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정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체이다. 정n각형의 한 내각의 크기가 이고, 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 m이라고 하자. 정다면체를 만들기 위해서는 각 꼭짓점에 모인 면들의 내각들의 합이 360도를 넘어서는 안되므로 부등식을 세울 수 있다. 부등식 : 그리고 이를 만족하는 순서쌍 (n,m)를 구하면 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) 이다. 이는 각각 어떤 정다면체를 의미한다. 따라서 정다면체는 이 5개 뿐이다.

다음 표를 채우고, 입체도형의 성질을 찾아보세요! n각기둥 n각뿔 n각뿔대 면의 개수 모서리의 개수 꼭짓점의 개수 (면의 개수) +(꼭짓점의 개수) -(모서리의 개수) 다면체에서 (면의 개수)+(꼭짓점의 개수)-(모서리의 개수)는 항상 로 일정합니다. 이를 오일러의 법칙이라고 합니다. 아이들에게 각뿔, 각기둥, 각뿔대를 넘어 모든 다면체에서 2로 일정하다고 말해주고, 오일러의 법칙에 대해 검색해 보라고 하였다.

지구가 완전한 구라고 할 때, 지구의 대원을 두를 수 있는 긴 밧줄이 있다고 하자. 이 밧줄보다 10m 더 긴 밧줄로 지구와 일정한 간격으로 띄워 돌려보자. 다음 보기 중 지구와 밧줄 사이의 틈 사이로 지나갈 수 있는 것 중 가장 큰 것은 무엇일까? ① 개미 ② 야구공 ③ 강아지 ④ 어린이 ⑤ 기린 이 문제는 대부분의 아이들이 풀지 못했다. 아마 아주 작은 틈이 생길테니까 개미지 않냐고 말하면서 지구의 반지름이 주어지지 않았는데, 어떻게 풀 수 있느냐 반문한다. 그 중 오직 한 아이만이 풀이를 가져왔다. 지구의 반지름의 길이를 r이라 하자. 지구의 둘레를 감싸는 밧줄의 길이는 2파이r 이다. 밧줄을 10만큼 더 늘이면 밧줄의 길이는 2파이r+10이 된다. 지구의 밧줄사이의 틈을 구하기 위하여 밧줄이 만든 원의 반지름을 구하면 r +10/2파이 가 된다. 따라서 반지름의 지구보다 10/2파이 만큼 늘어나게 되는 것이다. 파이는 3.14정도이므로 10/2파이는 1.6m정도가 된다. 보기 중 1.6m보다 작은 것 중 가장 큰 것은 어린이이다.

이 문제는 교과서에 나온 문제인데 다양한 방법으로 풀이하는 것이 좋을 것 같아 도전문제로 학생들에게 냈다. 과연 기대대로 굉장히 다양한 답을 가지고 왔다. 아래 그림과 같이 육각형의 각 꼭짓점에서 대각선을 2개씩 그었을 때, 색칠한 각의 크기의 합을 구하시오. 답안1) 육각형 내각의 합에서 삼각형 2개의 내각의 합을 빼면 360도가 나온다. 답안2) 삼각형의 두 내각의 합은 다른 각의 외각의 크기와 같으므로 6개의 삼각형 안의 각의 합은 내부의 육각형의 외각의 합과 같으므로 360도이다. 답안3) 그림과 같이 내부의 육각형의 내각과 맞꼭지각이 삼각형 내부의 한 각이므로 삼각형 6개의 내부의 합에서 육각형 내각의 합을 빼면 360도가 나온다. 답안4) 그림과 같이 색칠된 각 4개씩 포함하는 세개의 삼각형에서 빨간색의 삼각형 1개의 내각의 합을 빼면 되므로 360도가 나온다. 답안 5) 삼각형의 외각은 다른 두 내각의 합과 같다는 성질을 이용하여 파란색 각의 합이 빨간색 각의 합이다. 이를 이용하여 검은색 각들의 합은 아래의 과정의 의하여 360도이다.

아래와 같은 그림에서 각A + 각B + 각C + 각D + 각E 의 값을 구하면? 내가 생각한 답은 아래와 같이 삼각형의 외각을 이용한 답이었는데, 생각보다 아이들이 다양한 답을 주어서 너무 뿌듯했다. 답안1) 답안2) 어떤 학생은 선분 DE와 선분 BD가 평행하므로 엇각을 이용해서 풀었는데, 평행이라는 조건을 사용할 수없다. 아래는 보조선 DE를 그어서 바르게 풀이한 풀이 답안3) 답안4) 이 답안4)를 이용하면 별다각형의 내각의 합을 구할 수 있다. 별n각형(단, 한붓그리기로 가능해야 하므로 n은 홀수)의 내각의 합은 180*(n-2)=180*n-2*(별n각형의 내각의 합) 이므로 (별n각형의 내각의 합)=180이다.

벽돌을 세 보자. 모두 몇 개인가? 벽돌이 44개임은 다양하게 구할 수 있다. 방법을 정리해보고, 그렇게 생각한 이유를 써보자. 1) 4 * 12 - 4 (한 변의 벽돌개수 12개에 총 4개의 변을 이루고, 겹치는 네 모서리를 제외하기) 2) 4 * 11 (한 변의 벽돌개수 12개에서 한 모서리를 제외하고, 네 개의 변을 이룸) 3) 4 * 10 + 4 (한 변의 벽돌개수 12개에서 양 두 모서리를 제외하고, 네 개의 변을 이루며, 네 모서를 포함하기) 4) 2 * 10 + 2 * 12 ( 위, 아래 한 변의 벽돌개수 12개에서 양 두 모서리를 제외하고, 오른쪽, 왼 쪽 두 변의 벽돌개수 12개) 5) ( 10 + 12 ) * 2 ( 위의 한 변의 벽돌개수 12개, 왼쪽의 두 모서리를 제외하고, 이를 두 번 겹침) 6) 12^2 - 10^2 (꽉 찬 12개의 정사각형에서 꽉 찬 10개의 정사각형을 빼기) 이와 같은 방식으로 텃밭의 크기가 다양할 때, 테두리를 만드는 벽돌의 개수를 표현하면? (변을 이루는 벽돌 개수가 다양하다. 한 변을 이루는 벽돌 개수를 n이라 하자.) 1) 4 n - 4 2) 4 ( n - 1 ) 3) 4 * ( n - 2 ) + 4 4) 2 * ( n - 2 ) + 2 * n 5) ( n - 2 + n ) * 2 6) n ^ 2 - ( n - 2 ) ^ 2 위 여섯식을 분배법칙, 동류항끼리 정리하면 4 n - 4...

항상 닮은 도형에 대하여 16칸을 작성하고, 두 줄을 완성하며 승리인 빙고를 하였다. 다들 하나 두개 차이이기 때문에 흥미롭고 간단하게 게임할 수 있다. 중간고사에서 아래 문제를 냈었다. 색칠된 두 반원의 넓이의 합을 구하시오. 이 문제는 피타고라스 정리와 관련된 문제로 풀 수도 있지만, 닮음을 활용하여 풀 수도 있다. 색칠된 반원의 넓이를 식으로 나타내서 풀어보자. 이제 이 문제를 닮음을 이용하여 풀어보자. 반원은 항상 닮은 도형이므로 닮음비는 아래와 같다. 반원의 넓이비는 닮음비의 제곱에 비례하므로, 피타고라스정리와 함께 이용하여 두 반원의 넓이 합을 구해보자. 색칠된 반원의 넓이의 합은 변 BC를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같게된다. 따라서 8파이이다. 이와 같은 원리로 직각삼각형의 둘레에 항상 닮은 평면도형으로 둘러싸여 있다면, 빗변을 한 변으로 하는 닮은 도형의 넓이는 다른 두 변을 한 변으로 하는 닮은 도형의 넓이의 합과 같다.

삼각형의 외심 중 특히, 직각삼각형의 외심은 항상 빗변의 중점이다. 그렇다면 왜 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점인가? 중2 수업시간 중 삼각형의 외심을 배웠다는 가정하에 증명해 보이겠다. 선수지식 : 1) 두 수직이등분선의 교점에서 각 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. 2) 삼각형의 외심은 세 수직이등분선의 교점이다. 첫번째 방법. (중2) '직각삼각형은 외심은 빗변의 중점이다. '를 삼각형의 합동을 통해 직접적으로 증명하기. 두번째 방법. (중2) '직각삼각형은 외심은 빗변의 중점이다. '를 일차함수를 통해 직접적으로 증명하기 세번째 방법. (중3) '직각삼각형은 외심은 빗변의 중점이다. '를 닮음를 통해 직접적으로 증명하기 네번째 방법. (고1) 귀류법을 통하여 증명하기. (직각삼각형의 외심이 빗변의 중심이 아니라고 가정하면 모순이 발생한다. ) 다섯번째 방법. (중3, 고1) 명제의 역과 원주각을 이용하여 증명하기. (직각삼각형의 빗변의 중심이 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다. 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같은 점은 외심이다.) 1) 직각삼각형의 빗변의 중심이 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다. 2) 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같은 점은 외심이다. 여섯번째 방법. (중2) 직사각형의 성질을 이용한 증명이었는데, 정말 참신했다!

아래 Quiz의 답을 맞춰보자. biggest – big + small? a. smallest b. smallgest 답은 a이다. 물론 알파벳만 보면 b도 답이 될 수 있겠지만, 의미상 small의 최상급인 smallest가 답이 된다. 또다른 Quiz의 답을 맞춰보자. King – man + woman ? 답은 queen이다. 이 문제들은 자연어처리분야의 가장 대표적인 문제들이다. 사람의 뇌는 신기하게도 글의 문맥을 파악하여 원래 계산할 수 없는 문제들을 의미상 생각하여 답을 낸다. 그렇다면 인공지능도 그렇게 처리하도록 학습시킬 수 있지 않을까? 컴퓨터의 언어는 문자가 아닌 숫자로 이루어진다고 한다. 그럼 단어들을 어떻게 숫자로 치환할 것인가가 핵심이다. 세상에 존재하는 단어들을 매우 많기 때문에 숫자열로 단어들을 표현할 수 있다. 이것이 바로 행렬이다. 한편 일차방정식 2x+3y-6=0을 ( 2 3 -6 0 )이란 숫자열로 치환할 수 있고, 이를 행렬이라 한다. 연립방정식은 행렬로 해결할 수 있는데, 이는 아래 포스팅에 나와있다. https://blog.naver.com/limchung90/222609230784 행렬로 연립방정식 풀기 아래 일차방정식을 우리는 어떻게 풀까? 가감법을 이용하여 풀면, 두 식을 서로 빼서 y=-1, 이를 다... blog.naver.com 또한 연립방정식은 일차함수 그래프로 표현하여 그 교점으로 해...

손익분기점이란 제품을 만들어 판매할 때 손해도 이익도 발생하지 않는 지점이다. 보통 지출비용의 그래프나 이익 금액의 그래프는 일차함수로 나타낼 수 있는데, 사업 초기에는 고정비용으로 인해 지출이 수익보다 많으나, 이후 총수입이 지출을 역전하여 이익을 내게 된다. 손익분기점이란 단어는 영화기사에서 많이 볼 수 있다. 15일 영화진흥위원회 통합전산망에 따르면 '한산: 용의 출현'은 개봉 20일째인 이날 600만 관객을 돌파해 손익분기점을 넘겼다. 한산의 제작비는 280억원이다... 우리는 영화관에 15000원 정도의 비용을 내고 영화를 보지만, 제작사에 들어가는 비용은 위의 기사에 따르면 1사람당 280억원/600만명 약 5000원이다. x축이 사람수, y축이 금액이라 했으때, 총지출 함수는 y=280억원이고, 총수익 함수는 y=5000x이다. 이때 손익분기점의 좌표는 (600만명, 280억원)이 된다.

접한다는 말은 언제부터 정의되었을까? 유클리드 원론 3권 정의2에서 접한다에 대해 정의하고 있으며, 정리 16에서 원의 접선을 그리는 방법을 적고 있다. '2. 직선이 원과 만나며 길게 늘여서 이 원을 자르지 않을 때 이 직선을 원에 접한다.' '16. 원의 지름에 직각이 되도록 그린 직선은 그 접점에서 그 원의 바깥에 놓인다.' 하지만 이때 접선을 그리는 방법은 어디까지나 원의 접선을 그리는 방법이며, 오늘날 이차곡선에 한정적으로 적용될 수 있다. 유클리드 원론의 내용은 실제적인 문제를 해결하는 것보다는 도형과 도형 사이의 관계를 찾는다는 데서 의의를 찾을 수 있다. 이전에는 원과 직선이 서로 영향을 주지 않다가 처음으로 관계를 맺게 되는 것이다. 이후 17세기에 곡선 전반에 걸쳐 접선을 그리기 위한 다양한 시도들이 있었다. 왜 이 시기에 접선을 구하려 하였을까? 광학은 17세기 과학계의 주요한 관심거리 중에 하나였다. 렌즈의 모양에 대해 페르마, 데카르트, 호이겐스, 뉴턴 등이 관심을 보였다. 렌즈를 통과하는 빛의 경로를 연구하려면, 굴절의 법칙을 적용하기 위해서라도 빛이 렌즈를 통과할 때의 그 각도를 알아야만 한다. 이를 위해 결정하는 각은 빛과 법선이 이루는 각이다. 따라서 여기서 법선과 접선을 찾는 방법이 중요하다. 운동에 관한 연구에서도 접선을 포함한 중요한 과학 문제가 등장하였다. 움직이는 물체의 한 위치에서의 운동방향을...

샘로이드 퍼즐 중 등식의 성질과 관련한 퀴즈가 있어서 제시한다. 1. 그림의 마지막 저울에서 병이 몇 개의 유리잔과 균형을 이룰까? 답: 병은 5잔의 유리잔과 균형을 이루고 있다. 2. 세번째 그림에서 평형을 이루려면 구슬이 몇 개 필요할까? 답 : 주사위 : 구슬 1개, 팽이 : 구슬 9개 3. 세 번째 시합에서는 어느 쪽이 이길까? 이 문제는 문제적 남자에서 나와서 학생들과 풀어봤었다. 한 반에 두 세명 정도 맞췄던거 같다. 답 : 왼쪽

샘로이즈 퍼즐을 풀다가 구의 부피와 원기둥의 부피와 관련된 문제가 있어 제시한다. 실제 문제를 간단하도록 조정한 것이다. 1. 밧줄을 둥글게 말아 공처럼 만들었다. 밧줄의 두께는 2cm이고, 공모양의 밧줄뭉치의 지름은 3m이다. 줄이 아주 단단하게 감겨 있어서 공모양은 완벽한 구 모양이라 할 때, 줄의 총 길이는? 답: 450m