곡선을 생성하는 점의 순각적 운동 방향을 결정하는 속도 평행사변형을 적용하여 나선형 곡선의 접선을 ...
아르키메데스의 '방법(The Method)'에는 불가분량 접근법이 기술되어 있다. 이는 포물선과 같이 곡선으로 이뤄진 영역의 넓이를 구하는 방법인데 넓이를 구할 수 있는 삼각형으로 나눠 넓이를 구하는 방법이다. 먼저 포물선으로 이뤄진 부분의 양쪽 끝점과 가운데 점을 이어 삼각형을 만든다. 그런 다음 남은 두 부분에서도 삼각형을 만든다. 이런 과정을 반복하면 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 무수히 많은 삼각형의 넓이를 더해 구할 수 있다. 이러한 방법을 '실진법(The method of exhausion)'이라 한다. 르네상스를 거쳐 16-17세기에 이르러 과학자 수학자들이 도전적 탐구정신에서 수학은 다시 꽃피우기 시작한다. 갈릴레이는 등속운동과 등가속도운동을 설명하였다. 아래 그림과 같이 속도함수 v=gt인 경우 모든 세로 선분의 합, 즉 직선 아래 부분의 넓이는 s는 전체 거리와 같게 된다. 이 때 s는 삼각형의 넓이와 같으므로 s= 1/2gt^2이다. 여기서 갈릴레이의 발상은 곡선 아래의 넓이를 구하기 위하여 그 넓이는 순간 t에서의 속도를 나타내는 수선들의 합으로 간주하였다는 점이다. 따라서 거리의 순간 변화율은 순간의 수선의 길이인 순간속도가 된다. 갈릴레이의 제자 Cavalieri는 한 도형의 불가분량이 다른 도형의 불가분량과 같으면 두 도형의 널비이가 같다는 불간분량법(method of indivisibles)를 제시하였...
4현재 중고등학교 수학에서 가장 중요한 개념으로 뽑는다면 그것은 바로 '미분과 적분'이다. 미적분을 뜻하는 영단어 calculus는 조그만 돌을 뜻하는 라틴어에서 유래했다. 돌멩이 같은 조그만 물건은 간단한 산수를 하는데 종종 활용된다. 시간이 지나면서 'calculus'는 수학에 도움이 되는 편리한 장치등을 의미했고, 1700년대 이후로 미적분이 개발되자, calculus는 미적분만을 가리키게 되었다. 미적분은 개발된 이후로 수학적 사회적 경제적 과학적으로 굉장히 그 활용도가 높았다. 이제 미적분의 시작과 역사, 활용을 살펴보겠다. 함수 개념의 발달의 후에야 미적분의 발달이 있었다. 기하학적인 그리스 수학과는 무관하게 바빌로니아와 인도에서 계산수학이 발달하였으며, 아라비아 사람들이 문화적 전통의 수호자가 되었던 중세에 두 종류의 수학이 융합되기 시작하였다. 16세기에는 수학 문화의 주도권이 아라비아에서 유럽으로 넘어가게 되었는데 viete에 의해 대수학이 발달하고, decartes에 의해 해석기하학이 발달하게 되면서 그리스 기하의 많은 부분이 계산되었다. 사실 적분의 개념을 굉장히 오래 되었다. 아르키메데스는 포물선과 같이 곡선으로 이뤄진 영역의 넓이를 구하는 방법을 알아 냈다. 구할 수 있는 삼각형으로 나눠 넓이를 구하는 방법이다. 먼저 포물선으로 이뤄진 부분의 양쪽 끝점과 가운데 점을 이어 삼각형을 만든다. 그런 다음 남은 두 부...